घन समीकरणों को हल करने के 3 तरीके

2024 लेखक: Jason Gerald | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-16 19:30

जब आप पहली बार घन समीकरण पाते हैं (जो कि ax. के रूप का है) ³ + बीएक्स ² + सीएक्स + डी = 0), शायद आपको लगता है कि समस्या को हल करना मुश्किल होगा। लेकिन जान लें कि घन समीकरणों को हल करना वास्तव में सदियों से होता आ रहा है! 1500 के दशक में इतालवी गणितज्ञों निकोलो टार्टाग्लिया और गेरोलामो कार्डानो द्वारा खोजा गया यह समाधान प्राचीन ग्रीस और रोम में ज्ञात पहले सूत्रों में से एक है। घन समीकरणों को हल करना थोड़ा मुश्किल हो सकता है, लेकिन सही दृष्टिकोण (और पर्याप्त ज्ञान) के साथ, सबसे कठिन घन समीकरणों को भी हल किया जा सकता है।

कदम

विधि 1 का 3: द्विघात समीकरणों का उपयोग करके हल करना

चरण 1. जांचें कि क्या आपके घन समीकरण में एक स्थिरांक है।

जैसा कि ऊपर कहा गया है, घन समीकरण का रूप है ax ³ + बीएक्स ² + cx + d = 0. b, c, और d का मान इस घन समीकरण के रूप को प्रभावित किए बिना 0 हो सकता है; इसका मूल रूप से मतलब है कि घन समीकरण में हमेशा bx. का मान शामिल नहीं होता है ², cx, या d घन समीकरण होने के लिए। घन समीकरणों को हल करने के इस काफी आसान तरीके का उपयोग शुरू करने के लिए, यह देखने के लिए जांचें कि क्या आपके घन समीकरण में स्थिरांक (या d का मान) है। यदि आपके समीकरण में d के लिए कोई स्थिरांक या मान नहीं है, तो आप कुछ चरणों के बाद घन समीकरण का उत्तर खोजने के लिए द्विघात समीकरण का उपयोग कर सकते हैं।

दूसरी ओर, यदि आपके समीकरण का एक स्थिर मान है, तो आपको दूसरे समाधान की आवश्यकता होगी। अन्य तरीकों के लिए नीचे दिए गए चरणों को देखें।

चरण 2. घन समीकरण से x मान का गुणनखंड करें।

चूंकि आपके समीकरण का कोई स्थिर मान नहीं है, इसलिए इसके सभी घटकों का चर x है। इसका अर्थ है कि x के इस मान को सरल बनाने के लिए समीकरण से गुणनखंडित किया जा सकता है। इस चरण को करें और अपने घन समीकरण को x (ax.) के रूप में फिर से लिखें ² + बीएक्स + सी)।

उदाहरण के लिए, मान लें कि यहां मूल घन समीकरण 3 x. है ³ + -2 एक्स ² + 14 x = 0. इस समीकरण से एक चर x का गुणनखंड करने पर, हमें समीकरण प्राप्त होता है एक्स (3 एक्स ² + -2 x + 14) = 0.

चरण 3. कोष्ठकों में समीकरणों को हल करने के लिए द्विघात समीकरणों का उपयोग करें।

आप देख सकते हैं कि आपके कुछ नए समीकरण, जो कोष्ठकों में संलग्न हैं, एक द्विघात समीकरण (कुल्हाड़ी) के रूप में हैं। ² + बीएक्स + सी)। इसका मतलब है कि हम द्विघात समीकरण सूत्र ({- b +/-√ (b) में a, b, और c को जोड़कर इस समीकरण को शून्य के बराबर बनाने के लिए आवश्यक मान प्राप्त कर सकते हैं। ²- 4 एसी)}/2 ए)। अपने घन समीकरण के दो उत्तर खोजने के लिए ये गणना करें।

• हमारे उदाहरण में, ए, बी, और सी (क्रमशः 3, -2, और 14) के मानों को द्विघात समीकरण में निम्नानुसार प्लग करें:

  {- बी +/-√ (बी ²- 4 एसी)}/2 ए

  {-(-2) +/-√ ((-2)²- 4(3)(14))}/2(3)

  {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6

  {2 +/-√ (4 - (168)}/6

  {2 +/-√ (-164)}/6

• उत्तर 1:

  {2 + √(-164)}/6

  {२ + १२.८ आई }/6

• उत्तर 2:

  {२ - १२.८ आई }/6

चरण 4. अपने घन समीकरण के उत्तर के रूप में शून्य और अपने द्विघात समीकरण के उत्तर का उपयोग करें।

द्विघात समीकरणों के दो उत्तर होंगे, जबकि घन समीकरणों के तीन उत्तर होंगे। आप पहले से ही तीन में से दो उत्तर जानते हैं; जो आपको कोष्ठक में समीकरण के "वर्ग" भाग से मिलता है। यदि आपका घन समीकरण इस तरह "गुणन" द्वारा हल किया जा सकता है, तो आपका तीसरा उत्तर लगभग हमेशा होता है 0. सुरक्षित! आपने अभी-अभी एक घन समीकरण हल किया है।

इस पद्धति के काम करने का कारण यह मौलिक तथ्य है कि "किसी भी संख्या को शून्य से गुणा करने पर शून्य होता है"। जब आप अपने समीकरण को x (ax.) के रूप में फ़ैक्टर करते हैं ² + बीएक्स + सी) = 0, आप मूल रूप से इसे केवल दो "भागों" में विभाजित करते हैं; एक भाग बाईं ओर x चर है और दूसरा भाग कोष्ठक में द्विघात समीकरण है। यदि इन दोनों भागों में से एक भाग शून्य है, तो पूरा समीकरण भी शून्य होगा। इस प्रकार, कोष्ठक में द्विघात समीकरण के दो उत्तर, जो इसे शून्य बना देगा, घन समीकरण के उत्तर हैं, साथ ही 0 स्वयं - जो बाईं ओर के भाग को भी शून्य बना देगा।

विधि 2 का 3: एक कारक सूची का उपयोग करके पूर्णांक उत्तर ढूँढना

चरण 1. सुनिश्चित करें कि आपके घन समीकरण का एक स्थिर मान है।

जबकि ऊपर वर्णित विधियों का उपयोग करना काफी आसान है क्योंकि आपको उनका उपयोग करने के लिए एक नई गणना तकनीक सीखने की आवश्यकता नहीं है, वे हमेशा आपको घन समीकरणों को हल करने में मदद नहीं करेंगे। यदि आपका घन समीकरण ax. के रूप का है ³ + बीएक्स ² + cx + d = 0, जहाँ d का मान शून्य के बराबर नहीं है, ऊपर दी गई "गुणन" विधि काम नहीं करती है, इसलिए आपको इसे हल करने के लिए इस खंड में किसी एक विधि का उपयोग करने की आवश्यकता होगी।

उदाहरण के लिए, मान लें कि हमारे पास समीकरण 2 x. है ³ + 9 x ² + 13 एक्स = -6। इस स्थिति में, समीकरण के दाईं ओर शून्य प्राप्त करने के लिए, हमें दोनों पक्षों में 6 जोड़ना होगा। उसके बाद, हमें एक नया समीकरण 2 x. मिलेगा ³ + 9 x ² + १३ x + ६ = ०, d = ६ के मान के साथ, इसलिए हम पिछली विधि की तरह "गुणन" विधि का उपयोग नहीं कर सकते।

चरण 2. a और d के गुणनखंड ज्ञात कीजिए।

अपने घन समीकरण को हल करने के लिए, a (x. का गुणांक) का गुणनखंड ज्ञात करके प्रारंभ करें ³) और d (समीकरण के अंत में स्थिर मान)। याद रखें, गुणनखंड वे संख्याएँ हैं जिन्हें एक निश्चित संख्या उत्पन्न करने के लिए एक दूसरे से गुणा किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, चूँकि आप ६ × १ और २ × ३ को गुणा करके ६ प्राप्त कर सकते हैं, १, २, ३, और ६, ६ के गुणनखंड हैं।

• उदाहरण समस्या में हम a = 2 और d = 6 का उपयोग कर रहे हैं। 2 का गुणनखंड है 1 और 2. जबकि 6 का गुणनखंड है 1, 2, 3, और 6.

  

  चरण 3. गुणनखंड a को d के गुणनखंड से विभाजित करें।

  इसके बाद, a के प्रत्येक कारक को d के प्रत्येक कारक से विभाजित करके आपको मिलने वाले मानों की सूची बनाएं। यह गणना आमतौर पर कई भिन्नात्मक मूल्यों और कई पूर्ण संख्याओं में परिणत होती है। आपके घन समीकरण को हल करने के लिए पूर्णांक मान गणना से प्राप्त पूर्णांकों में से एक है।

  हमारे समीकरण में, a (1, 2) के गुणनखंड को d (1, 2, 3, 6) के गुणनखंड से विभाजित करें और निम्नलिखित परिणाम प्राप्त करें: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2, और 2/3। अगला, सूची में नकारात्मक मान जोड़ें, और हमें मिलता है: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3, और -2/3. घन समीकरण का उत्तर - जो एक पूर्णांक है, सूची में है।

  

  चरण 4. अपने उत्तरों को मैन्युअल रूप से जांचने के लिए सिंथेटिक डिवीजन का उपयोग करें।

  एक बार जब आपके पास ऊपर दिए गए मानों की सूची हो, तो आप प्रत्येक पूर्णांक को मैन्युअल रूप से दर्ज करके उन पूर्णांक मानों को देख सकते हैं जो आपके घन समीकरण के उत्तर हैं, और यह पता लगा सकते हैं कि कौन सा मान शून्य लौटाता है। हालांकि, अगर आप इसे करने में समय नहीं बिताना चाहते हैं, तो इसे और तेज़ी से करने का एक तरीका है, अर्थात् सिंथेटिक डिवीजन नामक गणना के साथ। मूल रूप से, आप अपने पूर्णांक मान को अपने घन समीकरण में a, b, c, और d के मूल गुणांक से विभाजित करेंगे। यदि शेषफल शून्य है, तो वह मान आपके घन समीकरण के उत्तरों में से एक है।

  • सिंथेटिक डिवीजन एक जटिल विषय है - अधिक जानकारी के लिए नीचे दिया गया लिंक देखें। सिंथेटिक विभाजन के साथ अपने घन समीकरण के उत्तरों में से किसी एक को कैसे खोजें इसका एक उदाहरण यहां दिया गया है:

    -1 | 2 9 13 6

    _| -2-7-6

    _| 2 7 6 0

    चूँकि हमें अंतिम परिणाम 0 के बराबर मिलता है, हम जानते हैं कि हमारे घन समीकरण का एक पूर्णांक उत्तर है - 1.

  विधि 3 का 3: भेदभावपूर्ण दृष्टिकोण का उपयोग करना

  

  चरण 1. समीकरण a, b, c, और d लिखिए।

  इस तरह से घन समीकरण का उत्तर खोजने के लिए, हम अपने समीकरण में गुणांकों के साथ बहुत सारी गणनाएँ करेंगे। इस वजह से, किसी भी मान को भूलने से पहले a, b, c, और d के मानों को नोट करना एक अच्छा विचार है।

  उदाहरण के लिए, समीकरण x. के लिए ³ - 3 एक्स ² + 3 x -1, इसे a = 1, b = -3, c = 3, और d = -1 के रूप में लिखें। यह मत भूलो कि जब चर x का कोई गुणांक नहीं होता है, तो इसका मान 1 होता है।

  

  चरण 2. 0 = b. की गणना करें ² - 3 एयर कंडीशनर।

  घन समीकरणों के उत्तर खोजने के लिए विभेदक दृष्टिकोण के लिए जटिल गणनाओं की आवश्यकता होती है, लेकिन यदि आप चरणों का सावधानीपूर्वक पालन करते हैं, तो यह घन समीकरणों को हल करने के लिए बहुत उपयोगी हो सकता है जिन्हें अन्य तरीकों से हल करना मुश्किल है। आरंभ करने के लिए, 0 का मान ज्ञात करें, जो कि हमारे लिए आवश्यक कई का पहला महत्वपूर्ण मान है, उपयुक्त मान को सूत्र b में प्लग करना ² - 3 एयर कंडीशनर।

  • हम जिस उदाहरण का उपयोग कर रहे हैं, हम उसे इस प्रकार हल करेंगे:

    बी ² - 3 एसी

    (-3)² - 3(1)(3)

    9 - 3(1)(3)

    9 - 9 = 0 = 0

  

  चरण 3. गणना 1= 2 ख ³ - 9 एबीसी + 27 ए ² डी ।

  अगले महत्वपूर्ण मूल्य की हमें आवश्यकता है, 1, एक लंबी गणना की आवश्यकता है, लेकिन 0 के समान ही पाया जा सकता है। उपयुक्त मान को सूत्र 2 b. में प्लग करें ³ - 9 एबीसी + 27 ए ² d 1 का मान प्राप्त करने के लिए।

  • इस उदाहरण में, हम इसे इस प्रकार हल करते हैं:

    2(-3)³ - 9(1)(-3)(3) + 27(1)²(-1)

    2(-27) - 9(-9) + 27(-1)

    -54 + 81 - 27

    81 - 81 = 0 = 1

  

  चरण 4. गणना = 1² - 4Δ0³) -27 ए ².

  अगला, हम 0 और 1 के मानों के "विभेदक" मान की गणना करते हैं। विभेदक एक संख्या है जो आपको बहुपद के मूल के बारे में जानकारी देती है (हो सकता है कि आपने अनजाने में द्विघात विभेदक सूत्र याद कर लिया हो: b ² - 4 एयर कंडीशनर)। घन समीकरण के मामले में, यदि विवेचक का मान धनात्मक है, तो समीकरण के तीन वास्तविक संख्या उत्तर हैं। यदि विभेदक मान शून्य के बराबर है, तो समीकरण में एक या दो वास्तविक संख्या उत्तर होते हैं, और कुछ उत्तरों का मान समान होता है। यदि मान ऋणात्मक है, तो समीकरण का केवल एक वास्तविक संख्या उत्तर होता है, क्योंकि समीकरण का आलेख हमेशा कम से कम एक बार x-अक्ष को प्रतिच्छेद करेगा।)

  • इस उदाहरण में, 0 और 1 = 0 दोनों के बाद से, का मान निकालना बहुत आसान है। हमें इसकी गणना निम्नलिखित तरीके से करने की आवश्यकता है:

    1² - 4Δ0³) -27 ए ²

    (0)² - 4(0)³) ÷ -27(1)²

    0 - 0 ÷ 27

    0 =, इसलिए हमारे समीकरण के 1 या 2 उत्तर हैं।

  

  चरण 5. सी = की गणना करें ³(√((Δ1.)² - 4Δ0³) + 1)/2)।

  अंतिम मूल्य जो हमारे लिए महत्वपूर्ण है, वह है C का मान। यह मान हमें हमारे घन समीकरण के तीनों मूल प्राप्त करने की अनुमति देता है। हमेशा की तरह हल करें, 1 और 0 के मानों को सूत्र में शामिल करें।

  • इस उदाहरण में, हम C का मान इस प्रकार प्राप्त करेंगे:

    ³(√((Δ1.)² - 4Δ0³) + १)/ २)

    ³√(√((0² - 4(0)³) + (0))/ 2)

    ³√(√((0 - 0) + (0))/ 2)

    0 = सी

  

  चरण 6. अपने चर के साथ समीकरण के तीन मूलों की गणना करें।

  आपके घन समीकरण का मूल (उत्तर) सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है (बी + यू सी + (Δ0/यू.) सी)) / 3 ए, जहां u = (-1 + (-3))/2 और n 1, 2, या 3 के बराबर है। उन्हें हल करने के लिए अपने मानों को सूत्र में प्लग करें - ऐसी कुछ गणनाएं हो सकती हैं जिन्हें आपको करने की आवश्यकता है, लेकिन आपको अपने तीनों घन समीकरण के उत्तर मिलने चाहिए!

  • इस उदाहरण में, हम उत्तरों की जाँच करके इसे हल कर सकते हैं जब n 1, 2, और 3 के बराबर होता है। इस गणना से हमें जो उत्तर मिलता है, वह हमारे घन समीकरण का संभावित उत्तर है - कोई भी मान जिसे हम क्यूबिक समीकरण में प्लग करते हैं और यह देता है वही परिणाम 0 के साथ सही उत्तर है। उदाहरण के लिए, यदि हमें 1 के बराबर उत्तर मिलता है, यदि हमारे किसी गणना प्रयोग में, मान 1 को समीकरण x में जोड़ दिया जाए ³ - 3 एक्स ² + 3 x - 1 अंतिम परिणाम 0 के बराबर देता है। इस प्रकार

    चरण 1। हमारे घन समीकरण के उत्तरों में से एक है।