ज्यामिति में ए कैसे प्राप्त करें (चित्रों के साथ)

2024 लेखक: Jason Gerald | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-16 11:13

ज्यामिति आकृतियों और कोणों का विज्ञान है। इस विज्ञान को सीखना कई छात्रों के लिए कठिन लग सकता है। कई अवधारणाएं हैं जो ज्यामिति में नई हैं और वे छात्रों के लिए चुनौतीपूर्ण हो सकती हैं। ज्यामिति को समझने के लिए आपको अभिधारणाओं, परिभाषाओं और प्रतीकों का अध्ययन करना चाहिए। यदि आप अच्छी अध्ययन आदतों और ज्यामिति के कुछ सुझावों को जोड़ते हैं, तो आप ज्यामिति में महारत हासिल कर सकते हैं।

कदम

3 का भाग 1: अंक प्राप्त करना

चरण 1. प्रत्येक कक्षा में भाग लें।

कक्षा नई चीजें सीखने और पिछली कक्षाओं में आपके द्वारा सीखी गई जानकारी को सुदृढ़ करने का स्थान है। यदि आप कक्षा में नहीं जाते हैं, तो आपको नवीनतम सामग्री के साथ बने रहना मुश्किल होगा।

• कक्षा में पूछें। आपके शिक्षक को यह सुनिश्चित करना चाहिए कि आप वास्तव में उस सामग्री को समझते हैं जिसे पढ़ाया गया है। यदि आपके कोई प्रश्न हैं, तो उनसे पूछने में संकोच न करें। कक्षा के कुछ अन्य विद्यार्थियों के भी आपके जैसे ही प्रश्न हो सकते हैं।
• कक्षा में प्रवेश करने से पहले, पढ़ाई जाने वाली सामग्री को पढ़ें और सूत्रों, प्रस्तावों और अभिधारणाओं को याद करें।
• अपने शिक्षक को कक्षा में देखें। अपने दोस्तों से केवल अवकाश के दौरान या स्कूल के बाद ही बात करें।

चरण 2. एक आरेख बनाएं।

ज्यामिति आकृतियों और कोणों का गणित है। ज्यामिति को समझने के लिए, यदि आप समस्या की कल्पना करते हैं और चित्र बनाते हैं तो यह आसान हो जाएगा। यदि आपसे कोण के बारे में पूछा जाए, तो उसे ड्रा करें। आरेख में ऊर्ध्वाधर कोणों के संबंधों को देखना आसान होगा। यदि कोई आरेख प्रदान नहीं किया गया है, तो उसे बनाएं।

• आकृतियों के गुणों को समझना और उनकी कल्पना करना ज्यामिति में महारत हासिल करने के महत्वपूर्ण घटक हैं।
• विभिन्न दिशाओं में आकृतियों को पहचानने और उनकी ज्यामितीय विशेषताओं (कोण माप, समानांतर और समानांतर रेखाओं की संख्या, आदि) के आधार पर अभ्यास करें।

चरण 3. अध्ययन समूह तैयार करें।

अध्ययन समूह सामग्री का अध्ययन करने और उन अवधारणाओं को स्पष्ट करने का एक अच्छा तरीका है जिन्हें आप नहीं समझते हैं। नियमित रूप से मिलने वाले अध्ययन समूहों का होना आपको वर्तमान सामग्री को पढ़ने और समझने के लिए बाध्य करेगा। जब आप अधिक कठिन विषयों से निपट रहे हों तो सहपाठियों के साथ अध्ययन करना उपयोगी हो सकता है। आप इसे एक साथ पढ़ और समझ सकते हैं।

आपका कोई मित्र ऐसी सामग्री को समझ सकता है जिसे आप नहीं समझते हैं और आपकी सहायता कर सकता है। आप अपने मित्र को कुछ समझने में मदद करने में सक्षम हो सकते हैं और अंततः उन्हें पढ़ाते समय सामग्री को बेहतर ढंग से महारत हासिल कर सकते हैं।

चरण 4। जानिए कि एक प्रोट्रैक्टर का उपयोग कैसे किया जाता है।

प्रोट्रैक्टर एक अर्धवृत्ताकार उपकरण है जिसका उपयोग कोणों को मापने के लिए किया जाता है। इस उपकरण का उपयोग कोनों को खींचने के लिए भी किया जा सकता है। यह जानना कि किसी प्रोट्रैक्टर का ठीक से उपयोग कैसे किया जाता है, ज्यामिति सीखने में एक महत्वपूर्ण कौशल है। कोण के आकार को मापने के लिए:

• चांदा के केंद्र के छेद को कोने के शीर्ष पर रखें।
• प्रोट्रैक्टर को तब तक घुमाएं जब तक कि नीचे की रेखा सीधे कोण बनाने वाले पैरों में से एक के ऊपर न हो।
• दूसरे पैर को चाँदे के ऊपर तक फैलाएँ और उस डिग्री को नोट करें जिस तक कोण का पैर गिरता है। यह कोण माप का परिणाम है।

चरण 5. सभी असाइनमेंट और होमवर्क करें।

सामग्री में सभी अवधारणाओं को समझने में आपकी सहायता के लिए गृहकार्य का उपयोग किया जाता है। होमवर्क करने से आपको पता चल जाएगा कि आप किन अवधारणाओं को पहले से ही समझ चुके हैं और किन विषयों के बारे में आपको और जानने की जरूरत है।

यदि आपको जनसंपर्क में एक निश्चित विषय को समझना मुश्किल लगता है, तो उस विषय पर तब तक ध्यान केंद्रित करें जब तक कि आप वास्तव में इसे समझ नहीं लेते। मदद के लिए अपने सहपाठी या शिक्षक से पूछें।

चरण 6. सामग्री को पढ़ाएं।

जब आप वास्तव में एक निश्चित विषय या अवधारणा को समझते हैं, तो आपको इसे दूसरों को समझाने में सक्षम होना चाहिए। यदि आप इसे तब तक नहीं समझा सकते जब तक कि कोई और न समझे, तो संभावना है कि आप इसे भी नहीं समझेंगे। अन्य लोगों को सामग्री पढ़ाना भी आपकी याददाश्त को तेज करने का एक अच्छा तरीका है।

• अपने भाई-बहनों या माता-पिता को ज्यामिति के बारे में सिखाने की कोशिश करें।
• आगे बढ़ें और उन अवधारणाओं की व्याख्या करें जिन्हें आप समूहों में पढ़ते समय वास्तव में समझते हैं।

चरण 7. अभ्यास प्रश्न करें।

ज्यामिति में महारत हासिल करने के लिए ज्ञान और कौशल की आवश्यकता होती है। अभ्यास की समस्याओं को किए बिना ज्यामिति के नियमों को सीखना ए प्राप्त करने के लिए पर्याप्त नहीं है। आपको अपना होमवर्क करना चाहिए और उन अवधारणाओं के बारे में प्रश्नों का अभ्यास करना चाहिए जिन्हें आप नहीं समझते हैं।

• सुनिश्चित करें कि आप विभिन्न स्रोतों से अधिक से अधिक अभ्यास प्रश्न करें। इसी तरह के प्रश्नों को अलग-अलग तरीकों से प्रस्तुत किया जा सकता है और आपके लिए समझना आसान हो सकता है।
• आप जितनी अधिक समस्याओं पर काम करेंगे, अगली बार उन्हें हल करना आपके लिए उतना ही आसान होगा।

चरण 8. अतिरिक्त सहायता मांगें।

कभी-कभी क्लास में जाना और टीचर से बात करना काफी नहीं होता। आपको ऐसे ट्यूटर की आवश्यकता हो सकती है जो उन विषयों के लिए समय दे सके जिन्हें समझना आपके लिए कठिन हो। कठिन सामग्री को समझने के लिए व्यक्तिगत रूप से किसी के साथ अध्ययन करना फायदेमंद हो सकता है।

• अपने शिक्षक से पूछें कि क्या स्कूल में कोई शिक्षक उपलब्ध हैं।
• अपने शिक्षक द्वारा प्रदान किए गए अतिरिक्त ट्यूटोरियल सत्रों में भाग लें और कक्षा में अपने प्रश्न पूछें।

3 का भाग 2: ज्यामिति अवधारणाओं को सीखना

चरण 1. यूक्लिड की ज्यामिति की पाँच अभिधारणाएँ सीखें।

ज्यामिति प्राचीन गणितज्ञ यूक्लिड द्वारा बनाई गई पांच अभिधारणाओं पर आधारित है। इन पांच कथनों को जानने और समझने से आपको ज्यामिति की विभिन्न अवधारणाओं को सीखने में मदद मिलेगी।

• 1: किन्हीं दो बिंदुओं को जोड़ने वाली एक सीधी रेखा खींची जा सकती है।
• 2: किसी भी सीधी रेखा को किसी भी दिशा में अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है।
• 3. एक रेखा के चारों ओर एक वृत्त खींचा जा सकता है जिसमें एक बिंदु मध्यबिंदु के रूप में कार्य करता है और रेखा की लंबाई वृत्त की त्रिज्या के रूप में होती है।
• 4. सभी समकोण सर्वांगसम होते हैं
• 5. यदि कोई रेखा और एक बिंदु है, तो उस बिंदु के आर-पार और पहली रेखा के समानांतर केवल एक अन्य रेखा खींची जा सकती है।

चरण 2. ज्यामिति के प्रश्नों में प्रयुक्त प्रतीकों को पहचानें।

जब आप पहली बार सीख रहे होते हैं, तो विभिन्न प्रतीक भ्रमित करने वाले हो सकते हैं। प्रत्येक प्रतीक का अर्थ सीखना और इसे जल्दी से पहचानने में सक्षम होने से सीखने की प्रक्रिया आसान हो जाएगी। ज्यामिति में आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले कुछ प्रतीक नीचे दिए गए हैं:

• छोटा त्रिभुज प्रतीक विशेषता त्रिभुज का प्रतिनिधित्व करता है।
• छोटे कोने का प्रतीक एक कोने की विशेषताओं का वर्णन करता है।
• अक्षरों की एक पंक्ति उनके ऊपर एक रेखा के साथ एक रेखा खंड की विशेषताओं का प्रतिनिधित्व करती है।
• अक्षरों की एक पंक्ति जिसके ऊपर एक तीर से चिह्नित एक रेखा होती है, एक रेखा की विशेषताओं का वर्णन करती है।
• एक क्षैतिज रेखा जिसके बीच में एक उर्ध्वाधर रेखा है, का अर्थ है कि दो रेखाएँ एक दूसरे के लंबवत हैं।
• दो लंबवत रेखाओं का अर्थ है एक रेखा जो एक दूसरी रेखा के समानांतर होती है।
• बराबर चिह्न प्लस इसके ऊपर एक घुमावदार रेखा का अर्थ है दो सर्वांगसम विमान।
• एक घुमावदार रेखा का अर्थ है कि दो आकृतियों का आकार लगभग समान है।
• त्रिभुज बनाने वाले तीन बिंदुओं का अर्थ "इसलिए" है।

चरण 3. रेखा की विशेषताओं को समझें।

एक सीधी रेखा को दोनों दिशाओं में अनंत तक बढ़ाया जा सकता है। अंत में एक तीर चिह्न के साथ खींची गई रेखा का अर्थ है कि रेखा को लगातार बढ़ाया जा सकता है। एक रेखा खंड में एक प्रारंभिक और समाप्ति बिंदु होता है। रेखा के दूसरे रूप को किरण कहा जाता है: इसे केवल एक दिशा में बढ़ाया जा सकता है। लाइनों को समानांतर, लंबवत या प्रतिच्छेदन में रखा जा सकता है।

• एक दूसरे के समानांतर दो रेखाएँ प्रतिच्छेद नहीं कर सकती हैं।
• दो लंबवत रेखाएं 90° का कोण बनाती हैं।
• एक पार की गई रेखा दो रेखाएँ होती हैं जो एक दूसरे को काटती हैं। प्रतिच्छेदी रेखाएँ लंबवत हो सकती हैं, लेकिन समानांतर नहीं हो सकतीं।

चरण 4. विभिन्न प्रकार के कोणों को जानें।

कोण तीन प्रकार के होते हैं: अधिक कोण, न्यून और लंबवत। अधिक कोण वह कोण होता है जो 90° से बड़ा होता है; न्यून कोण वह कोण होता है जो 90° से कम होता है, और लंब कोण वह कोण होता है जिसका माप ठीक 90° होता है। कोणों की पहचान करने में सक्षम होना ज्यामिति के अध्ययन में महत्वपूर्ण चीजों में से एक है।

90° का कोण एक लंबवत कोण होता है: दो रेखाएं एक पूर्ण कोण बनाती हैं।

चरण 5. पाइथागोरस प्रमेय को समझें।

पाइथागोरस प्रमेय कहता है² + बी² = सी². यह एक सूत्र है जो एक समकोण त्रिभुज के कर्ण की लंबाई की गणना करता है यदि आप पहले से ही अन्य दो भुजाओं की लंबाई जानते हैं। एक समकोण त्रिभुज एक त्रिभुज होता है जिसमें एक कोण 90° का होता है। प्रमेय में, a और b एक दूसरे के विपरीत हैं और त्रिभुज की लंबवत भुजाएँ हैं, जबकि c त्रिभुज का कर्ण है।

• उदाहरण: एक समकोण त्रिभुज के कर्ण की लंबाई की गणना करें यदि a = 2 और b = 3 हो।
• ए² + बी² = सी²
• 2² + 3² = सी²
• 4 + 9 = सी²
• 13 = सी²
• सी = 13
• सी = 3, 6

चरण 6. त्रिभुजों के प्रकारों की पहचान करने में महारत हासिल करें।

त्रिभुज तीन प्रकार के होते हैं: मनमाना, समद्विबाहु और समबाहु। त्रिभुज की तीनों भुजाओं में से कोई भी लंबाई समान नहीं है। एक समद्विबाहु त्रिभुज में दो समान भुजाएँ और दो समान कोण होते हैं। एक समबाहु त्रिभुज में तीन समान भुजाएँ और तीन समान कोण होते हैं। त्रिभुजों के प्रकारों को जानकर आप प्रत्येक त्रिभुज की विशेषताओं और अभिधारणाओं की पहचान कर सकते हैं।

• याद रखें, एक समबाहु त्रिभुज को तकनीकी रूप से एक समद्विबाहु त्रिभुज भी कहा जा सकता है क्योंकि इसकी दो भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं। सभी समबाहु त्रिभुज समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं, लेकिन सभी समद्विबाहु त्रिभुज समबाहु त्रिभुज नहीं होते।
• त्रिभुजों को कोणों के आकार के अनुसार भी समूहीकृत किया जा सकता है: न्यून, सम और अधिक। एक न्यूनकोण त्रिभुज का कोण 90° से कम होता है; एक अधिक त्रिभुज का कोण 90° से बड़ा होता है।

चरण 7. समरूप और सर्वांगसम (समान और सर्वांगसम) के बीच का अंतर जानें।

समान आकृतियाँ ऐसी आकृतियाँ होती हैं जिनमें समान कोण होते हैं, लेकिन जिनकी भुजाओं की लंबाई आनुपातिक रूप से छोटी या बड़ी होती है। दूसरे शब्दों में, बहुभुजों के कोण समान होते हैं लेकिन भुजाओं की लंबाई अलग-अलग होती है। सर्वांगसम आकृतियों का अर्थ समान और सर्वांगसम है; इन आकृतियों में समान कोण और भुजा की लंबाई होती है।

तुलनीय कोण वे कोण होते हैं जिनकी दो आकृतियों में समान कोण अंश होते हैं। एक समकोण त्रिभुज में, दो त्रिभुजों में 90 डिग्री के कोण समानुपाती होते हैं। तुलनीय कोणों के लिए, आकृतियों का पार्श्व आकार समान होना आवश्यक नहीं है।

चरण 8. पूरक और संपूरक कोणों के बारे में जानें।

पूरक कोण वे कोण होते हैं जो 90 डिग्री तक जोड़ते हैं, जबकि पूरक कोण 180 डिग्री तक जोड़ते हैं। याद रखें कि ऊर्ध्वाधर कोण हमेशा सर्वांगसम होते हैं; आंतरिक कोने और बाहरी कोने जो विपरीत होते हैं, हमेशा सर्वांगसम होते हैं। एक समकोण 90 डिग्री का होता है, जबकि एक सीधी रेखा में 180 डिग्री का कोण होता है।

• एक उर्ध्वाधर कोण दो प्रतिच्छेदी रेखाओं द्वारा निर्मित दो विपरीत कोण होते हैं।
• आंतरिक कोण तब बनते हैं जब दो रेखाएँ एक तीसरी रेखा से प्रतिच्छेद करती हैं। कोण तीसरी रेखा के विपरीत पक्षों पर हैं; पहली और दूसरी पंक्तियों के अंदर (आंतरिक) पर।
• जब दो रेखाएँ एक तीसरी रेखा को प्रतिच्छेद करती हैं तो बाह्य कोण भी बनते हैं। कोण तीसरी रेखा के विपरीत पक्षों पर हैं; लेकिन पहली और दूसरी पंक्तियों के बाहर (बाहरी) पर।

चरण 9. रिंग-फायर-विलेज याद रखें।

रिंग-फायर-विलेज एक स्मरणीय उपकरण है जो आपको समकोण त्रिभुज की साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा के सूत्रों को याद रखने में मदद कर सकता है। जब आप साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा की गणना करेंगे, तो निम्न सूत्र का उपयोग करें। साइन = सामने/सिरिंग (रिंग), कोसाइन = साइड/साइड (स्ट्रेन), टेंजेन = फ्रंट/सिरिंग (गांव)।

• उदाहरण: AB = 3, BC = 5 और AC = 4 भुजाओं की लंबाई वाले समकोण त्रिभुज के 39° कोण की ज्या, कोज्या और स्पर्श रेखा की गणना करें।
• sin(39°) = आगे/तिरछा = 3/5 = 0, 6
• cos(39°) = भुजा/ढलान = 4/5 = 0, 8
• तन(39°) = सामने/साइड = 3/4 = 0.75

भाग ३ का ३: २ कॉलम प्रूफ लिखना

चरण 1. प्रश्न को पढ़ने के बाद एक चित्र बनाइए।

कभी-कभी ज्यामिति के प्रश्न बिना चित्रों के दिए जाते हैं और प्रमाण की कल्पना करने के लिए आपको एक आरेख बनाना होता है। समस्या के अनुकूल एक मोटा स्केच बनाने के बाद, आपको आरेख को फिर से बनाना पड़ सकता है ताकि आप विवरण को स्पष्ट रूप से पढ़ सकें और आपके द्वारा बनाए जा रहे कोण कमोबेश सटीक हों।

• सुनिश्चित करें कि आपने इसे प्रदान की गई जानकारी के आधार पर स्पष्ट रूप से लेबल किया है।
• आप जितना स्पष्ट आरेख बनाएंगे, आपके लिए समस्या को हल करना उतना ही आसान होगा।

चरण 2. आपके द्वारा बनाए गए आरेख को देखें।

समकोण और समान लंबाई वाली भुजाओं को लेबल करें। यदि एक पंक्ति दूसरी के समानांतर है, तो उसका वर्णन करने के लिए एक लेबल लिखें। यदि कोई समस्या स्पष्ट रूप से यह नहीं बताती कि दो रेखाएँ समानुपाती हैं, तो क्या आप सिद्ध कर सकते हैं कि दोनों रेखाएँ समानुपाती हैं? सुनिश्चित करें कि आप उन सभी मान्यताओं को साबित कर सकते हैं जिनका आप उपयोग करते हैं।

• उन रेखाओं और कोणों के बीच के संबंधों को लिखिए जिन्हें आप अपने आरेख और धारणाओं के आधार पर समाप्त कर सकते हैं।
• समस्या में दिए गए सभी निर्देशों को लिख लें। ज्यामिति को सिद्ध करने में समस्या द्वारा दी गई कुछ जानकारी होगी। समस्या द्वारा दिए गए सभी निर्देशों को लिखने से आपको प्रमाण पूरा करने में मदद मिलेगी।

चरण 3. पीछे से आगे की ओर काम करें।

जब आप ज्यामिति में कुछ साबित करने की कोशिश करते हैं, तो आपको आकृतियों और कोणों के बारे में कई कथन दिए जाएंगे, फिर आपको यह साबित करना होगा कि वे कथन सत्य क्यों हैं। कभी-कभी, ऐसा करने का सबसे आसान तरीका समस्या के अंत में शुरू करना है।

• प्रश्न इसका निष्कर्ष कैसे निकाल सकता है?
• क्या इस निष्कर्ष पर पहुंचने के लिए आपको कोई स्पष्ट कदम साबित करने होंगे?

चरण 4. "कथन" और "कारण" लेबल वाला दो-स्तंभ वाला बॉक्स बनाएं।

एक ठोस प्रमाण प्राप्त करने के लिए, आपको एक बयान देना होगा और ज्यामितीय कारण देना होगा जो कथन को सही साबित करते हैं। स्टेटमेंट कॉलम के तहत, एक स्टेटमेंट लिखें जैसे कि कोण ABC = कोण DEF। कारण कॉलम में, कथन का समर्थन करने वाले साक्ष्य लिखें। यदि कारण प्रश्न के सुराग के रूप में दिया गया है, तो 'प्रश्न द्वारा प्रदान किया गया' लिखें। यदि नहीं, तो एक प्रमेय लिखिए जो कथन को सिद्ध करता है।

चरण 5. निर्धारित करें कि कौन सा प्रमेय प्रमाण के लिए उपयुक्त है।

ज्यामिति में कई प्रमेय हैं जिनका आप प्रमाण के रूप में उपयोग कर सकते हैं। इन प्रमेयों के आधार के रूप में कई विशिष्ट त्रिभुज, प्रतिच्छेद और समानांतर रेखाएँ और वृत्त का उपयोग किया जाता है। निर्धारित करें कि आप किस ज्यामितीय आकार पर काम कर रहे हैं और एक ऐसी आकृति खोजें जिसका उपयोग प्रूफ प्रक्रिया में किया जा सके। समानता का पता लगाने के लिए पिछले प्रमाणों की जाँच करें। यह लेख सभी ज्यामितीय प्रमेयों को नहीं लिख सकता है, लेकिन नीचे कुछ सबसे महत्वपूर्ण त्रिकोणीय प्रमेय हैं:

• दो या दो से अधिक सर्वांगसम त्रिभुजों की भुजाओं की लंबाई और संगत कोण समान होंगे। अंग्रेजी में, इस प्रमेय को छोटा करके CPCTC कर दिया जाता है (सर्वांगसम त्रिभुज के संगत भाग सर्वांगसम होते हैं)।
• यदि एक त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाई दूसरे त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाई के बराबर हो, तो दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं। अंग्रेजी में इस प्रमेय को SSS (साइड-साइड-साइड) कहते हैं।
• दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं यदि उनकी दो भुजाएँ समान लंबाई की हों और एक कोण जो समान आकार का हो। अंग्रेजी में इस प्रमेय को SAS (साइड-एंगल-साइड) कहते हैं।
• दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं यदि उनके दो समान कोण हों और एक भुजा की लंबाई समान हो। अंग्रेजी में इस थ्योरम को एएसए (एंगल-साइड-एंगल) कहते हैं।
• यदि दो या दो से अधिक त्रिभुजों के कोण समान हैं, तो इसका अर्थ है कि त्रिभुज समरूप हैं, लेकिन आवश्यक नहीं कि सर्वांगसम हों। अंग्रेजी में इस प्रमेय को AAA (एंगल-एंगल-एंगल) कहते हैं।

चरण 6. सुनिश्चित करें कि आप तर्कसंगत चरणों का पालन करते हैं।

अपने प्रमाण का एक रूपरेखा रेखाचित्र लिखिए। प्रत्येक चरण के पीछे प्रत्येक कारण लिखिए। निर्देशों के लिए प्रासंगिक चरणों में प्रश्न सुराग जोड़ें। प्रूफ़ की शुरुआत में सभी निर्देशों को केवल लिख न लें। यदि आवश्यक हो तो सबूत चरणों को पुनर्व्यवस्थित करें।

आप जितने अधिक प्रूफ़ करेंगे, आपके लिए प्रूफ़ चरणों को सही ढंग से सेट करना उतना ही आसान होगा।

चरण 7. अंतिम पंक्ति पर निष्कर्ष लिखें।

अंतिम चरण को आपका प्रमाण पूरा करना चाहिए, लेकिन इस अंतिम चरण के लिए अभी भी औचित्य की आवश्यकता है। प्रूफ़ खत्म करने के बाद, इसे दोबारा पढ़ें और सुनिश्चित करें कि आपके तर्क में कोई खामियां नहीं हैं। एक बार जब आप सुनिश्चित हो जाएं कि आपका प्रूफ़ सही है, तो निचले दाएं कोने में QED लिखकर इस बात पर ज़ोर दें कि आपका प्रूफ़ पूरा हो गया है।

टिप्स

• हर दिन जानें। आज के नोट्स, कल के नोट्स, और आपके द्वारा पहले पढ़ी गई सामग्री को दोबारा पढ़ें ताकि आप प्रस्तावों/प्रमेय, परिभाषाओं या प्रतीकों/नोटेशन को न भूलें।
• उन अवधारणाओं के बारे में वेबसाइट और वीडियो पढ़ें जिन्हें आप नहीं समझते हैं।
• याद रखने और उन्हें दोबारा पढ़ने में आपकी मदद करने के लिए सूत्रों के साथ रीडिंग कार्ड तैयार करें।
• अपनी ज्यामिति कक्षा के कुछ दोस्तों के फोन नंबर और ईमेल पते मांगें ताकि वे घर पर अध्ययन करते समय आपकी मदद कर सकें।
• पिछले लघु सेमेस्टर में कक्षाएं लें ताकि आपको नियमित स्कूल वर्ष में ज्यादा मेहनत न करनी पड़े।
• ध्यान करो। यह आपकी मदद कर सकता है।

चेतावनी

• विलंब न करें
• कम समय में सारी सामग्री सीखने की कोशिश न करें