बीजगणित सीखने का एक बुनियादी हिस्सा यह सीख रहा है कि किसी फ़ंक्शन, या f(x) का व्युत्क्रम कैसे खोजना है। किसी फ़ंक्शन के व्युत्क्रम को f^-1(x) द्वारा दर्शाया जाता है, और व्युत्क्रम को आमतौर पर लाइन y=x द्वारा परिलक्षित प्रारंभिक फ़ंक्शन के रूप में दर्शाया जाता है। यह लेख आपको दिखाएगा कि किसी फ़ंक्शन के व्युत्क्रम को कैसे खोजा जाए।
कदम
चरण 1. सुनिश्चित करें कि आपका फ़ंक्शन एक-से-एक (इंजेक्शन) फ़ंक्शन है।
केवल एक-से-एक कार्यों का उलटा होता है।
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एक फ़ंक्शन एक-से-एक फ़ंक्शन है यदि यह लंबवत रेखा परीक्षण और क्षैतिज रेखा परीक्षण पास करता है। फ़ंक्शन के संपूर्ण ग्राफ़ के माध्यम से एक लंबवत रेखा खींचें और फ़ंक्शन को हिट करने की संख्या की गणना करें। फिर, फ़ंक्शन के पूरे ग्राफ़ के माध्यम से एक क्षैतिज रेखा खींचें और फ़ंक्शन पर इस रेखा की घटनाओं की संख्या की गणना करें। यदि प्रत्येक पंक्ति केवल एक बार फ़ंक्शन को हिट करती है, तो फ़ंक्शन एक-से-एक फ़ंक्शन है।
यदि कोई ग्राफ लंबवत रेखा परीक्षण पास नहीं करता है, तो यह एक फ़ंक्शन नहीं है।
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बीजगणितीय रूप से यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई फ़ंक्शन एक-से-एक फ़ंक्शन है, f(a) और f(b) को अपने फ़ंक्शन में प्लग करके देखें कि क्या a = b है। उदाहरण के लिए, f(x) = 3x+5 लें।
- एफ (ए) = 3 ए + 5; एफ (बी) = 3 बी + 5
- 3ए + 5 = 3बी + 5
- ३ए = ३बी
- ए = बी
- इस प्रकार, f(x) एक-से-एक फलन है।
चरण 2. चूंकि यह एक फलन है, इसलिए x और y को बदलिए।
याद रखें कि f(x) "y" का विकल्प है।
- एक फ़ंक्शन में, "f(x)" या "y" आउटपुट का प्रतिनिधित्व करता है और "x" इनपुट का प्रतिनिधित्व करता है। किसी फ़ंक्शन के व्युत्क्रम को खोजने के लिए, आप इनपुट और आउटपुट को स्वैप करते हैं।
- उदाहरण: आइए f(x) = (4x+3)/(2x+5) का उपयोग करें - जो एक-से-एक फ़ंक्शन है। x और y की अदला-बदली करने पर हमें x = (4y + 3)/(2y + 5) प्राप्त होता है।
चरण 3. नया "y" खोजें।
आपको y खोजने के लिए व्यंजक को बदलना होगा, या आउटपुट के रूप में व्युत्क्रम प्राप्त करने के लिए इनपुट पर किए जाने वाले नए ऑपरेशन खोजने होंगे।
- आपकी अभिव्यक्ति के आधार पर यह मुश्किल हो सकता है। आपको व्यंजकों का मूल्यांकन करने और उन्हें सरल बनाने के लिए क्रॉस गुणा या फैक्टरिंग जैसी बीजगणितीय युक्तियों का उपयोग करने की आवश्यकता हो सकती है।
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हमारे उदाहरण में, हम y को अलग करने के लिए निम्नलिखित चरणों का पालन करेंगे:
- हम x = (4y + 3)/(2y + 5) से शुरू करते हैं
- x(2y + 5) = 4y + 3 - दोनों पक्षों को (2y + 5) से गुणा करें
- 2xy + 5x = 4y + 3 - x. बांटें
- 2xy - 4y = 3 - 5x - सभी y पदों को एक ओर ले जाएँ
- y(2x - 4) = 3 - 5x - y. पदों को संयोजित करने के लिए विपरीत दिशा में बांटें
- y = (3 - 5x)/(2x - 4) - अपना उत्तर पाने के लिए विभाजित करें
चरण 4. नए "y" को f^-1(x) से बदलें।
यह आपके मूल कार्य के व्युत्क्रम का समीकरण है।
