बीजगणितीय समीकरणों को कारक करने के 3 तरीके

2024 लेखक: Jason Gerald | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-15 08:15

गणित में, फैक्टरिंग संख्याओं या व्यंजकों को खोजने का एक तरीका है जिसे गुणा करने पर दी गई संख्या या समीकरण उत्पन्न होता है। सरल बीजगणित की समस्याओं को हल करने के लिए सीखने के लिए फैक्टरिंग एक उपयोगी कौशल है; द्विघात समीकरणों और बहुपदों के अन्य रूपों के साथ व्यवहार करते समय अच्छी तरह से कारक करने की क्षमता महत्वपूर्ण हो जाती है। गुणनखंडन का उपयोग बीजीय व्यंजकों को उनके हल को आसान बनाने के लिए सरल बनाने के लिए किया जा सकता है। फैक्टरिंग आपको कुछ संभावित उत्तरों को समाप्त करने की क्षमता भी दे सकता है, उन्हें मैन्युअल रूप से हल करने की तुलना में बहुत तेज़।

कदम

विधि 1 का 3: गुणनखंडन संख्याएं और सरल बीजीय व्यंजक

चरण 1. एकल संख्याओं पर लागू होने पर फैक्टरिंग की परिभाषा को समझें।

फैक्टरिंग एक सरल अवधारणा है, लेकिन व्यवहार में, जटिल समीकरणों पर लागू होने पर यह चुनौतीपूर्ण हो सकता है। इसलिए, अधिक जटिल अनुप्रयोगों पर जाने से पहले, सरल संख्याओं से शुरू करके, फिर सरल समीकरणों पर आगे बढ़ते हुए, फैक्टरिंग की अवधारणा को प्राप्त करना सबसे आसान है। किसी संख्या के गुणनखंड वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें गुणा करने पर संख्या उत्पन्न होती है। उदाहरण के लिए, १२ के गुणनखंड १, १२, २, ६, ३ और ४ हैं, क्योंकि १ × १२, २ × ६, और ३ × ४, १२ के बराबर हैं।

• इसके बारे में सोचने का दूसरा तरीका यह है कि किसी संख्या के गुणनखंड वे संख्याएँ होती हैं जो समान रूप से संख्या में विभाजित हो सकती हैं।

• क्या आप संख्या 60 के सभी गुणनखंड ज्ञात कर सकते हैं? हम संख्या ६० का उपयोग विभिन्न उद्देश्यों के लिए करते हैं (एक घंटे में मिनट, एक मिनट में सेकंड, आदि) क्योंकि यह कई अन्य संख्याओं से विभाज्य हो सकता है।

  60 के गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 और 60 हैं।

चरण 2. समझें कि परिवर्तनशील व्यंजकों को भी गुणनखंडित किया जा सकता है।

जिस प्रकार संख्याओं को स्वयं गुणनखंडित किया जा सकता है, उसी प्रकार संख्या गुणांक वाले चरों को भी गुणनखंडित किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, बस चर गुणांक के कारक खोजें। यह जानना कि किसी चर का गुणनखंड कैसे किया जाता है, उस चर को शामिल करने वाले बीजीय समीकरणों को सरल बनाने के लिए बहुत उपयोगी है।

• उदाहरण के लिए, चर 12x को गुणनखंड 12 और x के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। हम 12x को 3(4x), 2(6x), आदि के रूप में लिख सकते हैं, जो हमारे उद्देश्यों के लिए सबसे अच्छा 12 के कारकों का उपयोग करते हैं।

  हम कई बार 12x का गुणनखंड भी कर सकते हैं। दूसरे शब्दों में, हमें 3(4x) या 2(6x) पर रुकने की जरूरत नहीं है - हम 3(2(2x) और 2(3(2x)) का उत्पादन करने के लिए 4x और 6x का गुणनखंड कर सकते हैं। बेशक, ये दो भाव समकक्ष हैं।

चरण 3. गुणन के वितरण गुण को गुणनखंड बीजीय समीकरणों पर लागू करें।

गुणांक के साथ एकल संख्या और चर दोनों को कैसे कारक बनाना है, इसके बारे में अपने ज्ञान का उपयोग करके, आप बीजीय समीकरणों में संख्याओं और चर साझा करने वाले कारकों को ढूंढकर सरल बीजगणितीय समीकरणों को सरल बना सकते हैं। आमतौर पर, एक समीकरण को सरल बनाने के लिए, हम सबसे बड़ा सामान्य कारक खोजने का प्रयास करते हैं। यह सरलीकरण प्रक्रिया गुणन के वितरण गुण के कारण संभव है, जो किसी भी संख्या a, b और c पर लागू होती है। ए (बी + सी) = एबी + एसी.

• आइए एक उदाहरण प्रश्न का प्रयास करें। बीजीय समीकरण 12x + 6 का गुणनखंड करने के लिए, पहले, आइए 12x और 6 का सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड खोजने का प्रयास करें। 6 सबसे बड़ी संख्या है जो 12x और 6 को समान रूप से विभाजित कर सकती है, इसलिए हम समीकरण को 6(2x + 1) तक सरल बना सकते हैं।.
• यह प्रक्रिया ऋणात्मक संख्याओं और भिन्नों वाले समीकरणों पर भी लागू होती है। उदाहरण के लिए, x/2 + 4, को 1/2(x + 8) तक सरल बनाया जा सकता है, और -7x + -21 को -7(x + 3) में विभाजित किया जा सकता है।

विधि 2 का 3: द्विघात समीकरणों का गुणनखंड करना

चरण 1. सुनिश्चित करें कि समीकरण द्विघात रूप में है (ax.)² + बीएक्स + सी = ०)।

द्विघात समीकरणों का रूप ax. होता है² + बीएक्स + सी = 0, जहां ए, बी, और सी संख्या स्थिरांक हैं और 0 के बराबर नहीं हैं (ध्यान दें कि एक 1 या -1 के बराबर हो सकता है)। यदि आपके पास एक समीकरण है जिसमें एक चर (x) है जिसमें दो या दो से अधिक की शक्ति के लिए एक शब्द x है, तो आप आमतौर पर समीकरण में इन शब्दों को बराबर चिह्न और कुल्हाड़ी के दोनों ओर 0 प्राप्त करने के लिए सरल बीजीय संक्रियाओं का उपयोग करके स्थानांतरित करते हैं।², आदि। दूसरी तरफ।

• उदाहरण के लिए, आइए एक बीजीय समीकरण के बारे में सोचें। 5x² + 7x - 9 = 4x² + x - 18 को x. तक सरल बनाया जा सकता है² + 6x + 9 = 0, जो वर्ग रूप है।
• x की बड़ी घात वाले समीकरण, जैसे x³, एक्स⁴, आदि। द्विघात समीकरण नहीं हैं। ये समीकरण क्यूबिक समीकरण हैं, चौथी शक्ति के लिए, और इसी तरह, जब तक कि समीकरण को 2 से अधिक शक्तियों वाले इन x शब्दों को हटाने के लिए सरल नहीं किया जा सकता है।

चरण 2. द्विघात समीकरण में, जहां a = 1, (x+d)(x+e) का गुणनखंड करें, जहां d × e = c और d + e = b।

यदि आपका द्विघात समीकरण x. के रूप में है² + बीएक्स + सी = 0 (दूसरे शब्दों में, यदि पद का गुणांक x² = 1), यह संभव है (लेकिन गारंटी नहीं) कि समीकरण को कारक बनाने के लिए काफी आसान शॉर्टहैंड विधि का उपयोग किया जा सकता है। दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिन्हें गुणा करने पर c. प्राप्त होता है तथा बी का उत्पादन करने के लिए जोड़ा गया। इन दो संख्याओं d और e की खोज करने के बाद, उन्हें निम्नलिखित व्यंजक में रखें: (एक्स+डी)(एक्स+ई). इन दो पदों को गुणा करने पर, आपको द्विघात समीकरण मिलता है - दूसरे शब्दों में, ये आपके द्विघात समीकरण के गुणनखंड होते हैं।

• उदाहरण के लिए, आइए द्विघात समीकरण x. के बारे में सोचें² + 5x + 6 = 0. 3 और 2 को 6 देने के लिए गुणा किया जाता है और 5 देने के लिए भी जोड़ा जाता है, इसलिए हम इस समीकरण को (x + 3)(x + 2) में सरल बना सकते हैं।

• इस बुनियादी आशुलिपि पद्धति में थोड़ा अंतर स्वयं समानताओं में अंतर है:

  • यदि द्विघात समीकरण x. के रूप में है²-bx+c, आपका उत्तर इस रूप में है: (x - _)(x - _)।
  • यदि समीकरण x. के रूप में है²+bx+c, आपका उत्तर इस तरह दिखता है: (x + _)(x + _)।
  • यदि समीकरण x. के रूप में है²-बीएक्स-सी, आपका उत्तर (x + _)(x - _) के रूप में है।
• नोट: रिक्त स्थान में संख्याएँ भिन्न या दशमलव हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, समीकरण x² + (21/2)x + 5 = 0 को (x + 10)(x + 1/2) में विभाजित किया जाता है।

चरण 3. यदि संभव हो, तो चेक के माध्यम से कारक।

मानो या न मानो, जटिल द्विघात समीकरणों के लिए, अनुमत फैक्टरिंग विधियों में से एक समस्या की जांच करना है, फिर संभावित उत्तरों पर विचार करें जब तक कि आपको सही उत्तर न मिल जाए। इस विधि को परीक्षा के माध्यम से फैक्टरिंग के रूप में भी जाना जाता है। यदि समीकरण ax. के रूप में है²+bx+c और a>1, आपका कारक उत्तर फॉर्म (dx +/- _)(ex +/- _) के रूप में है, जहां d और e गैर-शून्य संख्याओं के स्थिरांक हैं जिन्हें गुणा करने पर a मिलता है। न तो d और न ही ई (या दोनों) 1 हो सकते हैं, हालांकि यह होना जरूरी नहीं है। यदि दोनों 1 हैं, तो आप मूल रूप से ऊपर वर्णित शॉर्टहैंड विधि का उपयोग कर रहे हैं।

आइए एक उदाहरण समस्या के बारे में सोचें। 3x² - 8x + 4 पहली बार में मुश्किल लगता है। हालांकि, एक बार जब हमें पता चलता है कि 3 में केवल दो कारक (3 और 1) हैं, तो यह समीकरण आसान हो जाता है क्योंकि हम जानते हैं कि हमारा उत्तर फॉर्म का होना चाहिए (3x +/- _)(x +/- _)। ऐसी स्थिति में दोनों रिक्त स्थानों में -2 जोड़ने पर सही उत्तर मिलता है। -2 × 3x = -6x और -2 × x = -2x। -6x और -2x -8x तक जोड़ते हैं। -2 × -2 = 4, इसलिए हम देख सकते हैं कि गुणा करने पर कोष्ठक में दिए गए शब्द मूल समीकरण उत्पन्न करते हैं।

चरण 4. वर्ग को पूरा करके हल करें।

कुछ मामलों में, विशेष बीजीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को शीघ्रता और आसानी से गुणनखंडित किया जा सकता है। x. के रूप में कोई द्विघात समीकरण² + 2xh + एच² = (एक्स + एच)². इसलिए यदि आपके समीकरण में आपका b मान आपके c मान के वर्गमूल का दोगुना है, तो आपके समीकरण को (x + (root(c))) में विभाजित किया जा सकता है।².

उदाहरण के लिए, समीकरण x² +6x+9 का यह आकार है। 3² 9 है और 3 × 2 6 है। तो, हम जानते हैं कि इस समीकरण का कारक रूप (x + 3)(x + 3), या (x + 3) है।².

चरण 5. द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए कारकों का उपयोग करें।

भले ही आपने अपने द्विघात समीकरण का गुणनखंडन किया हो, एक बार समीकरण के गुणनखंड करने के बाद, आप प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर बनाकर और उन्हें हल करके x के मान के संभावित उत्तर पा सकते हैं। चूँकि आप x के मान की तलाश कर रहे हैं जो आपके समीकरण को शून्य के बराबर बनाता है, x का मान जो किसी भी कारक को शून्य के बराबर बनाता है, आपके द्विघात समीकरण का एक संभावित उत्तर है।

आइए समीकरण x. पर वापस जाएं² + 5x + 6 = 0. यह समीकरण (x + 3)(x + 2) = 0 में विभाजित है। यदि कोई भी कारक 0 के बराबर है, तो सभी समीकरण 0 के बराबर हैं, इसलिए x के लिए हमारे संभावित उत्तर संख्याएं हैं- एक संख्या जो बनाती है (x + 3) और (x + 2) बराबर 0. ये संख्याएँ क्रमशः -3 और -2 हैं।

चरण 6. अपने उत्तरों की जाँच करें - कुछ उत्तर भ्रामक हो सकते हैं

जब आपको x के लिए संभावित उत्तर मिलते हैं, तो यह देखने के लिए कि क्या उत्तर सही है, उन्हें अपने मूल समीकरण में वापस प्लग करें। कभी-कभी, आपको जो उत्तर मिलते हैं, वे मूल समीकरण को फिर से दर्ज करने पर शून्य के बराबर नहीं बनाते हैं। हम इस उत्तर को विचलन कहते हैं और इसे अनदेखा कर देते हैं।

• चलो -2 और -3 को x. में डालते हैं² + 5x + 6 = 0. पहला, -2:

  • (-2)² + 5(-2) + 6 = 0
  • 4 + -10 + 6 = 0
  • 0 = 0. यह उत्तर सही है, अतः -2 सही उत्तर है।

• अब, आइए कोशिश करते हैं -3:

  • (-3)² + 5(-3) + 6 = 0
  • 9 + -15 + 6 = 0
  • 0 = 0. यह उत्तर भी सही है, अतः -3 सही उत्तर है।

विधि 3 का 3: अन्य समीकरणों का गुणनखंड करना

चरण 1. यदि समीकरण को a के रूप में व्यक्त किया जाता है²-बी², (a+b)(a-b) में गुणनखंड करें।

दो चर वाले समीकरणों के मूल द्विघात समीकरण से भिन्न गुणनखंड होते हैं। समीकरण के लिए a²-बी² कुछ भी जहां ए और बी 0 के बराबर नहीं हैं, समीकरण के कारक हैं (ए + बी) (ए-बी)।

उदाहरण के लिए, समीकरण 9x² - ४ साल² = (3x + 2y) (3x - 2y)।

चरण 2. यदि समीकरण को a के रूप में व्यक्त किया जाता है²+2ab+b², कारक (a+b) में².

ध्यान दें कि, यदि ट्रिनोमियल फॉर्म का है a²-2ab+b², रूप कारक थोड़े भिन्न हैं: (a-b)².

4x। समीकरण² + 8xy + 4y² 4x. के रूप में फिर से लिखा जा सकता है² + (2 × 2 × 2)xy + 4y². अब, हम देख सकते हैं कि फॉर्म सही है, इसलिए हम यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि हमारे समीकरण के कारक हैं (2x + 2y)²

चरण 3. यदि समीकरण को a के रूप में व्यक्त किया जाता है³-बी³, (ए-बी) (ए.) में कारक²+एबी+बी²).

अंत में, यह पहले ही उल्लेख किया गया था कि घन समीकरण और यहां तक कि उच्च शक्तियों को भी फैक्टर किया जा सकता है, हालांकि फैक्टरिंग प्रक्रिया जल्दी से बहुत जटिल हो जाती है।

उदाहरण के लिए, 8x³ - २७वर्ष³ (2x - 3y)(4x.) में विभाजित² + ((2x)(3y)) + 9y²)

टिप्स

• ए²-बी² गुणनखंड किया जा सकता है, a²+बी² कारक नहीं किया जा सकता।
• याद रखें कि स्थिरांक को कैसे कारक बनाया जाए। यह मदद कर सकता है।
• फैक्टरिंग प्रक्रिया में भिन्नों से सावधान रहें और भिन्नों के साथ सही और सावधानी से काम करें।
• यदि आपके पास x. के रूप का त्रिपद है²+बीएक्स+ (बी/2)², रूप कारक है (x+(b/2))². (वर्ग पूरा करते समय आप इस स्थिति का सामना कर सकते हैं।)
• याद रखें कि a0=0 (शून्य के गुणनफल का गुण)।