एक परिमेय समीकरण एक भिन्न है जिसमें अंश या हर में एक या अधिक चर होते हैं। एक परिमेय समीकरण कोई भी भिन्न है जिसमें कम से कम एक परिमेय समीकरण शामिल होता है। सामान्य बीजीय समीकरणों की तरह, परिमेय समीकरणों को समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही ऑपरेशन करके हल किया जाता है जब तक कि चर को समीकरण के दोनों ओर स्थानांतरित नहीं किया जा सकता। दो विशेष तकनीकें, क्रॉस गुणा और कम से कम सामान्य भाजक खोजना, चर को स्थानांतरित करने और तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के लिए बहुत उपयोगी तरीके हैं।
कदम
विधि 1 में से 2: क्रॉस गुणा
चरण 1. यदि आवश्यक हो, समीकरण के एक तरफ भिन्न प्राप्त करने के लिए अपने समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें।
क्रॉस गुणा तर्कसंगत समीकरणों को हल करने का एक त्वरित और आसान तरीका है। दुर्भाग्य से, इस पद्धति का उपयोग केवल तर्कसंगत समीकरणों के लिए किया जा सकता है जिनमें समीकरण के प्रत्येक पक्ष पर कम से कम एक तर्कसंगत समीकरण या अंश होता है। यदि आपका समीकरण इन क्रॉस उत्पाद आवश्यकताओं को पूरा नहीं करता है, तो आपको भागों को सही स्थानों पर ले जाने के लिए बीजीय संक्रियाओं का उपयोग करना पड़ सकता है।
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उदाहरण के लिए, समीकरण (x + 3)/4 - x/(-2) = 0 को समीकरण के दोनों पक्षों में x/(-2) जोड़कर आसानी से क्रॉस उत्पाद रूप में रखा जा सकता है, ताकि यह (x) हो जाए + 3)/4 = x/(-2)।
ध्यान दें कि दशमलव और पूर्ण संख्याओं को हर 1 देकर भिन्न में परिवर्तित किया जा सकता है। (x + 3)/4 - 2, 5 = 5, उदाहरण के लिए, (x + 3)/4 = 7, 5/ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। 1, यह क्रॉस गुणन की स्थिति को संतुष्ट करता है।
- कुछ परिमेय समीकरणों को आसानी से ऐसे रूप में कम नहीं किया जा सकता है जिसमें प्रत्येक पक्ष पर एक भिन्न या परिमेय समीकरण हो। ऐसे मामलों में, समान न्यूनतम हर दृष्टिकोण का उपयोग करें।
चरण 2. क्रॉस गुणा।
क्रॉस गुणा का अर्थ है एक भिन्न के अंशों में से एक को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करना और इसके विपरीत। बाईं ओर भिन्न के अंश को भिन्न के हर से गुणा करें। बाएं हर के साथ दाएं हर के साथ दोहराएं।
क्रॉस गुणा बुनियादी बीजीय सिद्धांतों के अनुसार काम करता है। परिमेय समीकरणों और अन्य भिन्नों को हर से गुणा करके गैर-अंशों में बनाया जा सकता है। क्रॉस उत्पाद मूल रूप से एक समीकरण के दोनों पक्षों को दोनों हरों से गुणा करने का एक त्वरित तरीका है। विश्वास मत करो? इसे आज़माएं - इसे सरल बनाने के बाद आपको वही परिणाम मिलेगा।
चरण 3. दोनों उत्पादों को एक दूसरे के बराबर बनाएं।
क्रॉस गुणा करने के बाद, आपको दो गुणा परिणाम मिलेंगे। उन्हें एक दूसरे के बराबर बनाएं और समीकरण को यथासंभव सरल बनाने के लिए सरल करें।
उदाहरण के लिए, यदि आपका मूल परिमेय समीकरण (x+3)/4 = x/(-2) था, तो क्रॉस गुणा करने के बाद, आपका नया समीकरण -2(x+3) = 4x हो जाता है। आप चाहें तो इसे -2x - 6 = 4x के रूप में भी लिख सकते हैं।
चरण 4. अपने चर का मान ज्ञात कीजिए।
अपने समीकरण के चर का मान ज्ञात करने के लिए बीजीय संक्रियाओं का उपयोग करें। याद रखें कि, यदि x समीकरण के दोनों ओर दिखाई देता है, तो आपको समीकरण के दोनों पक्षों से x जोड़ना या घटाना होगा ताकि x को समीकरण के केवल एक तरफ छोड़ दिया जा सके।
हमारे उदाहरण में, हम समीकरण के दोनों पक्षों को -2 से विभाजित कर सकते हैं, इसलिए x+3 = -2x। दोनों पक्षों से x घटाने पर 3 = -3x प्राप्त होता है। अंत में दोनों पक्षों को -3 से विभाजित करने पर परिणाम -1 = x बन जाता है, जिसे x = -1 के रूप में लिखा जा सकता है। हमने अपने परिमेय समीकरण को हल करते हुए x का मान ज्ञात किया है।
विधि २ का २: कम से कम सामान्य भाजक ढूँढना
चरण 1. समान सबसे छोटे हर का उपयोग करने का सही समय जानें।
परिमेय समीकरणों को सरल बनाने के लिए एक ही सबसे छोटे हर का उपयोग किया जा सकता है, जिससे वे चर मानों के लिए खोजे जा सकते हैं। यदि आपके परिमेय समीकरण को समीकरण के प्रत्येक पक्ष पर एक भिन्न (और केवल एक भिन्न) के रूप में आसानी से नहीं लिखा जा सकता है, तो कम से कम सामान्य भाजक ढूँढना एक अच्छा विचार है। तीन या अधिक भागों वाले परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए, सबसे छोटा सामान्य भाजक सहायक होता है। हालांकि, केवल दो भागों के साथ एक तर्कसंगत समीकरण को हल करने के लिए, क्रॉस उत्पाद का उपयोग करना तेज़ है।
चरण 2. प्रत्येक भिन्न के हर की जाँच करें।
सबसे छोटी संख्या की पहचान करें जिसे प्रत्येक भाजक विभाजित कर सकता है और एक पूर्ण संख्या उत्पन्न कर सकता है। यह संख्या आपके समीकरण के लिए सबसे कम आम भाजक है।
- कभी-कभी सबसे छोटा सार्व भाजक - यानी वह सबसे छोटी संख्या जिसमें हर में सभी गुणनखंड होते हैं - स्पष्ट रूप से दिखाई देता है। उदाहरण के लिए, यदि आपका समीकरण x/3 + 1/2 = (3x+1)/6 है, तो सबसे छोटी संख्या को देखना मुश्किल नहीं है, जिसमें 3, 2 और 6 का गुणनखंड हो, जो कि संख्या 6 है।
- हालांकि, अक्सर, एक परिमेय समीकरण का सबसे छोटा आम भाजक स्पष्ट रूप से दिखाई नहीं देता है। इस तरह के मामले में, बड़े हर के गुणकों को तब तक जांचने का प्रयास करें जब तक कि आपको ऐसी संख्या न मिल जाए जिसमें अन्य सभी छोटे हरों का गुणनखंड हो। अक्सर, कम से कम आम भाजक दो भाजक का गुणनफल होता है। उदाहरण के लिए, समीकरण x/8 + 2/6 = (x-3)/9 में, सबसे छोटा आम भाजक 8*9 = 72 है।
- यदि आपके भिन्न के हर में से एक या अधिक चर हैं, तो यह प्रक्रिया अधिक कठिन है, लेकिन करना संभव है। इस तरह के मामले में, सबसे छोटा आम भाजक एक समीकरण (एक चर के साथ) होता है जो अन्य सभी हरों से विभाज्य होता है। उदाहरण के लिए समीकरण 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) में, सबसे छोटा सामान्य भाजक 3x(x-1) है क्योंकि कोई भी हर इसे विभाजित कर सकता है - (x-1) से विभाजित करने पर 3x मिलता है।, 3x से भाग देने पर (x-1) प्राप्त होता है, और x से भाग देने पर 3(x-1) प्राप्त होता है।
चरण 3. परिमेय समीकरण में प्रत्येक भिन्न को 1 से गुणा करें।
प्रत्येक भाग को 1 से गुणा करना व्यर्थ लगता है। लेकिन यहाँ चाल है। 1 को किसी भी संख्या के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो अंश और हर दोनों में समान है, जैसे -2/2 और 3/3, जो 1 लिखने का सही तरीका है। यह विधि वैकल्पिक परिभाषा का लाभ उठाती है। अपने परिमेय समीकरण में प्रत्येक भिन्न को 1 से गुणा करें, संख्या 1 को लिख लें, जिसे हर से गुणा करने पर सबसे छोटा सार्व भाजक प्राप्त होता है।
- हमारे मूल उदाहरण में, हम 2x/6 प्राप्त करने के लिए x/3 को 2/2 से गुणा करेंगे और 3/6 प्राप्त करने के लिए 1/2 को 3/3 से गुणा करेंगे। 2x + 1/6 में पहले से ही वही सबसे छोटा हर है, जो कि 6 है, इसलिए हम इसे 1/1 से गुणा कर सकते हैं या इसे अकेला छोड़ सकते हैं।
- भिन्न के हर में एक चर के साथ हमारे उदाहरण में, प्रक्रिया थोड़ी अधिक जटिल है। चूँकि हमारा सबसे छोटा हर 3x(x-1) है, हम प्रत्येक परिमेय समीकरण को उस चीज़ से गुणा करते हैं जो 3x(x-1) देता है। हम 5/(x-1) को (3x)/(3x) से गुणा करेंगे जो 5(3x)/(3x)(x-1) देता है, 1/x को 3(x-1)/3(x- से गुणा करें) 1) जो 3(x-1)/3x(x-1) देता है, और 2/(3x) को (x-1)/(x-1) से गुणा करने पर 2(x-1)/3x(x-1) मिलता है)
चरण 4. सरल कीजिए और x का मान ज्ञात कीजिए।
अब, चूँकि आपके परिमेय समीकरण के प्रत्येक भाग का हर समान है, आप अपने समीकरण से हर को हटा सकते हैं और अंश के लिए हल कर सकते हैं। अंश का मान प्राप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों को गुणा करें। फिर, समीकरण के एक तरफ x (या जो भी चर को आप हल करना चाहते हैं) का मान ज्ञात करने के लिए बीजीय संक्रियाओं का उपयोग करें।
- हमारे मूल उदाहरण में, सभी भागों को वैकल्पिक रूप 1 से गुणा करने के बाद, हमें 2x/6 + 3/6 = (3x+1)/6 मिलता है। दो भिन्नों को जोड़ा जा सकता है यदि उनके पास एक ही हर है, तो हम इस समीकरण को (2x+3)/6 = (3x+1)/6 बिना मान बदले सरल कर सकते हैं। हर को निकालने के लिए दोनों पक्षों को 6 से गुणा करें, इसलिए परिणाम 2x+3 = 3x+1 है। 2x+2 = 3x प्राप्त करने के लिए दोनों पक्षों से 1 घटाएं, और 2 = x प्राप्त करने के लिए दोनों पक्षों से 2x घटाएं, जिसे x = 2 के रूप में लिखा जा सकता है।
- हर में एक चर के साथ हमारे उदाहरण में, 1 से गुणा करने के बाद हमारा समीकरण 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x-1) + 2(x-1) बन जाता है।) /3x (एक्स -1)। सभी भागों को एक ही सबसे छोटे हर से गुणा करने पर, हमें हर को छोड़ने की अनुमति देता है, 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1) बन जाता है। यह 5x = 3x - 3 + 2x -2 पर भी लागू होता है, जो 15x = x - 5 को सरल करता है। दोनों पक्षों से x घटाने पर 14x = -5 प्राप्त होता है, जो अंत में x = -5/14 को सरल करता है।
टिप्स
- जब आप वेरिएबल को हल कर लें, तो वेरिएबल के मान को मूल समीकरण में प्लग करके अपने उत्तर की जाँच करें। यदि आपका चर मान सही है, तो आप अपने मूल समीकरण को एक साधारण कथन में सरल बना सकते हैं जो हमेशा 1 = 1 के बराबर होता है।
- ध्यान दें कि आप किसी भी बहुपद को परिमेय समीकरण के रूप में लिख सकते हैं; इसे हर 1 के ऊपर रखें। तो x+3 और (x+3)/1 का मान समान है, लेकिन दूसरे समीकरण को एक परिमेय समीकरण के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है क्योंकि इसे भिन्न के रूप में लिखा जाता है।
