वेग को एक निश्चित दिशा में किसी वस्तु की गति के रूप में परिभाषित किया जाता है। कई स्थितियों में, वेग ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण v = s/t का उपयोग कर सकते हैं, जहाँ v वेग के बराबर होता है, s वस्तु द्वारा अपनी प्रारंभिक स्थिति से चली गई कुल दूरी के बराबर होता है, और t समय के बराबर होता है। हालाँकि, यह विधि वस्तु के विस्थापन पर केवल "औसत" वेग मान देती है। कैलकुलस का उपयोग करके, आप किसी वस्तु के विस्थापन के साथ-साथ किसी भी बिंदु पर उसके वेग की गणना कर सकते हैं। इस मान को "तत्काल वेग" कहा जाता है और इसे समीकरण द्वारा परिकलित किया जा सकता है वी = (डीएस)/(डीटी), या, दूसरे शब्दों में, वस्तु के औसत वेग के समीकरण का व्युत्पन्न है।
कदम
विधि 1 में से 3: तात्कालिक गति की गणना करना
चरण 1. वस्तु के विस्थापन के वेग के समीकरण से प्रारंभ करें।
किसी वस्तु के तात्कालिक वेग का मान प्राप्त करने के लिए, हमारे पास पहले एक समीकरण होना चाहिए जो एक निश्चित समय में उसकी स्थिति (विस्थापन के संदर्भ में) का वर्णन करता हो। इसका मतलब है कि समीकरण में एक चर होना चाहिए एस (जो अकेला खड़ा है) एक तरफ, और टी दूसरी ओर (लेकिन जरूरी नहीं कि स्टैंडअलोन), इस तरह:
एस = -1.5t2+10t+4
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समीकरण में, चर हैं:
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विस्थापन = s. वह दूरी है जो वस्तु अपने प्रारंभिक बिंदु से तय करती है। उदाहरण के लिए, यदि कोई वस्तु 10 मीटर आगे और 7 मीटर पीछे की यात्रा करती है, तो यात्रा की गई कुल दूरी 10 - 7 =. है 3 मीटर (10 + 7 = 17 मीटर नहीं)।
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समय = टी. यह चर स्व-व्याख्यात्मक है। आमतौर पर सेकंड में व्यक्त किया जाता है। # समीकरण का व्युत्पन्न लें। एक समीकरण का व्युत्पन्न एक और समीकरण है जो एक निश्चित बिंदु से ढलान मान दे सकता है। किसी वस्तु के विस्थापन के सूत्र का अवकलज ज्ञात करने के लिए, निम्नलिखित सामान्य नियम का उपयोग करके फलन व्युत्पन्न कीजिए: यदि y = a*x , व्युत्पन्न = a*n*xएन-1. यह नियम किसी भी घटक पर लागू होता है जो समीकरण के "टी" पक्ष पर होता है।
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- दूसरे शब्दों में, समीकरण के "t" पक्ष को बाएँ से दाएँ नीचे करके शुरू करें। हर बार जब आप "t" मान तक पहुँचते हैं, तो घातांक मान से 1 घटाएँ और पूरे को मूल घातांक से गुणा करें। कोई भी स्थिरांक (वेरिएबल जिसमें "t" नहीं है) खो जाएगा क्योंकि उन्हें 0 से गुणा किया जाता है। यह प्रक्रिया उतनी कठिन नहीं है जितना कोई सोच सकता है, आइए उदाहरण के रूप में उपरोक्त चरण में समीकरण प्राप्त करें:
एस = -1.5t2+10t+4
(2)-1.5t(2-1)+ (1)10t1 - 1 + (0)4t0
-3t1 + 10t0
- 3t + 10
चरण 2. वेरिएबल "s" को "ds/dt
"यह दिखाने के लिए कि आपका नया समीकरण पिछले समीकरण का व्युत्पन्न है, "s" को "ds/dt" से बदलें। तकनीकी रूप से, इस संकेतन का अर्थ है "t के संबंध में s का व्युत्पन्न।" इसे समझने का एक सरल तरीका यह है कि ds /dt पहले समीकरण में किसी भी बिंदु पर ढलान (ढलान) का मान है, उदाहरण के लिए, समीकरण s = -1.5t से खींची गई रेखा के ढलान को निर्धारित करने के लिए2 + 10t + 4 t = 5 पर, हम "5" के मान को व्युत्पन्न समीकरण में जोड़ सकते हैं।
- इस्तेमाल किए गए उदाहरण में, पहला व्युत्पन्न समीकरण अब इस तरह दिखेगा:
डीएस/सेकंड = -3t + 10
चरण 3. तात्कालिक वेग मान प्राप्त करने के लिए t के मान को नए समीकरण में प्लग करें।
अब जब आपके पास व्युत्पन्न समीकरण है, तो किसी भी बिंदु पर तात्कालिक वेग खोजना आसान है। आपको केवल t के लिए एक मान चुनना है और इसे अपने व्युत्पन्न समीकरण में प्लग करना है। उदाहरण के लिए, यदि आप t = 5 पर तात्कालिक वेग ज्ञात करना चाहते हैं, तो आप व्युत्पन्न समीकरण ds/dt = -3 + 10 में t के मान को "5" से बदल सकते हैं। फिर समीकरण को इस तरह हल करें:
डीएस/सेकंड = -3t + 10
डीएस/सेकंड = -3(5) + 10
डीएस/सेकंड = -15 + 10 = - 5 मीटर/सेकंड
ध्यान दें कि ऊपर प्रयुक्त इकाई "मीटर/सेकंड" है। क्योंकि हम जो गणना करते हैं वह मीटर में विस्थापन और सेकंड (सेकंड) में समय है और सामान्य रूप से वेग एक निश्चित समय में विस्थापन है, यह इकाई उपयोग करने के लिए उपयुक्त है।
विधि २ का ३: ग्राफिक रूप से तात्कालिक गति का अनुमान लगाना
चरण 1. समय के साथ वस्तु के विस्थापन का आलेख खींचिए।
उपरोक्त खंड में, व्युत्पन्न का उल्लेख उस समीकरण के लिए दिए गए बिंदु पर ढलान को खोजने के सूत्र के रूप में किया गया है जिसे आप प्राप्त कर रहे हैं। वास्तव में, यदि आप किसी वस्तु के विस्थापन को ग्राफ़ पर एक रेखा के रूप में निरूपित करते हैं, तो "सभी बिंदुओं पर रेखा का ढलान उस बिंदु पर उसके तात्कालिक वेग के मान के बराबर होता है।"
- किसी वस्तु के विस्थापन का वर्णन करने के लिए, समय का प्रतिनिधित्व करने के लिए x और विस्थापन का प्रतिनिधित्व करने के लिए y का उपयोग करें। फिर अंक बनाएं, t के मान को अपने समीकरण में शामिल करें, इस प्रकार अपने ग्राफ़ के लिए s का मान प्राप्त करें, ग्राफ़ में t, s को (x, y) के रूप में चिह्नित करें।
- ध्यान दें कि आपका ग्राफ़ x-अक्ष के नीचे फैला हो सकता है। यदि आपकी वस्तु की गति को दर्शाने वाली रेखा x-अक्ष के नीचे पहुँचती है, तो इसका अर्थ है कि वस्तु अपनी प्रारंभिक स्थिति से पीछे की ओर चली गई है। सामान्य तौर पर, आपका ग्राफ y-अक्ष के पीछे नहीं पहुंचेगा - क्योंकि हम किसी वस्तु के अतीत में जाने के वेग को नहीं माप रहे हैं!
चरण 2. पंक्ति में एक आसन्न बिंदु P और Q का चयन करें।
बिंदु P पर रेखा का ढलान प्राप्त करने के लिए, हम "सीमा लेना" नामक एक तरकीब का उपयोग कर सकते हैं। सीमा लेने में घुमावदार रेखा पर दो बिंदु (P और Q, पास का एक बिंदु) शामिल है और दूरी P और Q के करीब आने तक उन्हें कई बार जोड़कर रेखा की ढलान का पता लगाना है।
मान लीजिए कि वस्तु की विस्थापन रेखा में मान (1, 3) और (4, 7) हैं। इस स्थिति में, यदि हम बिंदु (1, 3) पर ढाल ज्ञात करना चाहते हैं, तो हम निर्धारित कर सकते हैं (१, ३) = पी तथा (4, 7) = क्यू.
चरण 3. P और Q के बीच ढाल ज्ञात कीजिए।
P और Q के बीच का ढलान P और Q के लिए y मानों में P और Q के लिए x-अक्ष मान अंतर के साथ अंतर है। दूसरे शब्दों में, एच = (वाईक्यू - आपपी)/(एक्सक्यू - एक्सपी), जहां एच दो बिंदुओं के बीच ढलान है। हमारे उदाहरण में, P और Q के बीच ढलान का मान है
एच = (वाईक्यू- आपपी)/(एक्सक्यू- एक्सपी)
एच = (7 - 3)/(4 - 1)
एच = (4)/(3) = 1.33
चरण 4. कई बार दोहराएं, Q को P के करीब ले जाएं।
आपका लक्ष्य बिंदु के सदृश P और Q के बीच की दूरी को कम करना है। P और Q के बीच की दूरी, बिंदु P पर रेखा की ढलान जितनी करीब होगी। बिंदुओं (2, 4.8), (1.5, 3.95), और (1.25, 3.49) क्यू के रूप में और प्रारंभिक बिंदु (1, 3) पी के रूप में:
क्यू = (2, 4.8):
एच = (4.8 - 3)/(2 - 1)
एच = (1.8)/(1) = 1.8
क्यू = (१.५, ३.९५):
एच = (3.95 - 3)/(1.5 - 1)
एच = (.95)/(.5) = 1.9
क्यू = (1.25, 3.49):
एच = (३.४९ - ३)/(१.२५ - १)
एच = (.49)/(.25) = 1.96
चरण 5. बहुत कम दूरी के लिए रेखा के ढलान का अनुमान लगाएं।
जैसे-जैसे Q, P के करीब आता है, H, बिंदु P के ढलान के मूल्य के करीब और करीब आता जाता है। आखिरकार, जब यह बहुत छोटे मान तक पहुँच जाता है, तो H, P के ढलान के बराबर हो जाता है। चूँकि हम बहुत छोटी दूरी को माप या गणना नहीं कर सकते हैं, हम P पर ढलान का अनुमान तभी लगा सकते हैं जब यह उस बिंदु से स्पष्ट हो जिसे हम कोशिश कर रहे हैं।
- उदाहरण में, जैसे ही हम Q को P के करीब ले जाते हैं, हमें H के लिए 1.8, 1.9 और 1.96 के मान मिलते हैं। चूंकि ये संख्याएं 2 के करीब हैं, हम कह सकते हैं कि 2, P का अनुमानित ढलान है।
- याद रखें कि रेखा पर किसी दिए गए बिंदु पर ढलान रेखा के समीकरण के व्युत्पन्न के बराबर है। चूंकि उपयोग की गई रेखा समय के साथ किसी वस्तु के विस्थापन को दर्शाती है, और क्योंकि जैसा कि हमने पिछले भाग में देखा था, किसी वस्तु का तात्कालिक वेग किसी दिए गए बिंदु पर उसके विस्थापन का व्युत्पन्न है, हम यह भी कह सकते हैं कि "2 मीटर/सेकंड "t = 1 पर तात्कालिक वेग का अनुमानित मान है।
विधि 3 का 3: नमूना प्रश्न
चरण 1. विस्थापन समीकरण s = 5t. से t = 4 पर तात्कालिक वेग का मान ज्ञात कीजिए3 - 3t2 +2टी+9.
यह समस्या पहले भाग में उदाहरण के समान है, सिवाय इसके कि यह समीकरण एक घन समीकरण है, न कि एक शक्ति समीकरण, इसलिए हम इस समस्या को उसी तरह हल कर सकते हैं।
- सबसे पहले, हम समीकरण का व्युत्पन्न लेते हैं:
- फिर, t(4) का मान दर्ज करें:
एस = 5t3- 3t2+2t+9
एस = (3)5t(3 - 1) - (2)3t(2 - 1) + (1)2t(१ - १) + (०)९टी0 - 1
१५टी(2) - 6t(1) + 2t(0)
१५टी(2) - 6t + 2
एस = 15t(2)- 6t + 2
15(4)(2)- 6(4) + 2
15(16) - 6(4) + 2
240 - 24 + 2 = 22 मीटर/सेकंड
चरण 2. विस्थापन समीकरण s = 4t. के लिए (1, 3) पर तात्कालिक वेग ज्ञात करने के लिए आलेखीय अनुमान का उपयोग करें2 - टी।
इस समस्या के लिए, हम बिंदु P के रूप में (1, 3) का उपयोग करेंगे, लेकिन हमें उस बिंदु से सटे एक अन्य बिंदु को बिंदु Q के रूप में परिभाषित करना होगा। फिर हमें केवल H का मान निर्धारित करने और अनुमान लगाने की आवश्यकता है।
- सबसे पहले, t = 2, 1.5, 1.1 और 1.01 पर पहले Q का मान ज्ञात कीजिए।
- फिर, एच का मान निर्धारित करें:
- चूँकि H का मान 7 के बहुत करीब है, हम कह सकते हैं कि 7 मीटर/सेकंड(1, 3) पर अनुमानित तात्कालिक वेग है।
एस = 4t2- टी
टी = 2:
एस = 4(2)2- (2)
४(४) - २ = १६ - २ = १४, इसलिए क्यू = (2, 14)
टी = 1.5:
एस = 4(1.5)2 - (1.5)
४(२.२५) - १.५ = ९ - १.५ = ७.५, इसलिए क्यू = (1.5, 7.5)
टी = 1.1:
एस = 4(1.1)2 - (1.1)
4(1.21) - 1.1 = 4.84 - 1.1 = 3.74, इसलिए क्यू = (1.1, 3.74)
टी = 1.01:
एस = 4(1.01)2 - (1.01)
4(1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, इसलिए क्यू = (1.01, 3.0704)
क्यू = (2, 14):
एच = (14 - 3)/(2 - 1)
एच = (11)/(1) =
चरण 11.
क्यू = (1.5, 7.5):
एच = (7.5 - 3)/(1.5 - 1)
एच = (4.5)/(.5) =
चरण 9.
क्यू = (१.१, ३.७४):
एच = (3.74 - 3)/(1.1 - 1)
एच = (.74)/(.1) = 7.3
क्यू = (1.01, 3.0704):
एच = (3.0704 - 3)/(1.01 - 1)
एच = (.0704)/(.01) = 7.04
टिप्स
- त्वरण का मान (समय के साथ वेग में परिवर्तन) ज्ञात करने के लिए, विस्थापन फलन के व्युत्पन्न के लिए समीकरण प्राप्त करने के लिए पहले खंड में विधि का उपयोग करें। फिर व्युत्पन्न समीकरण फिर से बनाएं, इस बार अपने व्युत्पन्न समीकरण से। यह आपको किसी भी समय त्वरण को खोजने के लिए समीकरण देगा, आपको बस अपना समय मान दर्ज करना है।
- Y (विस्थापन) के मान से X (समय) से संबंधित समीकरण बहुत सरल हो सकता है, उदाहरण के लिए Y= 6x + 3। इस मामले में, ढलान मान स्थिर है, और इसकी गणना करने के लिए व्युत्पन्न खोजने की कोई आवश्यकता नहीं है।, जहाँ एक सीधी रेखा के समीकरण के अनुसार, Y = mx + b 6 के बराबर होगा।
- विस्थापन दूरी के समान है, लेकिन एक दिशा है, इसलिए विस्थापन एक सदिश राशि है, जबकि दूरी एक अदिश राशि है। विस्थापन मान ऋणात्मक हो सकता है, लेकिन दूरी हमेशा धनात्मक होगी।