घन के आयतन की गणना करने के 3 तरीके

2024 लेखक: Jason Gerald | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-15 08:15

घन एक त्रि-आयामी आकृति है जिसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई समान होती है। एक घन में छह वर्गाकार भुजाएँ होती हैं, जो सभी समान लंबाई की होती हैं और समकोण पर मिलती हैं। घन का आयतन ज्ञात करना बहुत आसान है, आपको केवल गणना करने की आवश्यकता है लंबाई × चौड़ाई × ऊंचाई घन। चूँकि एक घन के सभी किनारों की लंबाई समान होती है, इसलिए आयतन की गणना करने का दूसरा तरीका है एस ³, जहां s घन की भुजा की लंबाई है। इस प्रक्रिया के विस्तृत विवरण को समझने के लिए नीचे चरण 1 पढ़ें।

कदम

3 में से विधि 1: घन के तीन किनारों को ऊपर उठाना

चरण 1. घन की भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

आमतौर पर, यदि समस्या घन का आयतन पूछती है, तो आपको भुजा की लंबाई दी जाएगी। यदि हां, तो आपके पास घन का आयतन ज्ञात करने के लिए आवश्यक सब कुछ है। यदि आप समस्या नहीं कर रहे हैं, लेकिन मूल घन की गणना करने के बजाय, किनारों को एक शासक या टेप माप के साथ मापें।

घन का आयतन ज्ञात करने की प्रक्रिया को बेहतर ढंग से समझने के लिए, आइए एक उदाहरण समस्या का अनुसरण करें, जब हम इस खंड के चरणों का अध्ययन करते हैं। मान लीजिए कि घन की भुजाएँ 2 सेमी लंबी हैं। इस जानकारी का उपयोग अगले चरण में घन का आयतन ज्ञात करने के लिए किया जाएगा।

चरण 2. घन की भुजाओं की लंबाई का वर्ग करें।

यदि आप घन की भुजा की लंबाई जानते हैं, तो इसे तीन की घात तक बढ़ाएँ। दूसरे शब्दों में, संख्या से ही दो बार गुणा करें। यदि s किनारे की लंबाई है, s × s × s (या सरलीकृत, s.) गुणा करें ³) परिणाम आपके घन का आयतन है!

• संक्षेप में, यह प्रक्रिया आधार के क्षेत्र को खोजने और इसे ऊंचाई से गुणा करने के समान है (दूसरे शब्दों में, लंबाई × चौड़ाई × ऊंचाई) क्योंकि आधार का क्षेत्र लंबाई और चौड़ाई को गुणा करके प्राप्त किया जाता है।. चूँकि घन एक ऐसी आकृति है जिसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई समान है, इस प्रक्रिया को केवल तीन से गुणा करके छोटा किया जा सकता है।

• आइए अपनी उदाहरण समस्या को जारी रखें। चूँकि घन की भुजा 2 सेमी है, इसलिए इसके आयतन की गणना 2 x 2 x 2 (या 2.) से गुणा करके की जा सकती है³) =

  चरण 8..

चरण 3. आयतन का घन मात्रक दीजिए।

चूँकि आयतन त्रि-आयामी स्थान का माप है, इसलिए आपके उत्तर में घन इकाइयाँ होनी चाहिए। आमतौर पर, आपके उत्तर को तब भी दोष दिया जाएगा यदि इकाई घन नहीं है, भले ही संख्या सही हो। इसलिए, सही इकाइयाँ देना न भूलें।

• उदाहरण समस्या में, चूंकि प्रारंभिक इकाई सेंटीमीटर (सेमी) है, अंतिम उत्तर में "घन सेंटीमीटर" (या सेमी।) की इकाइयाँ होनी चाहिए।³) अत: हमारा उत्तर है 8 सेमी³.
• यदि घन के किनारे की लंबाई विभिन्न इकाइयों का उपयोग करती है, तो मात्रा की इकाइयों को समायोजित किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि घन की भुजा सेंटीमीटर के बजाय 2 "मीटर" है, तो आयतन की अंतिम इकाई है घन मापी (एम³).

विधि 2 का 3: पृष्ठीय क्षेत्रफल से आयतन ज्ञात करना

चरण 1. घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

भले ही रास्ता सबसे आसान घन का आयतन ज्ञात करने के लिए किनारों में से किसी एक का उपयोग करना है, फिर भी वहाँ एक और तरीका इसे खोजने के लिए। घन की भुजा की लंबाई या उसके किसी एक फलक पर वर्ग का क्षेत्रफल घन के कुछ अन्य गुणों से प्राप्त किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि यदि आप इनमें से किसी भी जानकारी से शुरू करते हैं, तो घन का आयतन हो सकता है मोड़कर पाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप किसी घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल जानते हैं, तो उसका आयतन ज्ञात किया जा सकता है सतह को 6 से विभाजित करें, फिर घन की भुजा की लंबाई ज्ञात करने के लिए रूट करें।

यहां से, वॉल्यूम को विधि 1 में सामान्य तरीके से खोजा जा सकता है। इस खंड में, हम चरण दर चरण प्रक्रिया से गुजरेंगे।

• घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है 6 एस ², जहां s घन के किनारों में से एक की लंबाई है। यह सूत्र अनिवार्य रूप से एक घन के छह पक्षों के 2-आयामी आकार के सतह क्षेत्र को खोजने के समान है, फिर उन सभी को एक साथ जोड़ रहा है। हम इस सूत्र का उपयोग किसी घन का उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल से आयतन ज्ञात करने के लिए करेंगे।
• उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हमारे पास एक घन है जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल है 50 सेमी², लेकिन पसलियों की लंबाई अज्ञात है। अगले कुछ चरणों में, हम इस जानकारी का उपयोग घन का आयतन ज्ञात करने के लिए करेंगे।

चरण 2. घन के पृष्ठीय क्षेत्रफल को 6 से विभाजित करें।

चूँकि एक घन की 6 बराबर भुजाएँ होती हैं, एक भुजा का क्षेत्रफल 6 वाले घन के पृष्ठीय क्षेत्रफल से प्राप्त किया जा सकता है। एक भुजा का क्षेत्रफल घन के दो किनारों के गुणनफल के बराबर होता है (लंबाई × चौड़ाई, चौड़ाई × ऊंचाई, या ऊंचाई × लंबाई)।

इस उदाहरण में, 50/6 =. को विभाजित करें 8, 33 सेमी². यह मत भूलो कि द्वि-आयामी आकृतियों में इकाइयाँ होती हैं वर्ग (से। मी², एम², आदि)।

चरण 3. गणना परिणाम को रूट करें।

चूँकि घन की एक भुजा का पृष्ठीय क्षेत्रफल s. है ² (s × s), इस मूल को लेने से आपको घन की भुजा की लंबाई मिल जाएगी। एक बार जब आप भुजा की लंबाई जान लेते हैं, तो आप सामान्य सूत्र का उपयोग करके घन का आयतन ज्ञात कर सकते हैं।

उदाहरण समस्या में, 8, 33 कम या ज्यादा है 2, 89 सेमी.

चरण 4. घन का आयतन प्राप्त करने के लिए घन के किनारे को तीन से ऊपर उठाएं।

अब जब आपके पास घन की भुजा की लंबाई है, तो विधि 1 के चरणों के अनुसार घन का आयतन ज्ञात करने के लिए बस उस मान को घन (संख्या से दो बार गुणा करें) करें। बधाई हो, आपको घन का आयतन मिल गया है इसके सतह क्षेत्र से।

उदाहरण समस्या में, 2, 89 × 2, 89 × 2, 89 = 24, 14 सेमी³. अपने उत्तरों में घन इकाई जोड़ना न भूलें।

विधि 3 का 3: विकर्ण का आयतन ज्ञात करना

चरण 1. घन के एक तरफ के विकर्ण को 2 से विभाजित करके किनारे का पता लगाएं।

एक वर्ग का विकर्ण उसकी भुजा का 2 × लम्बा होता है। इस प्रकार, यदि दी गई जानकारी केवल घन की एक भुजा का विकर्ण है, तो आप विकर्ण को 2 से विभाजित करके किनारा ज्ञात कर सकते हैं। यहां से, आप केवल विधि 1 में दिए चरणों के साथ वॉल्यूम की खोज कर सकते हैं।

• उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि घन की किसी एक भुजा का विकर्ण है 7 सेमी. हम घन की भुजा की लंबाई 7/√2 = 4.96 सेमी की गणना करके ज्ञात करेंगे। अब जब आप भुजा की लंबाई जानते हैं, तो आयतन की गणना 4.96. की गणना करके की जा सकती है³ = 122, 36 सेमी³.
• यह ध्यान दिया जाना चाहिए, सामान्य तौर पर, कि डी ² = 2 s ² अर्थात् d घन की एक भुजा के विकर्ण की लंबाई है और s घन की भुजा की लंबाई है। यह पाइथागोरस सिद्धांत के अनुसार है, जिसमें कहा गया है कि एक समकोण त्रिभुज के कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। इस प्रकार, चूँकि घन की एक भुजा और उसकी दो भुजाओं के विकर्ण एक समकोण त्रिभुज हैं, d ² = एस ² + एस ² = 2 s ².

चरण 2. घन के दो विपरीत कोनों को जोड़ने वाले विकर्ण को वर्गाकार करें, फिर भुजा की लंबाई प्राप्त करने के लिए 3 और वर्गमूल से विभाजित करें।

यदि प्रदान की गई जानकारी घन के एक कोने से उसके विपरीत कोने तक फैले घन का केवल त्रि-आयामी विकर्ण है, तो घन का आयतन अभी भी पाया जा सकता है। डी का त्रि-आयामी विकर्ण घन के किनारों के साथ बने दाहिने त्रिभुज का कर्ण बन जाता है, और घन "डी" के किनारे के वर्ग का विकर्ण होता है। दूसरे शब्दों में, डी ² = 3 s ², यानी डी = घन के विपरीत कोनों को जोड़ने वाले 3-आयामी आकार का विकर्ण।

• यह पाइथागोरस सिद्धांत के कारण है। D, d, और s D के साथ कर्ण के रूप में समकोण बनाते हैं, इसलिए हम कह सकते हैं कि D ² = डी ² + एस ². इसलिए ऊपर हम d. की गणना करते हैं ² = 2 s ², यह निश्चित है कि डी ² = 2 s ² + s ² = 3 s ².

• उदाहरण के लिए, मान लें कि हम जानते हैं कि घन के आधार पर एक कोने को उसके शीर्ष के विपरीत कोने से जोड़ने वाले विकर्ण की लंबाई 10 मीटर है। वॉल्यूम खोजने के लिए, समीकरण में प्रत्येक "डी" के लिए 10 दर्ज करें:

  • डी ² = 3 s ².
  • 10² = 3 s ².
  • १०० = ३ एस ²
  • 33, 33 = एस ²
  • 5, 77 वर्ग मीटर = एस. यहाँ से, हमें केवल भुजा की लंबाई का उपयोग करके घन का आयतन ज्ञात करना है।
  • 5, 77³ = 192, 45 वर्ग मीटर³