किसी संख्या के सभी अभाज्य संख्याओं को खोजने का एक आसान तरीका एक कारक वृक्ष बनाना है। एक बार जब आप एक कारक ट्री बनाना जानते हैं, तो आप जटिल गणनाओं को अधिक आसानी से करने में सक्षम होंगे, जैसे कि सबसे बड़ा सामान्य कारक (जीसीएफ) या कम से कम सामान्य गुणक (एलसीएम)।
कदम
विधि 1 का 3: एक कारक ट्री बनाना
चरण 1. अपने पेपर के शीर्ष पर एक संख्या लिखें।
यदि आप किसी संख्या के लिए एक गुणनखंड वृक्ष बनाना चाहते हैं, तो कागज के शीर्ष पर विशिष्ट संख्या को प्रारंभिक संख्या के रूप में लिखकर प्रारंभ करें। यह संख्या आपके द्वारा बनाए गए पेड़ के शीर्ष पर होगी।
- संख्या के ठीक नीचे नीचे की ओर दो विकर्ण रेखाएँ खींचकर गुणनखंड लिखने के लिए एक स्थान तैयार करें। एक पंक्ति नीचे बाईं ओर झुकी हुई है, और दूसरी नीचे दाईं ओर झुकी हुई है।
- वैकल्पिक रूप से, आप संख्याओं को कागज़ के नीचे लिख सकते हैं और फिर गुणनखंडों के लिए शाखाओं के रूप में रेखाएँ खींच सकते हैं। हालाँकि, इस पद्धति का आमतौर पर उपयोग नहीं किया जाता है।
-
उदाहरण: संख्या ३१५ के लिए एक गुणनखंड वृक्ष बनाएँ।
- …..315
- …../…
चरण 2. कारकों की एक जोड़ी खोजें।
आप जिस शुरुआती संख्या के साथ काम कर रहे हैं, उसके लिए कारक जोड़ी चुनें। एक कारक जोड़ी के रूप में अर्हता प्राप्त करने के लिए, इन कारक संख्याओं को गुणा करने पर मूल संख्या के बराबर होना चाहिए।
- ये दो कारक आपके कारक वृक्ष की पहली शाखा का निर्माण करेंगे।
- आप कारकों के रूप में किन्हीं दो संख्याओं को चुन सकते हैं क्योंकि अंतिम परिणाम वही होगा चाहे आप कहीं से भी शुरू करें।
- ध्यान रखें कि कोई भी फ़ैक्टर कभी भी मूल संख्या के समान नहीं होता है, जब इसे गुणा किया जाता है, इसके अलावा यदि यह फ़ैक्टर और आपकी शुरुआती संख्या “1” है और यह संख्या एक अभाज्य संख्या है जिसे एक फ़ैक्टर ट्री कभी नहीं बना सकता है।
-
उदाहरण:
- …..315
- …../…
- …5….63
चरण 3. गुणनखंडों के प्रत्येक युग्म को फिर से तोड़कर उनके संबंधित गुणनखंड प्राप्त करें।
पहले दो कारकों का वर्णन करें जो आपको पहले मिले थे ताकि प्रत्येक के दो कारक हों।
- जैसा कि पहले बताया गया है, दो संख्याओं को केवल तभी गुणनखंड माना जा सकता है जब उनका गुणनफल उस संख्या के बराबर हो जिसे वे विभाजित करते हैं।
- अभाज्य संख्याओं को उप-विभाजित करने की आवश्यकता नहीं है।
-
उदाहरण:
- …..315
- …../…
- …5….63
- ………/
- …….7…9
चरण 4। उपरोक्त चरणों को तब तक दोहराएं जब तक आपको अभाज्य संख्याएँ न मिल जाएँ।
आपको तब तक विभाजित करना जारी रखना चाहिए जब तक कि परिणाम केवल अभाज्य संख्याएँ न हों यानी वे संख्याएँ जिनके गुणनखंड केवल यह संख्या और "1" हों।
- तब तक जारी रखें जब तक परिणाम अगली शाखाएं बनाकर विभाजित किया जा सके।
- ध्यान रखें कि आपके फ़ैक्टर ट्री में "1" नहीं हो सकता है।
-
उदाहरण:
- …..315
- …../…
- …5….63
- ………/..
- …….7…9
- ………../..
- ……….3….3
चरण 5. सभी अभाज्य संख्याओं को पहचानें।
चूँकि ये अभाज्य संख्याएँ गुणनखंड ट्री में विभिन्न स्तरों पर होती हैं, इसलिए आपको प्रत्येक अभाज्य संख्या की पहचान करने में सक्षम होना चाहिए ताकि इसे खोजना आसान हो सके। आप पहले से मौजूद अभाज्य संख्याओं को रंग, वृत्त या लिख सकते हैं।
-
उदाहरण: अभाज्य संख्याएँ जो 315 के गुणनखंड हैं: 5, 7, 3, 3
- …..315
- …../…
- चरण 5.….63
- …………/..
-
………
चरण 7.…9
- …………../..
-
………..
चरण 3।
चरण 3।
- एक गुणनखंड वृक्ष के अभाज्य गुणनखंडों को लिखने का दूसरा तरीका यह है कि इस संख्या को उसके नीचे अगले स्तर पर लिखा जाए। समस्या को हल करने के अंत में, आप इनमें से प्रत्येक प्रमुख कारक देख सकते हैं क्योंकि वे सभी नीचे की पंक्ति में होंगे।
-
उदाहरण:
- …..315
- …../…
- ….5….63
- …/……/..
- ..5….7…9
- ../…./…./..
- 5….7…3….3
चरण 6. अभाज्य गुणनखंडों को समीकरण रूप में लिखिए।
आपके द्वारा हल की गई समस्याओं के परिणामस्वरूप प्राप्त होने वाले सभी प्रमुख कारकों को गुणा रूप में लिखें। दो संख्याओं के बीच टाइमस्टैम्प लगाकर प्रत्येक गुणनखंड को लिखिए।
- यदि आपको एक कारक वृक्ष के रूप में उत्तर देने के लिए कहा जाता है, तो आपको निम्न चरणों को करने की आवश्यकता नहीं है।
- उदाहरण: 5 x 7 x 3 x 3
चरण 7. अपने गुणन परिणामों की जाँच करें।
आपके द्वारा अभी-अभी लिखे गए समीकरण को हल करें। आपके द्वारा सभी अभाज्य गुणनखंडों को गुणा करने के बाद, परिणाम प्रारंभिक संख्या के समान होना चाहिए।
उदाहरण: 5 x 7 x 3 x 3 = 315
विधि 2 का 3: सबसे बड़ा सामान्य कारक (जीसीएफ) निर्धारित करना
चरण 1. समस्या में निर्दिष्ट प्रत्येक प्रारंभिक संख्या के लिए एक कारक ट्री बनाएं।
दो या दो से अधिक संख्याओं के सबसे बड़े सामान्य गुणनखंड (GCF) की गणना करने के लिए, प्रत्येक प्रारंभिक संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके प्रारंभ करें। आप इस गणना के लिए एक कारक वृक्ष का उपयोग कर सकते हैं।
- प्रत्येक प्रारंभिक संख्या के लिए एक गुणनखंड वृक्ष बनाएँ।
- यहाँ एक फ़ैक्टर ट्री बनाने के लिए आवश्यक चरण वही हैं जो "एक फ़ैक्टर ट्री बनाना" अनुभाग में वर्णित हैं।
- दो या दो से अधिक संख्याओं का GCF समस्या में निर्धारित प्रारंभिक संख्याओं को विभाजित करने के परिणामों से प्राप्त सबसे बड़ा कारक है। FPB को समस्या में सभी प्रारंभिक संख्याओं को पूरी तरह से विभाजित करना चाहिए।
-
उदाहरण: 195 और 260 के GCF की गणना करें।
- ……195
- ……/….
- ….5….39
- ………/….
- …….3…..13
- 195 के अभाज्य गुणनखंड हैं: 3, 5, 13
- …….260
- ……./…..
- ….10…..26
- …/…\ …/..
- .2….5…2…13
- 260 के अभाज्य गुणनखंड हैं: 2, 2, 5, 13
चरण 2. इन दो संख्याओं के उभयनिष्ठ गुणनखंड ज्ञात कीजिए।
प्रत्येक प्रारंभिक संख्या के लिए आपके द्वारा बनाए गए प्रत्येक कारक वृक्ष पर एक नज़र डालें। प्रत्येक प्रारंभिक संख्या के लिए अभाज्य गुणनखंड निर्धारित करें, फिर सभी गुणनखंडों को समान रंग दें या लिखें।
- यदि दो प्रारंभिक संख्याओं में से कोई भी गुणनखंड समान नहीं है, तो इसका अर्थ है कि इन दोनों संख्याओं का GCF 1 है।
- उदाहरण: जैसा कि पहले बताया गया है, 195 के गुणनखंड 3, 5 और 13 हैं; और 260 के गुणनखंड 2, 2, 5 और 13 हैं। इन दोनों संख्याओं के सार्व गुणनखंड 5 और 13 हैं।
चरण 3. गुणनखंडों को उसी से गुणा करें।
यदि ऐसी दो या अधिक संख्याएँ हैं जो इन दो संख्याओं के समान गुणनखंड हैं, तो आपको GCF प्राप्त करने के लिए सभी गुणनखंडों को एक साथ गुणा करना होगा।
- यदि दो या पहले की संख्याओं का केवल एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है, तो इन प्रारंभिक संख्याओं का GCF यह गुणनखंड है।
-
उदाहरण: संख्या 195 और 260 के सार्व गुणनखंड 5 और 13 हैं। 5 गुणा 13 का गुणनफल 65 है।
5 x 13 = 65
चरण 4. अपने उत्तर लिखिए।
इस प्रश्न का अब उत्तर दिया गया है, और आप अंतिम परिणाम लिख सकते हैं।
- आप अपने काम की दोबारा जांच कर सकते हैं, यदि आवश्यक हो, तो प्रत्येक प्रारंभिक संख्या को आपके द्वारा प्राप्त जीसीएफ से विभाजित करके। यदि प्रत्येक प्रारंभिक संख्या GCF से विभाज्य है, तो आपका परिकलन परिणाम सही है।
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उदाहरण: 195 और 260 का GCF 65 है।
- 195 / 65 = 3
- 260 / 65 = 4
विधि 3 का 3: कम से कम सामान्य गुणक (LCM) निर्धारित करना
चरण 1. प्रश्न में दी गई प्रत्येक प्रारंभिक संख्या का एक गुणनखंड वृक्ष बनाइए।
दो या दो से अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करने के लिए, आपको समस्या में प्रत्येक प्रारंभिक संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना होगा। फ़ैक्टर ट्री का उपयोग करके ये गणनाएँ करें।
- "एक फ़ैक्टर ट्री बनाना" खंड में वर्णित चरणों के अनुसार समस्या में प्रत्येक प्रारंभिक संख्या के लिए एक फ़ैक्टर ट्री बनाएँ।
- एक बहु का मतलब एक संख्या है जो किसी दी गई प्रारंभिक संख्या का एक कारक है। एलसीएम सबसे छोटी संख्या है जो समस्या में सभी प्रारंभिक संख्याओं का एक ही गुणक है।
-
उदाहरण: 15 और 40 का LCM ज्ञात कीजिए।
- ….15
- …./..
- …3…5
- 15 के अभाज्य गुणनखंड 3 और 5 हैं।
- …..40
- …./…
- …5….8
- ……../..
- …….2…4
- …………/
- ……….2…2
- 40 के अभाज्य गुणनखंड 5, 2, 2 और 2 हैं।
चरण 2. सामान्य कारकों का निर्धारण करें।
प्रत्येक प्रारंभिक संख्या के सभी अभाज्य गुणनखंडों पर ध्यान दें। इसे रंग दें, इसे रिकॉर्ड करें, या यदि नहीं, तो उन सभी कारकों को खोजें जो प्रत्येक कारक वृक्ष में सामान्य हैं।
- याद रखें कि यदि आप दो से अधिक शुरुआती बिंदुओं के साथ किसी समस्या पर काम कर रहे हैं, तो कम से कम दो कारक पेड़ों में एक ही कारक मौजूद होना चाहिए, लेकिन सभी कारक पेड़ों में जरूरी नहीं है।
- कारकों का एक साथ मिलान करें। उदाहरण के लिए, यदि एक आरंभिक संख्या में "2" के दो गुणनखंड हैं और दूसरी आरंभिक संख्या में "2" का एक गुणनखंड है, तो आपको गुणनखंड "2" को एक जोड़ी के रूप में लेना होगा; और एक अन्य "2" कारक एक अयुग्मित संख्या के रूप में।
- उदाहरण: 15 के गुणनखंड 3 और 5 हैं; 40 के गुणनखंड 2, 2, 2 और 5 हैं। इनमें से केवल 5 ही इन दो प्रारंभिक संख्याओं का एक सामान्य गुणनखंड के रूप में प्रकट होता है।
चरण 3. युग्मित गुणनखंड को अयुग्मित गुणनखंड से गुणा करें।
युग्मित गुणनखंडों को अलग करने के बाद, इस गुणनखंड को प्रत्येक गुणनखंड के सभी अयुग्मित गुणनखंडों से गुणा करें।
- युग्मित कारकों को एक कारक माना जाता है, जबकि अयुग्मित कारकों को सभी को ध्यान में रखा जाना चाहिए, भले ही यह कारक प्रारंभिक संख्या के कारक वृक्ष में कई बार हो।
-
उदाहरण: युग्मित गुणनखंड 5 है। प्रारंभिक संख्या 15 में भी 3 का एक अयुग्मित गुणनखंड है, और प्रारंभिक संख्या 40 में भी 2, 2, और 2 का एक अयुग्मित गुणनखंड है। इसलिए आपको गुणा करना होगा:
5 x 3 x 2 x 2 x 2 = 120
चरण 4. अपने उत्तर लिखिए।
समस्या का उत्तर दिया गया है, और अब आप अंतिम परिणाम लिख सकते हैं।
