समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए आपको कई समीकरणों में कई चर के मूल्यों को खोजने की आवश्यकता होती है। आप जोड़, घटाव, गुणा, या प्रतिस्थापन के माध्यम से समीकरणों की एक प्रणाली को हल कर सकते हैं। यदि आप जानना चाहते हैं कि समीकरणों की प्रणाली को कैसे हल किया जाए, तो बस इन चरणों का पालन करें।
कदम
विधि 1 में से 4: घटाव के साथ हल करना
चरण 1. एक समीकरण को दूसरे के ऊपर लिखिए।
घटाव द्वारा समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना एक शानदार तरीका है जब आप देखते हैं कि दोनों समीकरणों में समान गुणांक वाले समान चिह्न वाले चर हैं। उदाहरण के लिए, यदि दोनों समीकरणों में एक धनात्मक चर 2x है, तो आपको दोनों चरों का मान ज्ञात करने के लिए घटाव विधि का उपयोग करना चाहिए।
- चर x और y और उनकी पूर्ण संख्याओं को संरेखित करके एक समीकरण को दूसरे के ऊपर लिखिए। समीकरणों की दो प्रणालियों की मात्रा के बाहर घटाव चिह्न लिखें।
-
उदाहरण: यदि आपके दो समीकरण 2x + 4y = 8 और 2x + 27 = 2 हैं, तो आपको दूसरे के ऊपर पहला समीकरण लिखना चाहिए, जिसमें दूसरी प्रणाली की मात्रा के बाहर घटाव का चिह्न हो, यह दर्शाता है कि आप प्रत्येक को घटाएंगे समीकरण का हिस्सा।
- 2x + 4y = 8
- -(2x + 2y = 2)
चरण 2. बराबर भागों को घटाएं।
अब जब आपने दो समीकरणों को संरेखित कर लिया है, तो आपको केवल बराबर भागों को घटाना है। आप भागों को एक-एक करके घटा सकते हैं:
- 2x - 2x = 0
- 4y - 2y = 2y
-
8 - 2 = 6
2x + 4y = 8 - (2x + 2y = 2) = 0 + 2y = 6
चरण 3. बाकी करो।
यदि आपने समान गुणांक वाले चरों को घटाते समय 0 का उत्तर प्राप्त करके किसी एक चर को समाप्त कर दिया है, तो आपको केवल सामान्य समीकरणों को हल करके शेष चरों को हल करने की आवश्यकता है। आप समीकरण से 0 को हटा सकते हैं क्योंकि इससे इसका मान नहीं बदलेगा।
- 2y = 6
- y = 3. प्राप्त करने के लिए 2y और 6 को 2 से भाग दें
चरण 4। दूसरे मान को खोजने के लिए पाए गए मान को समीकरणों में से एक में प्लग करें।
अब जब आप जानते हैं कि y = 3, तो आपको x का मान ज्ञात करने के लिए इसे मूल समीकरणों में से एक में प्लग करना होगा। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप कौन सा समीकरण चुनते हैं क्योंकि उत्तर वही होगा। यदि एक समीकरण दूसरे की तुलना में अधिक जटिल लगता है, तो बस इसे सरल समीकरण में प्लग करें।
- y = 3 को समीकरण 2x + 2y = 2 में प्लग करें और x का मान ज्ञात करें।
- 2x + 2(3) = 2
- 2x + 6 = 2
- 2x = -4
-
एक्स = - 2
आपने समीकरणों के निकाय को घटाकर हल किया है। (एक्स, वाई) = (-2, 3)
चरण 5. अपने उत्तरों की जाँच करें।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि आप समीकरणों की प्रणाली को सही ढंग से हल करते हैं, आप यह सुनिश्चित करने के लिए अपने दोनों उत्तरों को दोनों समीकरणों में जोड़ सकते हैं कि उत्तर दोनों समीकरणों के लिए सही है। यहाँ यह कैसे करना है:
-
समीकरण 2x + 4y = 8 में (x, y) के मान के लिए (-2, 3) प्लग करें।
- 2(-2) + 4(3) = 8
- -4 + 12 = 8
- 8 = 8
-
समीकरण 2x + 2y = 2 में (x, y) के मान के लिए (-2, 3) प्लग करें।
- 2(-2) + 2(3) = 2
- -4 + 6 = 2
- 2 = 2
विधि 2 का 4: योग द्वारा हल करना
चरण 1. एक समीकरण को दूसरे के ऊपर लिखिए।
यदि आप देखते हैं कि दोनों समीकरणों में समान गुणांक वाले चर हैं, जिनके विपरीत चिह्न हैं, तो जोड़ द्वारा समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना सबसे अच्छा तरीका है। उदाहरण के लिए, यदि एक समीकरण का चर 3x है और दूसरे समीकरण का चर -3x है, तो योग विधि सही तरीका है।
- चर x और y और उनकी पूर्ण संख्याओं को संरेखित करके एक समीकरण को दूसरे के ऊपर लिखिए। समीकरणों की दूसरी प्रणाली की मात्रा के बाहर अतिरिक्त चिह्न लिखें।
-
उदाहरण: यदि आपके दो समीकरण 3x + 6y = 8 और x - 6y = 4 हैं, तो आपको दूसरे के ऊपर पहला समीकरण लिखना चाहिए, दूसरे सिस्टम की मात्रा के बाहर अतिरिक्त चिह्न के साथ, यह दर्शाता है कि आप प्रत्येक भाग को जोड़ देंगे समीकरण का।
- 3x + 6y = 8
- +(x - 6y = 4)
चरण 2. बराबर भागों को जोड़ें।
अब जब आपने दो समीकरणों को संरेखित कर लिया है, तो आपको केवल बराबर भागों को जोड़ना है। आप उन्हें एक-एक करके जोड़ सकते हैं:
- 3x + x = 4x
- 6y + -6y = 0
- 8 + 4 = 12
-
जब आप उन्हें मिलाते हैं, तो आपको अपना नया परिणाम मिलेगा:
- 3x + 6y = 8
- +(x - 6y = 4)
- = 4x + 0 = 12
चरण 3. बाकी करो।
यदि आपने समान गुणांक वाले चरों को जोड़ने पर 0 प्राप्त करके किसी एक चर को समाप्त कर दिया है, तो आपको केवल सामान्य समीकरण को हल करके शेष चर को हल करने की आवश्यकता है। आप समीकरण से 0 को हटा सकते हैं क्योंकि इससे इसका मान नहीं बदलेगा।
- 4x + 0 = 12
- 4x = 12
- x = 3. प्राप्त करने के लिए 4x और 12 को 3 से भाग दें
चरण 4। परिणाम को वापस समीकरण में प्लग करें और दूसरा मान खोजें।
अब जब आप जानते हैं कि x = 3, तो आपको y का मान ज्ञात करने के लिए इसे मूल समीकरणों में से एक में प्लग करना होगा। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप कौन सा समीकरण चुनते हैं क्योंकि परिणाम वही होगा। यदि एक समीकरण दूसरे की तुलना में अधिक जटिल लगता है, तो बस इसे सरल में प्लग करें।
- y का मान ज्ञात करने के लिए x = 3 को समीकरण x - 6y = 4 में जोड़ें।
- 3 - 6y = 4
- -6y = 1
-
y = -1/6. प्राप्त करने के लिए -6y और 1 को -6 से विभाजित करें
आपने योग का उपयोग करके समीकरणों के निकाय को हल कर लिया है। (एक्स, वाई) = (3, -1/6)
चरण 5. अपने उत्तरों की जाँच करें।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि आप समीकरणों की प्रणाली को सही ढंग से हल करते हैं, आपको यह सुनिश्चित करने के लिए दोनों समीकरणों में मानों को प्लग करना होगा कि दोनों समीकरणों के उत्तर सही हैं। यहाँ यह कैसे करना है:
-
समीकरण 3x + 6y = 8 में मान (x, y) के लिए (3, -1/6) प्लग करें।
- 3(3) + 6(-1/6) = 8
- 9 - 1 = 8
- 8 = 8
-
समीकरण x - 6y = 4 में मान (x, y) के लिए (3, -1/6) प्लग करें।
- 3 - (6 * -1/6) =4
- 3 - - 1 = 4
- 3 + 1 = 4
- 4 = 4
विधि 3 का 4: गुणा द्वारा हल करना
चरण 1. एक समीकरण को दूसरे के ऊपर लिखिए।
चर x और y और पूर्ण संख्याओं को संरेखित करके एक समीकरण को दूसरे के ऊपर लिखिए। यदि आप गुणन विधि का उपयोग करते हैं, तो किसी भी चर का गुणांक समान नहीं है - अभी नहीं।
- 3x + 2y = 10
- 2x - y = 2
चरण 2. एक या दोनों समीकरणों को तब तक गुणा करें जब तक कि दोनों भागों में से किसी एक चर का गुणांक समान न हो।
अब, एक या दोनों समीकरणों को एक ही संख्या से गुणा करें जिससे एक चर का गुणांक समान हो जाएगा। इस समस्या में, आप पूरे दूसरे समीकरण को 2 से गुणा कर सकते हैं ताकि -y चर -2y हो जाए और पहले समीकरण के y गुणांक के बराबर हो जाए। यहाँ यह कैसे करना है:
- 2 (2x - y = 2)
- 4x - 2y = 4
चरण 3. समीकरणों को जोड़ें या घटाएं।
अब, एक विधि का उपयोग करके दोनों समीकरणों में जोड़ या घटाव लागू करें जो समान गुणांक वाले चर को समाप्त कर देगा। चूँकि आप 2y और -2y को हल करना चाहते हैं, आपको जोड़ विधि का उपयोग करना चाहिए क्योंकि 2y + -2y 0 के बराबर है। यदि आपकी समस्या 2y और धनात्मक 2y है, तो आप घटाव का उपयोग करेंगे। यहां बताया गया है कि किसी एक वेरिएबल को खत्म करने के लिए अतिरिक्त विधि का उपयोग कैसे करें:
- 3x + 2y = 10
- + 4x - 2y = 4
- 7x + 0 = 14
- 7x = 14
चरण 4. बाकी करो।
उस चर का मान ज्ञात करने के लिए बस इसे हल करें जिसे आपने छोड़ा नहीं है। यदि 7x = 14, तो x = 2।
चरण 5. एक और मान खोजने के लिए मान को समीकरण में प्लग करें।
दूसरे को खोजने के लिए मूल समीकरणों में से एक में मान को प्लग करें। इसे आसान बनाने के लिए एक सरल समीकरण चुनें।
- एक्स = 2 - 2x - वाई = 2
- 4 - वाई = 2
- -y = -2
- वाई = 2
- आपने गुणन का प्रयोग करके समीकरणों के निकाय को हल कर लिया है। (एक्स, वाई) = (2, 2)
चरण 6. अपने उत्तरों की जाँच करें।
अपने उत्तर की जांच करने के लिए, यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपने सही मान पाए हैं, मूल समीकरण में पाए गए दो मानों को प्लग करें।
- समीकरण 3x + 2y = 10 में (x, y) के मान के लिए (2, 2) प्लग करें।
- 3(2) + 2(2) = 10
- 6 + 4 = 10
- 10 = 10
- समीकरण 2x - y = 2 में (x, y) के मान के लिए (2, 2) प्लग करें।
- 2(2) - 2 = 2
- 4 - 2 = 2
- 2 = 2
विधि 4 का 4: प्रतिस्थापन के साथ हल करना
चरण 1. चरों में से एक को संरेखित करें।
प्रतिस्थापन विधि सही विधि है यदि समीकरणों में से किसी एक का गुणांक एक के बराबर है। फिर, आपको बस इतना करना है कि उस एक चर के गुणांक को किसी एक समीकरण में उसका मान ज्ञात करने के लिए अलग करना है।
- यदि आप समीकरण 2x + 3y = 9 और x + 4y = 2 पर काम कर रहे हैं, तो आप दूसरे समीकरण में x को अलग करना चाहेंगे।
- एक्स + 4y = 2
- एक्स = 2 - 4y
चरण २। उस चर के मान को प्लग करें जो आपके पास अकेले है दूसरे समीकरण में।
वह मान लें जो आपने चर को अलग करते समय पाया था और चर को उस समीकरण में बदल दें जिसे आपने उस मान के साथ नहीं बदला है। यदि आप इसे अपने द्वारा बदले गए समीकरण में वापस प्लग करते हैं तो आप कुछ भी हल नहीं कर पाएंगे। यहाँ क्या करना है:
- एक्स = 2 - 4y 2x + 3y = 9
- 2(2 - 4y) + 3y = 9
- 4 - 8y + 3y = 9
- 4 - 5y = 9
- -5y = 9 - 4
- -5y = 5
- -वाई = 1
- वाई = - 1
चरण 3. शेष चरों को हल करें।
अब जब आप जानते हैं कि y = -1, तो x का मान ज्ञात करने के लिए बस उस मान को एक सरल समीकरण में प्लग करें। यहां बताया गया है कि आप इसे कैसे करते हैं:
- वाई = -1 एक्स = 2 - 4y
- एक्स = 2 - 4 (-1)
- एक्स = 2 - -4
- एक्स = 2 + 4
- एक्स = 6
- आपने समीकरणों के निकाय को प्रतिस्थापन द्वारा हल किया है। (एक्स, वाई) = (6, -1)
चरण 4. अपने काम की जाँच करें।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि आप समीकरणों की प्रणाली को सही ढंग से हल कर रहे हैं, आपको बस अपने दो उत्तरों को दोनों समीकरणों में प्लग करना होगा ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि वे दोनों सही हैं। यहाँ यह कैसे करना है:
-
समीकरण 2x + 3y = 9 में मान (x, y) के लिए (6, -1) प्लग करें।
- 2(6) + 3(-1) = 9
- 12 - 3 = 9
- 9 = 9
- समीकरण x + 4y = 2 में मान (x, y) के लिए (6, -1) प्लग करें।
- 6 + 4(-1) = 2
- 6 - 4 = 2
- 2 = 2
