ग्रुपिंग के साथ फैक्टर कैसे करें (चित्रों के साथ)

2024 लेखक: Jason Gerald | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-15 08:15

समूहीकरण एक विशेष तकनीक है जिसका उपयोग बहुपद समीकरणों को कारक बनाने के लिए किया जाता है। आप इसका उपयोग द्विघात समीकरणों और बहुपदों के साथ कर सकते हैं जिनमें चार पद हैं। दोनों विधियां लगभग समान हैं, लेकिन थोड़ी भिन्न हैं।

कदम

विधि 1: 2 में से: द्विघात समीकरण

चरण 1. समीकरण को देखो।

यदि आप इस पद्धति का उपयोग करने की योजना बना रहे हैं, तो समीकरण को मूल रूप का पालन करना चाहिए: ax² + बीएक्स + सी

इस प्रक्रिया का उपयोग आमतौर पर तब किया जाता है जब प्रमुख गुणांक (एक पद) "1" के अलावा एक संख्या होती है, लेकिन इसका उपयोग द्विघात समीकरणों के लिए भी किया जा सकता है जहां a = 1 ।
उदाहरण: 2x² + 9x + 10

चरण 2. का मुख्य गुणनफल ज्ञात कीजिए।

a और c पदों को गुणा करें। इन दो शब्दों के उत्पाद को मुख्य उत्पाद कहा जाता है।

उदाहरण: 2x² + 9x + 10
- ए = 2; सी = 10
- ए * सी = 2 * 10 = 20

चरण 3. उत्पाद को उसके गुणनखंड युग्मों में अलग करें।

अपने मुख्य उत्पाद के गुणनखंडों को पूर्णांकों के जोड़े (मुख्य उत्पाद प्राप्त करने के लिए आवश्यक जोड़े) में विभाजित करके लिखें।

उदाहरण: 20 के गुणनखंड हैं: 1, 2, 4, 5, 10, 20

कारकों के जोड़े में लिखा गया: (1, 20), (2, 10), (4, 5)

चरण 4. b के बराबर योग वाले गुणनखंडों का एक युग्म ज्ञात कीजिए।

कारक युग्मों में देखें और उस युग्म का निर्धारण करें जो एक साथ जोड़े जाने पर b पद - माध्यिका पद और x गुणांक - देगा।

यदि आपका मुख्य उत्पाद ऋणात्मक है, तो आपको ऐसे कारकों की एक जोड़ी ढूंढनी होगी जो एक दूसरे से घटाए जाने पर शब्द b के बराबर हों।
उदाहरण: 2x² + 9x + 10
- बी = 9
- 1 + 20 = 21; यह सही जोड़ी नहीं है
- 2 + 10 = 12; यह सही जोड़ी नहीं है
- 4 + 5 = 9; यह है सच्चा साथी

चरण 5. मध्य पद को दो कारकों में विभाजित करें।

मध्य पद को पहले खोजे गए कारक युग्मों में विभाजित करके फिर से लिखें। सुनिश्चित करें कि आपने सही चिह्न (प्लस या माइनस) दर्ज किया है।

ध्यान दें कि इस समस्या के लिए मध्य पदों का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है। आपके द्वारा लिखे गए शब्दों के क्रम से कोई फर्क नहीं पड़ता, परिणाम वही होगा।
उदाहरण: 2x² + 9x + 10 = 2x² + 5x + 4x + 10

चरण 6. जनजातियों को जोड़े बनाने के लिए समूहित करें।

पहले दो पदों को एक जोड़ी में और दूसरे दो पदों को एक जोड़ी में समूहित करें।

उदाहरण: 2x² + 5x + 4x + 10 = (2x² + 5x) + (4x + 10)

चरण 7. प्रत्येक जोड़ी का गुणनखंड करें।

युग्म के सामान्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए और उनका गुणनखंड कीजिए। समीकरण को सही ढंग से फिर से लिखिए।

उदाहरण: x(२x + ५) + २(२x + ५)

चरण 8. समान कोष्ठकों का गुणनखंड करें।

दोनों हिस्सों के बीच समान द्विपद कोष्ठक होने चाहिए। इन कोष्ठकों का गुणनखण्ड करें और अन्य पदों को अन्य कोष्ठकों में रखें।

उदाहरण: (2x + 5)(x + 2)

चरण 9. अपने उत्तर लिखिए।

अब आपका जवाब है।

उदाहरण: 2x² + 9x + 10 = (2x + 5) (x + 2)

अंतिम उत्तर है: (2x + 5)(x + 2)

अतिरिक्त उदाहरण

चरण 1. कारक:

4 एक्स² - 3x - 10

ए * सी = 4 * -10 = -40
40 के गुणनखंड: (1, 40), (2, 20), (4, 10), (5, 8)
कारकों की सही जोड़ी: (5, 8); 5 - 8 = -3
4 एक्स² - 8x + 5x - 10
(4x² - 8x) + (5x - 10)
4x(x - 2) + 5(x - 2)
(एक्स - 2)(४एक्स + ५)

चरण 2. कारक:

8x² + 2x - 3

ए * सी = 8 * -3 = -24
24 का गुणनखंड: (1, 24), (2, 12), (4, 6)
कारकों की सही जोड़ी: (4, 6); 6 - 4 = 2
8x² + 6x - 4x - 3
(8x² + 6x) - (4x + 3)
2x(4x + 3) - 1(4x + 3)
(4x + 3)(2x - 1)

विधि २ का २: चार पदों वाले बहुपद

चरण 1. समीकरण को देखो।

समीकरण में चार अलग-अलग शब्द होने चाहिए। हालाँकि, चार जनजातियों के रूप भिन्न हो सकते हैं।

आमतौर पर, यदि आप एक बहुपद समीकरण देखते हैं जो इस तरह दिखता है, तो आप इस पद्धति का उपयोग करेंगे: ax³ + बीएक्स² + सीएक्स + डी
समीकरण भी इस तरह दिख सकता है:
- एक्सी + बाय + सीएक्स + डी
- कुल्हाड़ी² + बीएक्स + सीएक्सवाई + डाई
- कुल्हाड़ी⁴ + बीएक्स³ + सीएक्स² + डीएक्स
- या लगभग एक ही भिन्नता।
उदाहरण: 4x⁴ + 12x³ + 6x² + 18x

चरण 2. सबसे बड़े सामान्य कारक (GCF) का गुणनखंड करें।

निर्धारित करें कि क्या चार शब्दों में कुछ समान है। चार पदों में से सबसे बड़ा सामान्य कारक, यदि कोई भी कारक सामान्य है, तो समीकरण से बाहर होना चाहिए।

यदि केवल चार पदों में समान संख्या "1" है, तो उस पद का कोई GCF नहीं है और इस चरण में कुछ भी नहीं निकाला जा सकता है।
जब आप GCF को फ़ैक्टर आउट करते हैं, तो सुनिश्चित करें कि आप काम करते समय अपने समीकरण के सामने GCF लिखना जारी रखें। आपके उत्तर के सटीक होने के लिए इस आउट-फैक्टेड GCF को आपके अंतिम उत्तर के भाग के रूप में शामिल किया जाना चाहिए।
उदाहरण: 4x⁴ + 12x³ + 6x² + 18x
- प्रत्येक पद 2x के बराबर है, इसलिए इस समस्या को फिर से लिखा जा सकता है:
- 2x(2x³ + 6x² +3x+9)

चरण 3. समस्या में छोटे समूह बनाएं।

पहले दो पदों और दूसरे दो पदों को समूहित करें।

यदि दूसरे समूह के पहले पद के सामने ऋण चिह्न है, तो आपको दूसरे कोष्ठक के सामने ऋण चिह्न लगाना होगा। दूसरे समूह के दूसरे पद का मिलान करने के लिए आपको उसके चिह्न को बदलना होगा।
उदाहरण: 2x(2x³ + 6x² + 3x + 9) = 2x[(2x³ + 6x²) + (3x + 9)]

चरण 4. प्रत्येक द्विपद से GCF का गुणनखंड करें।

प्रत्येक द्विपद युग्म में GCF की पहचान करें और GCF को युग्म के बाहर होने का गुणनखंड करें। इस समीकरण को ठीक से लिखिए।

इस चरण में, आपको दूसरे समूह के लिए धनात्मक या ऋणात्मक संख्याओं का गुणनखंडन करने के विकल्प का सामना करना पड़ सकता है। दूसरे और चौथे पद से पहले के संकेतों को देखें।
- जब दोनों चिह्न समान हों (दोनों धनात्मक या दोनों ऋणात्मक), तो एक धनात्मक संख्या का गुणनखण्ड करें।
- जब दो चिह्न भिन्न हों (एक ऋणात्मक और एक धनात्मक), तो एक ऋणात्मक संख्या का गुणनखण्ड करें।
उदाहरण: 2x[(2x³ + 6x²) + (3x + 9)] = 2x²[२x²(एक्स + 3) + 3 (एक्स + 3)]

चरण 5. समान द्विपद का गुणनखंड करें।

दोनों कोष्ठकों में द्विपद युग्म समान होने चाहिए। इस जोड़ी को समीकरण से अलग करें, फिर शेष शब्दों को अन्य कोष्ठकों में समूहित करें।

यदि कोष्ठकों में द्विपद मेल नहीं खाते हैं, तो अपने कार्य की दोबारा जाँच करें या अपनी शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करने और समीकरण को फिर से समूहित करने का प्रयास करें।
सभी कोष्ठक समान होने चाहिए। यदि वे समान नहीं हैं, तो समूहीकरण या अन्य विधियों द्वारा समस्या का समाधान नहीं किया जाएगा, भले ही आप किसी भी विधि का प्रयास करें।
उदाहरण: 2x²[२x²(एक्स + 3) + 3 (एक्स + 3)] = 2x²[(x + 3)(२x² + 3)]