मैन्युअल रूप से वर्गमूलों की गणना कैसे करें (चित्रों के साथ)

2024 लेखक: Jason Gerald | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-15 08:15

कैलकुलेटर के आविष्कार से पहले के दिनों में, छात्रों और प्रोफेसरों को वर्गमूल की गणना मैन्युअल रूप से करनी पड़ती थी। इस कठिन प्रक्रिया को दूर करने के लिए कई अलग-अलग तरीके विकसित किए गए हैं। कुछ तरीके एक मोटा अनुमान देते हैं और अन्य सटीक मूल्य देते हैं। सरल संक्रियाओं का उपयोग करके किसी संख्या का वर्गमूल कैसे ज्ञात करें, यह जानने के लिए, आरंभ करने के लिए नीचे चरण 1 देखें।

कदम

विधि 1: 2 में से: प्रधान गुणनखंड का उपयोग करना

चरण 1. अपनी संख्या को पूर्ण वर्ग गुणनखंडों में विभाजित करें।

यह विधि संख्या के वर्गमूल को खोजने के लिए किसी संख्या के गुणनखंडों का उपयोग करती है (संख्या के आधार पर, उत्तर एक सटीक संख्या या निकट सन्निकटन हो सकता है)। किसी संख्या के गुणनखंड अन्य संख्याओं का समुच्चय होते हैं, जिन्हें गुणा करने पर वह संख्या प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, आप कह सकते हैं कि 8 के गुणनखंड 2 और 4 हैं क्योंकि 2 × 4 = 8. इस बीच, पूर्ण वर्ग पूर्ण संख्याएँ हैं जो अन्य पूर्ण संख्याओं का गुणनफल हैं। उदाहरण के लिए, 25, 36 और 49 पूर्ण वर्ग हैं क्योंकि वे क्रमशः 5 हैं², 6², और 7². जैसा कि आपने अनुमान लगाया होगा, पूर्ण वर्ग गुणनखंड ऐसे कारक हैं जो पूर्ण वर्ग भी होते हैं। अभाज्य गुणनखंड द्वारा वर्गमूल ज्ञात करना प्रारंभ करने के लिए, पहले अपनी संख्या को उसके पूर्ण वर्ग गुणनखंड तक सरल बनाने का प्रयास करें।

आइए एक उदाहरण का उपयोग करें। हम मैन्युअल रूप से 400 का वर्गमूल निकालना चाहते हैं। आरंभ करने के लिए, हम संख्या को उसके पूर्ण वर्ग गुणनखंडों में विभाजित करेंगे। चूँकि 400 100 का गुणज है, हम जानते हैं कि 400 25 से विभाज्य है - एक पूर्ण वर्ग। छाया के त्वरित विभाजन के साथ, हम पाते हैं कि 400 को 25 से विभाजित करने पर 16 होता है। संयोग से, 16 भी एक पूर्ण वर्ग है। इस प्रकार, 400 के पूर्ण वर्ग गुणनखंड हैं 25 और 16 क्योंकि 25 × 16 = 400।
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: वर्ग (400) = वर्ग (25 × 16)

चरण 2. अपने पूर्ण वर्ग गुणनखंडों का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।

वर्गमूल का गुणन गुण बताता है कि किसी भी संख्या a और b के लिए, Sqrt(a × b) = Sqrt(a) × Sqrt(b)। इस गुण के कारण, अब हम अपने पूर्ण वर्ग गुणनखंडों का वर्गमूल ज्ञात कर सकते हैं और उन्हें गुणा करके अपना उत्तर प्राप्त कर सकते हैं।

हमारे उदाहरण में, हम 25 और 16 के वर्गमूल पाएंगे। नीचे देखें:
- जड़(25 × 16)
- रूट(25) × रूट(16)
- 5 × 4 =
  
  चरण 20.

चरण 3. यदि आपकी संख्या का पूर्ण रूप से गुणनखंडन नहीं किया जा सकता है, तो अपने उत्तर को उसके सरलतम रूप में सरल करें।

वास्तविक जीवन में, अक्सर आपको जिन संख्याओं का वर्गमूल निकालने की आवश्यकता होती है, वे सुखद पूर्ण संख्याएँ नहीं होती हैं, जिनमें स्पष्ट पूर्ण वर्ग गुणक 400 होते हैं। इन मामलों में, यह संभव है कि हमें सही उत्तर नहीं मिल रहा हो। एक पूर्ण संख्या के रूप में। हालाँकि, जितने पूर्ण वर्ग गुणनखंड आप पा सकते हैं, आप एक वर्गमूल के रूप में उत्तर पा सकते हैं जो छोटा, सरल और गणना करने में आसान है। ऐसा करने के लिए, अपनी संख्या को पूर्ण वर्ग गुणनखंडों और अपूर्ण वर्ग गुणकों के संयोजन में घटाएं, फिर सरल करें।

आइए एक उदाहरण के रूप में 147 के वर्गमूल का उपयोग करें। 147 दो पूर्ण वर्गों का गुणनफल नहीं है, इसलिए हम ऊपर के रूप में सटीक पूर्णांक मान नहीं प्राप्त कर सकते हैं। हालाँकि, 147 एक पूर्ण वर्ग और दूसरी संख्या - 49 और 3 का गुणनफल है। हम इस जानकारी का उपयोग अपने उत्तर को सरलतम रूप में लिखने के लिए इस प्रकार कर सकते हैं:
- रूट(147)
- = रूट (49 × 3)
- = वर्ग(49) × वर्ग(3)
- = 7 × रूट(3)

चरण 4. यदि आवश्यक हो, अनुमान लगाएं।

अपने वर्गमूल के सरलतम रूप में होने के कारण, शेष वर्गमूल के मान का अनुमान लगाकर और उसे गुणा करके संख्या उत्तर का एक मोटा अनुमान प्राप्त करना आमतौर पर काफी आसान होता है। अपने अनुमान का मार्गदर्शन करने का एक तरीका यह है कि आप अपने वर्गमूल की संख्या से बड़े और कम पूर्ण वर्गों की तलाश करें। आप देखेंगे कि आपके वर्गमूल में संख्या का दशमलव मान दो संख्याओं के बीच है, इसलिए आप दो संख्याओं के बीच के मान का अनुमान लगा सकते हैं।

आइए अपने उदाहरण पर लौटते हैं। क्योंकि 2² = 4 और 1² = 1, हम जानते हैं कि रूट(3) 1 और 2 के बीच है - शायद 1 से 2 के करीब है। हम अनुमान लगाते हैं 1, 7. 7 × 1, 7 = 11, 9. यदि हम कैलकुलेटर पर अपने उत्तर की जांच करते हैं, तो हम देख सकते हैं कि हमारा उत्तर वास्तविक उत्तर के काफी करीब है जो है 12, 13.

यह बड़ी संख्या पर भी लागू होता है। उदाहरण के लिए, रूट (३५) को ५ और ६ (संभवतः ६ के करीब) के बीच अनुमानित किया जा सकता है। 5² = 25 और 6² = ३६. ३५, २५ और ३६ के बीच है, इसलिए वर्गमूल ५ और ६ के बीच होना चाहिए। चूँकि ३५, ३६ से केवल एक कम है, हम विश्वास के साथ कह सकते हैं कि वर्गमूल ६ से थोड़ा कम है। कैलकुलेटर से जाँच करने पर हमें उत्तर दें लगभग 5, 92 - हम सही हैं।

चरण 5. वैकल्पिक रूप से, अपने पहले कदम के रूप में अपनी संख्या को उसके कम से कम सामान्य कारकों तक कम करें।

यदि आप आसानी से किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंड (कारक जो अभाज्य संख्याएँ भी हैं) निर्धारित कर सकते हैं, तो पूर्ण वर्गों के गुणनखंड ज्ञात करना आवश्यक नहीं है। अपनी संख्या को उसके लघुत्तम समापवर्तक के पदों में लिखिए। फिर, अभाज्य संख्याओं के जोड़े खोजें जो आपके गुणनखंडों से मेल खाते हों। जब आपको दो अभाज्य गुणनखंड मिलते हैं जो समान हैं, तो इन दो संख्याओं को वर्गमूल से हटा दें और इनमें से किसी एक संख्या को वर्गमूल के बाहर रख दें।

उदाहरण के लिए, इस विधि का उपयोग करके 45 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए। हम जानते हैं कि ४५ × ५ और हम जानते हैं कि ९ = ३ × ३ के तहत। इस प्रकार, हम इस तरह के कारकों के संदर्भ में अपना वर्गमूल लिख सकते हैं: Sqrt(3 × 3 × 5)। अपने वर्गमूल को उसके सरलतम रूप में सरल बनाने के लिए बस दोनों ३ को हटा दें और एक ३ को वर्गमूल के बाहर रख दें: (३) जड़ (५)।

यहां से अंदाजा लगाना आसान होगा।
अंतिम उदाहरण समस्या के रूप में, आइए 88 का वर्गमूल ज्ञात करने का प्रयास करें:
- जड़(88)
- = रूट(२ × ४४)
- = रूट (2 × 4 × 11)
- = रूट (2 × 2 × 2 × 11)। हमारे वर्गमूल में कुछ 2 हैं। चूँकि 2 एक अभाज्य संख्या है, हम 2s का एक जोड़ा निकाल सकते हैं और उनमें से एक को वर्गमूल से बाहर रख सकते हैं।
- = हमारा वर्गमूल अपने सरलतम रूप में है (2) Sqrt(2 × 11) or (२) रूट(२) रूट(११)।
  
  यहाँ से, हम Sqrt(2) और Sqrt(11) का अनुमान लगा सकते हैं और जैसा हम चाहते हैं, अनुमानित उत्तर प्राप्त कर सकते हैं।

विधि २ का २: वर्गमूल को मैन्युअल रूप से ढूँढना

लॉन्ग डिवीजन एल्गोरिथम का उपयोग करना

चरण 1. अपनी संख्या के अंकों को जोड़ियों में अलग करें।

यह विधि अंकों द्वारा सटीक वर्गमूल अंक खोजने के लिए लंबे विभाजन के समान प्रक्रिया का उपयोग करती है। हालांकि यह अनिवार्य नहीं है, लेकिन यदि आप अपने कार्यस्थल और अपने नंबरों को आसानी से काम करने वाले भागों में व्यवस्थित करते हैं तो आपको इस प्रक्रिया को अंजाम देना आसान हो सकता है। सबसे पहले, अपने कार्य क्षेत्र को दो खंडों में विभाजित करने वाली एक लंबवत रेखा खींचें, फिर दाएं अनुभाग को एक छोटे शीर्ष अनुभाग और एक बड़े निचले भाग में विभाजित करने के लिए ऊपरी दाएं भाग के पास एक छोटी क्षैतिज रेखा खींचें। इसके बाद, दशमलव बिंदु से शुरू करते हुए, अपने अंकों को जोड़ियों में विभाजित करें। उदाहरण के लिए, इस नियम का पालन करते हुए, 79,520,789,182, 47897 "7 95 20 78 91 82. 47 89 70" हो जाता है। ऊपर बाईं ओर अपना नंबर लिखें।

उदाहरण के लिए, आइए 780, 14 के वर्गमूल की गणना करने का प्रयास करें। अपने कार्यस्थल को ऊपर के रूप में विभाजित करने के लिए दो रेखाएँ खींचें और ऊपर बाईं ओर "7 80. 14" लिखें। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि सबसे बाईं ओर की संख्या एक एकल संख्या है, न कि संख्याओं की एक जोड़ी। आप अपना उत्तर ऊपर दाईं ओर (वर्गमूल 780, 14) लिखेंगे।

चरण 2. सबसे बड़ा पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिसका वर्ग मान सबसे बाईं ओर की संख्या (या संख्याओं के युग्म) से कम या उसके बराबर है।

अपने नंबर के सबसे बाईं ओर से शुरू करें, नंबर जोड़े और सिंगल नंबर दोनों। सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग ज्ञात कीजिए जो इस संख्या से कम या उसके बराबर हो, तो इस पूर्ण वर्ग का वर्गमूल ज्ञात कीजिए। यह संख्या एन. ऊपर दाईं ओर n लिखें और निचले दाएं चतुर्थांश में n का वर्ग लिखें।

हमारे उदाहरण में, सबसे बाईं ओर संख्या 7 है। क्योंकि हम जानते हैं कि 2² = 4 ≤ 7 < 3² = 9, हम कह सकते हैं कि n = 2 क्योंकि 2 सबसे बड़ा पूर्णांक है जिसका वर्ग मान 7 से कम या उसके बराबर है। ऊपरी दाएँ चतुर्थांश में 2 लिखें। यह हमारे उत्तर का पहला अंक है। निचले दाएं चतुर्थांश में 4 (2 का वर्ग मान) लिखें। यह संख्या अगले चरण के लिए महत्वपूर्ण है।

चरण 3. उस संख्या को घटाएं जो आपने अभी-अभी सबसे बाईं जोड़ी से परिकलित की है।

लंबे विभाजन के साथ, अगला कदम उस वर्ग के मूल्य को घटाना है जो हमने अभी-अभी विश्लेषण किया है। इस संख्या को पहले भाग के नीचे लिखें और इसके नीचे अपना उत्तर लिखकर घटाएं।

हमारे उदाहरण में, हम 4 अंडर 7 लिखेंगे, फिर उसे घटा देंगे। यह घटाव एक उत्तर देता है

चरण 3।.

चरण 4. अगली जोड़ी छोड़ें।

उस संख्या के अगले भाग को नीचे ले जाएँ जिसके लिए आप वर्गमूल की तलाश कर रहे हैं, घटाव मान के बगल में जो आपने अभी पाया है। इसके बाद, ऊपरी दाएं चतुर्थांश में संख्या को दो से गुणा करें और निचले दाएं चतुर्थांश में उत्तर लिखें। आपके द्वारा अभी-अभी लिखी गई संख्या के आगे, गुणन समस्या के लिए एक स्थान छोड़ दें जो आप अगले चरण में '"_×_="' लिखकर करेंगे।

हमारे उदाहरण में, हमारी संख्याओं का अगला जोड़ा "80" है। बाएं चतुर्थांश में 3 के आगे "80" लिखें। इसके बाद, ऊपर दाईं ओर की संख्या को दो से गुणा करें। यह संख्या 2 है, इसलिए 2 × 2 = 4। निचले दाएं चतुर्थांश में "'4"' लिखें, इसके बाद _×_=.

चरण 5. दाहिने चतुर्थांश में रिक्त स्थानों की पूर्ति करें।

आपको उन सभी रिक्त स्थानों को भरना होगा जिन्हें आपने अभी सही चतुर्थांश में लिखा है, समान पूर्ण संख्या के साथ। यह पूर्णांक सबसे बड़ा पूर्णांक होना चाहिए जो उत्पाद को दाएं चतुर्थांश में वर्तमान में बाईं ओर की संख्या से कम या उसके बराबर बनाता है।

हमारे उदाहरण में, हम रिक्त स्थान को 8 से भरते हैं, जिसके परिणामस्वरूप 4(8) × 8 = 48 × 8 = 384 होता है। यह मान 384 से अधिक है। इस प्रकार, 8 बहुत बड़ा है, लेकिन 7 काम कर सकता है। रिक्त स्थान में 7 लिखिए और हल कीजिए: 4(7) × 7 = 329। 7 एक सही संख्या है क्योंकि 329 380 से कम है। ऊपरी दाएँ चतुर्थांश में 7 लिखिए। यह 780, 14 के वर्गमूल में दूसरा अंक है।

चरण 6. उस संख्या को घटाएं जो आपने अभी गणना की है अब बाईं ओर की संख्या से।

लंबी विभाजन विधि का उपयोग करके घटाव श्रृंखला के साथ जारी रखें। समस्या के गुणनफल को दाएं चतुर्थांश में लें और नीचे अपने उत्तर लिखते समय उस संख्या से घटाएं जो अब बाईं ओर है।

हमारे उदाहरण में, हम ३२९ को ३८० में से घटा देंगे, जो परिणाम देता है 51.

चरण 7. दोहराएँ चरण 4।

उस संख्या का अगला भाग ज्ञात कीजिए जिसके लिए आप वर्गमूल खोज रहे हैं। जब आप अपनी संख्या में दशमलव बिंदु पर पहुँच जाएँ, तो अपने उत्तर में दशमलव बिंदु को ऊपरी दाएँ चतुर्थांश में लिखें। फिर, ऊपर दाईं ओर की संख्या को 2 से गुणा करें और इसे रिक्त गुणन समस्या ("_ × _") के बगल में ऊपर के रूप में लिखें।

हमारे उदाहरण में, चूंकि अब हम 780, 14 में दशमलव बिंदु के साथ काम कर रहे हैं, ऊपर दाईं ओर हमारे वर्तमान उत्तर के बाद दशमलव बिंदु लिखें। इसके बाद, अगले जोड़े (14) को बाएं चतुर्थांश में नीचे करें। ऊपरी दाएं (27) की संख्या का दोगुना 54 के बराबर है, इसलिए निचले दाएं चतुर्थांश में "54 _×_=" लिखें।

चरण 8. चरण 5 और 6 दोहराएँ।

दाईं ओर रिक्त स्थान को भरने के लिए सबसे बड़ा अंक ज्ञात कीजिए, जो वर्तमान में बाईं ओर की संख्या से कम या उसके बराबर उत्तर देता है। फिर, समस्या का समाधान करें।

हमारे उदाहरण में, ५४९ × ९ = ४९४१, जो बाईं ओर की संख्या (५११४) से कम या उसके बराबर है। ५४९ × १० = ५४९० बहुत बड़ा है, इसलिए ९ आपका उत्तर है। ऊपरी दाएं चतुर्थांश में अगले अंक के रूप में 9 लिखें और बाईं ओर की संख्या से गुणनफल घटाएं: 5114 घटा 4941 173 के बराबर है।

चरण 9. अंकों की गिनती जारी रखने के लिए, बाईं ओर शून्य के जोड़े को नीचे करें, और चरण 4, 5 और 6 दोहराएं।

अधिक सटीकता के लिए, अपने उत्तर में सैकड़ों, हजारों और अधिक स्थानों को खोजने के लिए इस प्रक्रिया को जारी रखें। इस चक्र का उपयोग तब तक करते रहें जब तक आपको वांछित दशमलव स्थान न मिल जाए।

प्रक्रिया को समझना

चरण 1. उस संख्या की कल्पना करें जिसका वर्गमूल आपने एक वर्ग के क्षेत्रफल S के रूप में निकाला है।

चूँकि एक वर्ग का क्षेत्रफल P. है² जहाँ P किसी एक भुजा की लंबाई है, तो अपनी संख्या का वर्गमूल ज्ञात करने का प्रयास करके, आप वास्तव में वर्ग की उस भुजा की लंबाई P की गणना करने का प्रयास कर रहे हैं।

चरण 2. अपने उत्तर के प्रत्येक अंक के लिए अक्षर चर निर्धारित करें।

चर A को P के पहले अंक के रूप में सेट करें (जिस वर्गमूल की हम गणना करने का प्रयास कर रहे हैं)। बी दूसरा अंक होगा, सी तीसरा अंक होगा, और इसी तरह।

चरण 3. अपनी प्रारंभिक संख्या के प्रत्येक भाग के लिए अक्षर चर निर्धारित करें।

परिवर्तनीय एस सेट करें_ए S (आपका प्रारंभिक मान) में अंकों की पहली जोड़ी के लिए, S_बी अंकों की दूसरी जोड़ी के लिए, आदि।

चरण 4. इस विधि और दीर्घ विभाजन के बीच संबंध को समझें।

वर्गमूल निकालने की यह विधि मूल रूप से एक लंबी विभाजन समस्या है जो आपकी प्रारंभिक संख्या को वर्गमूल से विभाजित करती है, जिससे आपको उत्तर का वर्गमूल मिलता है। लंबे विभाजन की समस्या की तरह, आप प्रत्येक चरण में केवल अगले अंक में रुचि रखते हैं। इस तरह, आप प्रत्येक चरण में केवल अगले दो अंकों में रुचि रखते हैं (जो कि वर्गमूल के लिए प्रत्येक चरण में अगला अंक है)।

चरण 5. सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिसका वर्ग मान S. से कम या उसके बराबर है_ए.

हमारे उत्तर में A का पहला अंक सबसे बड़ा पूर्णांक है जिसका वर्ग मान S. से अधिक नहीं है_ए (अर्थात A ताकि A² Sa < (A+1)²)। हमारे उदाहरण में, S_ए = 7, और 2² 7 <3², तो ए = 2।

ध्यान दें, उदाहरण के लिए, यदि आप लंबे विभाजन का उपयोग करके 88962 को 7 से विभाजित करना चाहते हैं, तो पहले चरण काफी समान हैं: आपको 88962 का पहला अंक दिखाई देगा (जो कि 8 है) और आप सबसे बड़ा अंक ढूंढ रहे हैं जो, जब 7 से गुणा किया जाता है, तो 8 से कम या बराबर होता है मूल रूप से, आप d की तलाश कर रहे हैं ताकि 7×d 8 < 7×(d+1)। इस मामले में, d 1 के बराबर होगा।

चरण 6. उस वर्ग के मान की कल्पना करें जिसके क्षेत्रफल पर आप काम करना शुरू करने जा रहे हैं।

आपका उत्तर, आपकी आरंभिक संख्या का वर्गमूल, P है, जो क्षेत्र S (आपकी प्रारंभिक संख्या) के साथ वर्ग की लंबाई का वर्णन करता है। ए, बी, सी के लिए आपके ग्रेड, पी के मान में अंकों का प्रतिनिधित्व करते हैं। यह कहने का एक और तरीका है 10 ए + बी = पी (दो अंकों के उत्तर के लिए), 100 ए + 10 बी + सी = पी (तीन के लिए- अंक उत्तर), आदि।

हमारे उदाहरण में, (10ए+बी)² = पी² = एस = 100A² + 2×10A×B + B². याद रखें कि 10A+B हमारे उत्तर का प्रतिनिधित्व करता है, P, जिसमें B इकाई की स्थिति में है और A दहाई की स्थिति में है। उदाहरण के लिए, A=1 और B=2 के साथ, तो 10A+B 12 के बराबर होता है। (10ए+बी)² वर्ग का कुल क्षेत्रफल है, जबकि १००ए इसमें सबसे बड़े वर्ग का क्षेत्रफल है, ब इसमें सबसे छोटे वर्ग का क्षेत्रफल है, और 10ए × बी शेष दो आयतों का क्षेत्रफल है। इस लंबी और जटिल प्रक्रिया को करने से, हम अंदर के वर्गों और आयतों के क्षेत्रफलों को जोड़कर एक वर्ग का कुल क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं।

चरण 7. A² को S. से घटाएं_ए.

अंकों की एक जोड़ी घटाएं (S_बी) एस का मूल्य एस_ए एस_बी वर्ग के कुल क्षेत्रफल के करीब, जिसका उपयोग आपने बड़े आंतरिक वर्ग को घटाने के लिए किया था। शेष को संख्या N1 के रूप में माना जा सकता है, जो हमें चरण 4 (हमारे उदाहरण में N1 = 380) में मिला है। N1 2&बार के बराबर होता है:10A×B + B² (दो आयतों का क्षेत्रफल और छोटे वर्ग का क्षेत्रफल)।

चरण 8. N1 = 2×10A×B + B² खोजें, जिसे N1 = (2×10A + B) × B के रूप में भी लिखा जाता है।

हमारे उदाहरण में, आप पहले से ही N1 (380) और A(2) को जानते हैं, इसलिए आपको B को खोजना होगा। B सबसे अधिक संभावना है कि एक पूर्ण संख्या नहीं है, इसलिए आपको वास्तव में सबसे बड़ा पूर्णांक B खोजने की आवश्यकता है जैसे कि (2×10A + बी) × बी एन १। तो आपके पास है: N1 < (2×10A + (B+1)) × (B+1)।)

चरण 9. समाप्त करें।

इस समीकरण को हल करने के लिए, A को 2 से गुणा करें, परिणाम को दहाई की स्थिति (10 से गुणा करने के बराबर) में स्थानांतरित करें, B को इकाई की स्थिति में रखें, और संख्या को B से गुणा करें। दूसरे शब्दों में, हल करें (2×10A + बी) × बी। जब आप चरण 4 में निचले दाएं चतुर्थांश में "N_×_=" (N=2×A के साथ) लिखते हैं, तो आप ठीक यही करते हैं। चरण 5 में, आपको सबसे बड़ा पूर्णांक B मिलता है, जो इससे मेल खाता है इसके नीचे की संख्या ताकि (2×10A+B)×BN1.

चरण 10. क्षेत्रफल (2×10A + B) × B को कुल क्षेत्रफल से घटाएं।

इस घटाव का परिणाम S-(10A+B)² क्षेत्र में होता है जिसकी गणना नहीं की गई है (और जिसका उपयोग उसी तरह अगले अंक की गणना के लिए किया जाएगा)।

चरण 11. अगले अंक, सी की गणना करने के लिए, प्रक्रिया को दोहराएं।

अगली जोड़ी को नीचे करें (S_सी) S के बाईं ओर N2 प्राप्त करने के लिए, और सबसे बड़ा C ज्ञात करें ताकि आपके पास (2×10×(10A+B)+C) × C N2 (दो अंकों की संख्या "AB" के दो बार लिखने के बराबर हो। "_× _="। रिक्त स्थान में सबसे बड़ा मिलान अंक खोजें, जो पहले की तरह N2 से कम या उसके बराबर उत्तर देता है।

टिप्स

किसी संख्या में दो अंकों के गुणज (100 का गुणज) द्वारा दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने का अर्थ है, दशमलव बिंदु को उसके वर्गमूल (10 का गुणज) में एक अंक के गुणज से ले जाना।
इस उदाहरण में, 1.73 को "शेष" माना जा सकता है: 780, 14 = 27, 9² + 1.73।
इस पद्धति का उपयोग किसी भी आधार के लिए किया जा सकता है, न कि केवल आधार 10 (दशमलव) के लिए।
आप कैलकुलस का उपयोग कर सकते हैं जो आपके लिए अधिक सुविधाजनक है। कुछ लोग प्रारंभिक संख्या के ऊपर परिणाम लिखते हैं।
दोहराए गए भिन्नों का उपयोग करने का एक वैकल्पिक तरीका इस सूत्र का पालन करना है: z = (x^2+y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x + …)))। उदाहरण के लिए, 780, 14 के वर्गमूल की गणना करने के लिए, वह पूर्णांक जिसका वर्ग मान 780, 14 के सबसे निकट है, 28 है, इसलिए z=780, 14, x=28, और y=-3, 86. मान दर्ज करना और केवल x + y/(2x) के लिए अनुमानों की गणना करने से यह (सरल शब्दों में) 78207/20800 या लगभग 27, 931(1) प्राप्त करता है; अगला कार्यकाल, 4374188/156607 या लगभग 27, 930986(5)। प्रत्येक पद दशमलव स्थानों की पिछली संख्या की सटीकता में लगभग 3 दशमलव स्थान जोड़ता है।