किसी फ़ंक्शन का डोमेन खोजने के 6 तरीके

2024 लेखक: Jason Gerald | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-15 08:15

फ़ंक्शन का डोमेन संख्याओं का समूह है जिसे फ़ंक्शन में दर्ज किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, एक डोमेन x मानों का एक समूह है जिसे किसी दिए गए समीकरण में जोड़ा जा सकता है। संभावित y मानों के सेट को एक श्रेणी कहा जाता है। यदि आप जानना चाहते हैं कि विभिन्न स्थितियों में किसी फ़ंक्शन का डोमेन कैसे खोजा जाए, तो इन चरणों का पालन करें।

कदम

विधि १ में ६: मूल बातें सीखना

चरण 1. डोमेन की परिभाषा जानें।

डोमेन को इनपुट मानों के एक सेट के रूप में परिभाषित किया जाता है जो एक फ़ंक्शन आउटपुट मान उत्पन्न करने के लिए उपयोग करता है। दूसरे शब्दों में, एक डोमेन x मानों का एक पूरा सेट है जिसे y मान वापस करने के लिए फ़ंक्शन में दर्ज किया जा सकता है।

चरण 2. जानें कि विभिन्न कार्यों के डोमेन को कैसे खोजें।

फ़ंक्शन का प्रकार डोमेन को खोजने का सबसे अच्छा तरीका निर्धारित करेगा। प्रत्येक प्रकार के फ़ंक्शन के बारे में जानने के लिए आपको यहां मूलभूत बातें दी गई हैं, जिन्हें अगले भाग में समझाया जाएगा:

• एक बहुपद फलन जिसमें हर में कोई मूल या चर नहीं होता है।

  इस प्रकार के फलन के लिए, प्रांत सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।

• हर में एक चर के साथ भिन्नात्मक कार्य।

  इस फलन का प्रांत ज्ञात करने के लिए, तल को शून्य के बराबर करें और समीकरण को हल करते समय x का मान निकाल लें।

• मूल चिह्न में एक चर के साथ एक फ़ंक्शन।

  इस प्रकार के फ़ंक्शन का डोमेन खोजने के लिए, वर्गमूल >0 में एक चर बनाएं और संभावित x मानों को खोजने के लिए इसे काम करें।

• प्राकृतिक लघुगणक (ln) का उपयोग करने वाले कार्य।

  कोष्ठक > 0 में एक भाग बनाएं और समाप्त करें।

• चार्ट।

  संभावित x मानों के लिए ग्राफ को देखें।

• कनेक्शन।

  यह x और y निर्देशांकों की एक सूची है। आपका डोमेन x निर्देशांकों की एक सूची मात्र है।

चरण 3. डोमेन को सही ढंग से परिभाषित करें।

डोमेन के लिए सही अंकन सीखना आसान है, लेकिन यह महत्वपूर्ण है कि आप सही उत्तर का प्रतिनिधित्व करने के लिए इसे सही ढंग से लिखें और असाइनमेंट और परीक्षा में एक पूर्ण अंक प्राप्त करें। डोमेन फ़ंक्शंस लिखने के बारे में आपको कुछ चीज़ें जानने की आवश्यकता है:

• डोमेन लेखन का रूप खुला कोष्ठक है, जिसके बाद दो डोमेन डॉट सीमाएँ अल्पविराम से अलग होती हैं, इसके बाद एक बंद कोष्ठक होता है।

  उदाहरण के लिए, [-1, 5)। इसका मतलब है कि डोमेन -1 से 5 तक हैं।

• डोमेन से संबंधित संख्याओं को इंगित करने के लिए [और] जैसे कोष्ठकों का उपयोग करें।

  तो इस उदाहरण में, डोमेन में -1 शामिल है।

• उन संख्याओं को इंगित करने के लिए (और) जैसे कोष्ठक का उपयोग करें जो डोमेन से संबंधित नहीं हैं।

  तो उदाहरण में, [-1, 5), 5 डोमेन में शामिल नहीं है। डोमेन 5 से ठीक पहले रुक जाता है, उदाहरण के लिए 4,999…

• दूरी से अलग किए गए डोमेन के कुछ हिस्सों को जोड़ने के लिए "यू" (अर्थात् "संघ") का उपयोग करें।'

  • उदाहरण के लिए, [-1, 5) यू (5, 10]। यानी डोमेन -1 से 10 तक है, संख्या -1 और 10 शामिल हैं, लेकिन डोमेन 5 में एक दूरी है। यह हो सकता है परिणाम, उदाहरण के लिए, हर x -5 वाले फ़ंक्शन का।
  • यदि डोमेन में बहुत अधिक रिक्ति है तो आप जितने आवश्यक हो उतने U प्रतीकों का उपयोग कर सकते हैं।

• अनंत डोमेन को किसी भी दिशा में इंगित करने के लिए अनंत चिह्न और अनंत ऋणात्मक का प्रयोग करें।

  अनंत चिह्न के साथ हमेशा (), नहीं, का उपयोग करें।

विधि 2 का 6: भिन्नात्मक फलन का प्रांत ज्ञात करना

चरण 1. समस्या लिखिए।

मान लीजिए आप निम्नलिखित समस्या को हल करना चाहते हैं:

f(x) = 2x/(x² - 4)

चरण 2. हर में एक चर के साथ भिन्नों के लिए, हर को शून्य के बराबर करें।

भिन्नात्मक फलन के डोमेन की तलाश करते समय, आपको हर को शून्य के बराबर करने के लिए x के सभी मानों को निकालना होगा क्योंकि आप किसी भी चीज़ को शून्य से विभाजित नहीं कर सकते। तो, हर को एक समीकरण के रूप में लिखें और इसे 0 के बराबर करें। इसे करने का तरीका यहां बताया गया है:

• f(x) = 2x/(x² - 4)
• एक्स² - 4 = 0
• (x - 2)(x + 2) = 0
• एक्स (2, - 2)

चरण 3. डोमेन लिखें।

ऐसे::

x = 2 और -2. को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ

विधि 3 का 6: वर्गमूल के साथ किसी फलन का प्रांत ज्ञात करना

चरण 1. समस्या लिखिए।

मान लीजिए आप निम्नलिखित समस्या को हल करना चाहते हैं: Y =√(x-7)

चरण 2. जड़ के अंदर के भाग को 0 से बड़ा या उसके बराबर करें।

आप किसी ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल नहीं ले सकते, हालाँकि आप 0 का वर्गमूल ले सकते हैं। इसलिए, मूल के अंदर के भाग को 0 से बड़ा या उसके बराबर करें। ध्यान दें कि यह न केवल वर्गमूल पर लागू होता है, बल्कि सभी वर्गमूलों तक। सम संख्या। हालाँकि, यह विषम संख्याओं के वर्गमूल पर लागू नहीं होता है क्योंकि विषम मूल के अंतर्गत ऋणात्मक संख्याएँ मायने नहीं रखती हैं। ऐसे:

एक्स-7 0

चरण 3. चर निकालें।

समीकरण के बाईं ओर से x को हटाने के लिए, दोनों पक्षों में 7 जोड़ें, छोड़कर:

एक्स 7

चरण 4. डोमेन को सही ढंग से लिखें।

यहां इसे लिखने का तरीका बताया गया है:

डी = [७,)

चरण 5. यदि अनेक हल हैं तो वर्गमूल वाले फलन का प्रांत ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए आप निम्नलिखित फ़ंक्शन को हल करना चाहते हैं: Y = 1/√(x² -४)। जब आप हर का गुणनखंड करते हैं और इसे शून्य करते हैं, तो आपको x (2, - 2) प्राप्त होता है। यहां बताया गया है कि आपको आगे क्या करना चाहिए:

• अब, -2 के तहत डोमेन की जांच करें (उदाहरण के लिए, मान -3 दर्ज करके), यह देखने के लिए कि क्या 0 से ऊपर की संख्या खोजने के लिए -2 से नीचे की संख्या को हर में डाला जा सकता है।

  (-3)² - 4 = 5

• अब, -2 और 2 के बीच के डोमेन की जाँच करें। उदाहरण के लिए, 0 चुनें।

  0² - 4 = -4, तो आप जानते हैं कि -2 और 2 के बीच की संख्या असंभव है।

• अब 2 से ऊपर की संख्याओं को आज़माएँ, उदाहरण के लिए +3।

  3² - 4 = 5, इसलिए 2 से ऊपर की संख्याएँ संभव हैं।

• काम पूरा हो जाने पर डोमेन लिख लें। यहां डोमेन लिखने का तरीका बताया गया है:

  डी = (-∞, -2) यू(2,)

विधि 4 का 6: प्राकृतिक लॉग के साथ किसी फ़ंक्शन का डोमेन ढूँढना

चरण 1. समस्या लिखिए।

मान लीजिए कि आप निम्नलिखित को पूरा करना चाहते हैं:

एफ (एक्स) = एलएन (एक्स -8)

चरण 2. कोष्ठक के अंदर के भाग को शून्य से बड़ा बनाइए।

प्राकृतिक लघुगणक (ln) एक धनात्मक संख्या होनी चाहिए, इसलिए कोष्ठकों में भाग को शून्य से बड़ा करें। यहाँ आपको क्या करना चाहिए:

एक्स - 8 > 0

चरण 3. समाप्त करें।

दोनों पक्षों में 8 जोड़कर x का मान ज्ञात कीजिए। ऐसे:

• एक्स - 8 + 8 > 0 + 8
• एक्स > 8

चरण 4. डोमेन लिखिए।

दिखाएँ कि इस समीकरण का प्रांत 8 से अनंत तक सभी संख्याएँ हैं। ऐसे:

डी = (8,)

विधि ५ का ६: ग्राफ़ से किसी फ़ंक्शन का डोमेन ढूँढना

चरण 1. चार्ट को देखें।

चरण 2. ग्राफ में x के मान पर ध्यान दें।

यह करने से आसान कहा जा सकता है, लेकिन यहां कुछ युक्तियां दी गई हैं:

• रेखा। यदि आप एक अनंत ग्राफ में एक रेखा को देखते हैं, तो सभी x डोमेन है, इसलिए डोमेन सभी वास्तविक संख्याएं हैं।
• साधारण उपग्रह डिश। यदि आप एक परवलय को देखते हैं जो ऊपर या नीचे खुलता है, तो हाँ, डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं क्योंकि x-दिशा में सभी संख्याएँ डोमेन हैं।
• सह भोजन। यदि आपके पास एक शीर्ष (4, 0) के साथ एक परवलय है जो अनिश्चित काल तक दाईं ओर फैला हुआ है, तो आपका डोमेन D = [4,) है।

चरण 3. डोमेन लिखें।

आपके सामने आने वाले ग्राफ़ के प्रकार के आधार पर डोमेन लिखें। यदि आप सुनिश्चित नहीं हैं और जानते हैं कि किस समीकरण का उपयोग करना है, तो जाँच करने के लिए x-निर्देशांक को फ़ंक्शन में प्लग करें।

विधि 6 का 6: संबंधों का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन का डोमेन ढूँढना

चरण 1. संबंध लिखिए।

एक संबंध केवल x और y निर्देशांकों का एक संग्रह है। मान लें कि आप निम्नलिखित निर्देशांकों को हल करना चाहते हैं: {(1, 3), (2, 4), (5, 7)}

चरण 2. x-निर्देशांक लिखिए, अर्थात्:

1, 2, 5.

चरण 3. डोमेन लिखें।

डी = {1, 2, 5}

चरण 4. सुनिश्चित करें कि संबंध एक कार्य है।

रिश्ते की स्थिति एक फ़ंक्शन है, यानी हर बार जब आप कई x निर्देशांक दर्ज करते हैं, तो आपको वही y निर्देशांक मिलेंगे। इसलिए, यदि आप x = 3, y = 6, इत्यादि दर्ज करते हैं। निम्नलिखित संबंध एक फ़ंक्शन नहीं है क्योंकि आपको प्रत्येक x मान के लिए दो अलग-अलग y मान मिलते हैं: {(1, 4), (3, 5), (1, 5)}।