द्विघात या परवलय समीकरण का शीर्ष, समीकरण का उच्चतम या निम्नतम बिंदु होता है। यह बिंदु परवलय के सममित तल के अंदर होता है; परवलय के बाईं ओर जो कुछ भी है वह दाईं ओर जो कुछ भी है उसका पूर्ण प्रतिबिंब है। यदि आप द्विघात समीकरण का शीर्ष ज्ञात करना चाहते हैं, तो आप शीर्ष सूत्र का उपयोग कर सकते हैं या वर्ग को पूरा कर सकते हैं।
कदम
विधि 1: 2 में से: पीक फॉर्मूला का उपयोग करना
चरण 1. a, b, और c के मान निर्धारित करें।
द्विघात समीकरण में, x भाग2 = a, भाग x = b, और स्थिरांक (बिना चर वाला भाग) = c. उदाहरण के लिए, आप निम्नलिखित समीकरण को हल करना चाहते हैं: y = x2 + 9x + 18। इस उदाहरण में, ए = 1, बी = 9, और सी = 18।
चरण 2. शीर्ष सूत्र का उपयोग करके शीर्ष का x-मान ज्ञात कीजिए।
शीर्ष भी एक सममित समीकरण है। द्विघात समीकरण के शीर्ष का x मान ज्ञात करने का सूत्र x = -b/2a है। x खोजने के लिए आवश्यक मान दर्ज करें। ए और बी के मान दर्ज करें। लिखें कि आप कैसे काम करते हैं:
- एक्स=-बी/2ए
- एक्स=-(9)/(2)(1)
- एक्स=-9/2
चरण 3. y का मान प्राप्त करने के लिए x के मान को मूल समीकरण में जोड़ें।
यदि आप पहले से ही x का मान जानते हैं, तो इसे y के मान के लिए मूल समीकरण में प्लग करें। आप द्विघात समीकरण के शीर्ष को (x, y) = [(-b/2a), f(-b/2a)] के रूप में खोजने के लिए सूत्र के बारे में सोच सकते हैं। इसका मतलब है, y का मान ज्ञात करने के लिए, आपको सूत्र का उपयोग करके x का मान ज्ञात करना होगा और इसे वापस समीकरण में प्लग करना होगा। यहाँ यह कैसे करना है:
- वाई = एक्स2 + 9x + 18
- वाई = (-9/2)2 + 9(-9/2) +18
- वाई = 81/4 -81/2 + 18
- वाई = 81/4 -162/4 + 72/4
- वाई = (81 - 162 + 72) / 4
- वाई = -9/4
चरण 4. x और y के मानों को क्रमागत युग्मों के रूप में लिखिए।
यदि आप पहले से ही जानते हैं कि x = -9/2 और y = -9/4, तो उन्हें क्रमागत जोड़े के रूप में लिखें: (-9/2, -9/4)। द्विघात समीकरण का शीर्ष (-9/2, -9/4) है। यदि आप इस परवलय को एक ग्राफ पर खींचते हैं, तो यह बिंदु परवलय का न्यूनतम/निम्नतम बिंदु है क्योंकि x2 सकारात्मक।
विधि २ का २: वर्ग पूरा करें
चरण 1. समीकरण लिखिए।
वर्ग को पूरा करना द्विघात समीकरण के शीर्ष को खोजने का एक और तरीका है। इस पद्धति का उपयोग करते हुए, यदि आप अंत तक अपना काम करते हैं, तो आप x निर्देशांक को मूल समीकरण में प्लग किए बिना सीधे x और y निर्देशांक पा सकते हैं। यदि आप निम्न द्विघात समीकरण को हल करना चाहते हैं: x2 + 4x + 1 = 0.
चरण 2. प्रत्येक भाग को x. के गुणांक से विभाजित करें2.
इस मामले में, x. का गुणांक2 1 है, इसलिए आप इस चरण को छोड़ सकते हैं। सभी भागों को 1 से विभाजित करने से कुछ भी नहीं बदलेगा।
चरण 3. अचर भाग को समीकरण के दाईं ओर ले जाएँ।
एक स्थिरांक वह भाग है जिसमें कोई गुणांक नहीं होता है। इस मामले में, स्थिरांक 1 है। दोनों पक्षों से 1 घटाकर 1 को समीकरण के दूसरी ओर ले जाएँ। यहाँ यह कैसे करना है:
- एक्स2 + 4x + 1 = 0
- एक्स2 + 4x + 1 -1 = 0 - 1
- एक्स2 + 4x = - 1
चरण 4. समीकरण के बाईं ओर वर्ग को पूरा करें।
ऐसा करने के लिए, खोजें (बी/2)2 और परिणाम को समीकरण के दोनों पक्षों में जोड़ें। b के लिए 4 दर्ज करें क्योंकि 4x इस समीकरण में b का हिस्सा है।
-
(4/2)2 = 22 = ४. अब, समीकरण के दोनों पक्षों में ४ जोड़ कर कुछ इस तरह प्राप्त करें:
- एक्स2 + 4x + 4 = -1 + 4
- एक्स2 + 4x + 4 = 3
चरण 5. समीकरण के बाईं ओर का गुणनखंड करें।
आप देख सकते हैं कि x2 +4x + 4 एक पूर्ण वर्ग है। इस समीकरण को (x + 2) के रूप में लिखा जा सकता है2 = 3
चरण 6. x और y निर्देशांक ज्ञात करने के लिए इस आकृति का उपयोग करें।
आप (x + 2) बनाकर x-निर्देशांक ज्ञात कर सकते हैं2 शून्य के बराबर। तो, जब (x + 2)2 = 0, x का मान क्या है? +2 की क्षतिपूर्ति के लिए x चर -2 होना चाहिए, इसलिए आपका x-निर्देशांक -2 है। आपका y-निर्देशांक समीकरण के दूसरी ओर स्थिरांक है। तो, y = 3. आप इसे छोटा भी कर सकते हैं और x-निर्देशांक प्राप्त करने के लिए कोष्ठक में संख्या को प्रतिस्थापित कर सकते हैं। अत: समीकरण का शीर्ष x2 + 4x + 1 = (-2, -3)
टिप्स
- ए, बी, और सी को सही ढंग से निर्धारित करें।
- हमेशा लिखें कि आप कैसे काम करते हैं। यह न केवल आपको रेटिंग देने वाले व्यक्ति को यह जानने में मदद करता है कि क्या आप समझते हैं कि आप क्या कर रहे हैं, बल्कि यह आपको यह जांचने में भी मदद करता है कि क्या आपने कोई गलती की है।
- परिणाम सही होने के लिए गणना संचालन के क्रम का पालन किया जाना चाहिए।
चेतावनी
- इसे लिख लें और जांचें कि आप कैसे काम करते हैं!
- सुनिश्चित करें कि आप ए, बी और सी जानते हैं - अन्यथा आपका उत्तर गलत होगा।
- निराश न हों - इसके लिए कुछ अभ्यास की आवश्यकता हो सकती है।
