गणितीय समीकरणों को सरल कैसे करें: १३ चरण

2024 लेखक: Jason Gerald | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-15 08:15

गणित के छात्रों को अक्सर अपने उत्तर अपने सरलतम रूप में लिखने के लिए कहा जाता है - दूसरे शब्दों में, उत्तरों को यथासंभव सुंदर ढंग से लिखने के लिए। हालांकि लंबे, कड़े और छोटे, साथ ही सुरुचिपूर्ण, समीकरण तकनीकी रूप से एक ही चीज हैं, अक्सर, गणित की समस्या को पूर्ण नहीं माना जाता है यदि अंतिम उत्तर को उसके सरलतम रूप में कम नहीं किया जाता है। इसके अलावा, इसके सरलतम रूप में उत्तर काम करने के लिए लगभग हमेशा सबसे आसान समीकरण होता है। इस कारण से, गणितज्ञों के लिए समीकरणों को सरल बनाना सीखना एक महत्वपूर्ण कौशल है।

कदम

विधि 1: 2 में से: ऑपरेशन अनुक्रम का उपयोग करना

चरण 1. संचालन के क्रम को जानें।

गणितीय व्यंजकों को सरल बनाते समय, आप केवल बाएँ से दाएँ, गुणा करना, जोड़ना, घटाना, इत्यादि काम नहीं कर सकते, बाएँ से दाएँ क्रम में। कुछ गणितीय संक्रियाओं को दूसरों पर वरीयता लेनी चाहिए और उन्हें पहले किया जाना चाहिए। वास्तव में, संचालन के गलत क्रम का उपयोग करने से गलत उत्तर मिल सकता है। संचालन का क्रम है: कोष्ठक में भाग, घातांक, गुणा, भाग, जोड़, और अंत में, घटाव। एक संक्षिप्त नाम जिसे आप याद रखने के लिए उपयोग कर सकते हैं क्योंकि माँ अच्छी, बुरी और गरीब नहीं होती है।

ध्यान दें कि, जबकि संचालन के क्रम का एक बुनियादी ज्ञान सबसे बुनियादी समीकरणों को सरल बना सकता है, लगभग सभी बहुपद सहित कई चर समीकरणों को सरल बनाने के लिए विशेष तकनीकों की आवश्यकता होती है। अधिक जानकारी के लिए निम्न दूसरी विधि देखें।

चरण 2. कोष्ठक में सभी अनुभागों को पूरा करके प्रारंभ करें।

गणित में, कोष्ठक इंगित करते हैं कि आंतरिक भाग की गणना कोष्ठक के बाहर के व्यंजक से अलग से की जानी चाहिए। कोई फर्क नहीं पड़ता कि कोष्ठक के अंदर कौन से ऑपरेशन हैं, पहले कोष्ठक के अंदर के हिस्से को पूरा करना सुनिश्चित करें जब आप किसी समीकरण को सरल बनाने का प्रयास कर रहे हों। उदाहरण के लिए, कोष्ठकों में, आपको जोड़ने, घटाने आदि से पहले गुणा करना होगा।

• उदाहरण के लिए, आइए समीकरण 2x + 4(5 + 2) + 3. को सरल बनाने का प्रयास करें² - (3 + 4/2)। इस समीकरण में हमें पहले कोष्ठक के अंदर के भाग 5+2 और 3+4/2 को हल करना है। 5 + 2 =

  चरण 7.. 3 + 4/2 = 3 + 2

  चरण 5

  दूसरे ब्रैकेट में भाग को 5 तक सरल किया जाता है क्योंकि संचालन के क्रम के अनुसार, हम 4/2 को पहले कोष्ठक में विभाजित करते हैं। यदि हम केवल बाएं से दाएं कार्य करते हैं, तो हम पहले 3 और 4 जोड़ते हैं, फिर 2 से विभाजित करते हैं, गलत उत्तर 7/2 देते हैं।

• नोट - यदि कोष्ठकों में एक से अधिक कोष्ठक हैं, तो सबसे अंतरतम कोष्ठक में अनुभाग को पूरा करें, फिर दूसरा अंतरतम, इत्यादि।

चरण 3. घातांक को हल करें।

कोष्ठकों को पूरा करने के बाद, अपने समीकरण के घातांक को हल करें। यह याद रखना आसान है क्योंकि घातांक में, आधार संख्या और घात की शक्ति एक दूसरे के बगल में होती है। घातांक के प्रत्येक भाग का उत्तर खोजें, फिर घातांक वाले भाग को बदलने के लिए अपने उत्तर को समीकरण में जोड़ें।

कोष्ठक में भाग पूरा करने के बाद, हमारा उदाहरण समीकरण अब 2x + 4(7) + 3. हो जाता है² - 5। हमारे उदाहरण में एकमात्र घातांक 3. है², जो 9 के बराबर है। 3. को बदलने के लिए इस परिणाम को अपने समीकरण में जोड़ें² परिणामस्वरूप 2x + 4(7) + 9 - 5 ।

चरण 4. अपने समीकरण में गुणन समस्या को हल करें।

इसके बाद, अपने समीकरण में जो भी गुणन आवश्यक है वह करें। याद रखें कि गुणन को कई तरह से लिखा जा सकता है। × डॉट, या तारांकन चिह्न गुणन दिखाने का एक तरीका है। हालाँकि, कोष्ठक या एक चर (जैसे 4(x)) के आगे की संख्या भी एक गुणन का प्रतिनिधित्व करती है।

• हमारी समस्या में गुणन के दो भाग हैं: 2x (2x 2 × x है) और 4(7)। हम x का मान नहीं जानते हैं, इसलिए हम इसे केवल 2x पर छोड़ देते हैं। ४(७) = ४ × ७ =

  चरण 28.. हम अपने समीकरण को 2x + 28 + 9 - 5 के रूप में फिर से लिख सकते हैं।

चरण 5. विभाजन के लिए आगे बढ़ें।

जब आप अपने समीकरणों में विभाजन की समस्याओं की तलाश कर रहे हों, तो ध्यान रखें कि, गुणा की तरह, भाग को कई तरीकों से लिखा जा सकता है। इनमें से एक प्रतीक है, लेकिन ध्यान रखें कि अंशों में स्लैश और डैश (जैसे 3/4) भी विभाजन का संकेत देते हैं।

क्योंकि हम भाग (4/2) कर चुके हैं जब हमने भागों को कोष्ठक में समाप्त कर दिया है। हमारे उदाहरण में पहले से कोई विभाजन समस्या नहीं है, इसलिए हम इस चरण को छोड़ देंगे। यह एक महत्वपूर्ण बिंदु दिखाता है - किसी व्यंजक को सरल बनाते समय आपको सभी संक्रियाओं को करने की आवश्यकता नहीं होती है, केवल आपकी समस्या में निहित संक्रियाएं होती हैं।

चरण 6. इसके बाद, अपने समीकरण में जो कुछ भी है उसे जोड़ें।

आप बाएं से दाएं काम कर सकते हैं, लेकिन आसानी से जोड़े जाने वाले नंबरों को पहले जोड़ना आसान होता है। उदाहरण के लिए, समस्या 49 + 29 + 51 + 71 में, 49 + 51 = 100, 29 + 71 = 100, और 100 + 100 = 200 को जोड़ना 49 + 29 = 78, 78 + 51 = 129 की तुलना में आसान है।, और 129 + 71 = 200।

हमारे उदाहरण समीकरण को आंशिक रूप से 2x + 28 + 9 - 5 तक सरल बना दिया गया है। अब, हमें उन संख्याओं को जोड़ना है जिन्हें हम जोड़ सकते हैं - आइए प्रत्येक जोड़ समस्या को बाएं से दाएं देखें। हम 2x और 28 नहीं जोड़ सकते क्योंकि हम x का मान नहीं जानते हैं, इसलिए हम इसे छोड़ देंगे। 28 + 9 = 37, को 2x + 37 - 5 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।

चरण 7. संक्रियाओं के अनुक्रम का अंतिम चरण घटाव है।

शेष घटाव की समस्याओं को हल करके अपनी समस्या जारी रखें। आप घटाव को इस चरण में ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के रूप में सोच सकते हैं, या नियमित जोड़ समस्या के समान चरणों का उपयोग कर सकते हैं - आपकी पसंद आपके उत्तर को प्रभावित नहीं करेगी।

• हमारी समस्या 2x + 37 - 5 में केवल एक घटाव समस्या है। 37 - 5 =

  चरण 32.

चरण 8. अपने समीकरण की जाँच करें।

संक्रियाओं के क्रम का उपयोग करके हल करने के बाद, आपके समीकरण को उसके सरलतम रूप में सरल बनाया जाना चाहिए। हालाँकि, यदि आपके समीकरण में एक या अधिक चर हैं, तो समझें कि आपके चरों पर काम करने की आवश्यकता नहीं है। एक चर को सरल बनाने के लिए, आपको या तो अपने चर का मान ज्ञात करना होगा या व्यंजक को सरल बनाने के लिए विशेष तकनीकों का उपयोग करना होगा (नीचे चरण देखें)।

हमारा अंतिम उत्तर 2x + 32 है। हम इस अंतिम जोड़ को तब तक हल नहीं कर सकते जब तक हम x का मान नहीं जानते, लेकिन यदि हम इसका मान जानते हैं, तो यह समीकरण हमारे लंबे मूल समीकरण की तुलना में हल करना बहुत आसान होगा।

विधि २ का २: जटिल समीकरणों का सरलीकरण

चरण 1. समान चर वाले भागों को जोड़ें।

चर समीकरणों को हल करते समय, याद रखें कि समान चर और घातांक (या समान चर) वाले भागों को सामान्य संख्याओं की तरह जोड़ा और घटाया जा सकता है। इस भाग में समान चर और घातांक होना चाहिए। उदाहरण के लिए, 7x और 5x को जोड़ा जा सकता है, लेकिन 7x और 5x² जोड़ा नहीं जा सकता।

• यह नियम कुछ चरों पर भी लागू होता है। उदाहरण के लिए, 2xy² -3xy. द्वारा संक्षेप किया जा सकता है², लेकिन -3x. द्वारा योग नहीं किया जा सकता है²y या -3y².
• समीकरण देखें x² + 3x + 6 - 8x। इस समीकरण में, हम 3x और -8x जोड़ सकते हैं क्योंकि उनके पास एक ही चर और घातांक है। सरल समीकरण बन जाता है x² - 5x + 6।

चरण 2. गुणनखंडों को विभाजित या काटकर भिन्नात्मक संख्याओं को सरल कीजिए।

अंश जिनके अंश और हर में केवल संख्याएँ (और कोई चर नहीं) हैं, उन्हें कई तरीकों से सरल बनाया जा सकता है। पहला, और शायद सबसे आसान, भिन्न को एक विभाजन समस्या के रूप में सोचना और हर को अंश से विभाजित करना है। साथ ही, अंश और हर में आने वाले किसी भी गुणन कारक को काट दिया जा सकता है क्योंकि दो कारकों को विभाजित करने पर संख्या 1 प्राप्त होती है।

उदाहरण के लिए, अंश 36/60 को देखें। यदि हमारे पास कैलकुलेटर है, तो हम उत्तर पाने के लिए इसे विभाजित कर सकते हैं 0, 6. हालांकि, अगर हमारे पास कैलकुलेटर नहीं है, तो भी हम उन्हीं कारकों को पार करके इसे सरल बना सकते हैं। ३६/६० की कल्पना करने का दूसरा तरीका है (६ × ६)/(६ × १०)। इस भिन्न को 6/6 × 6/10 के रूप में लिखा जा सकता है। 6/6 = 1, तो हमारा अंश वास्तव में 1 × 6/10 = 6/10 है। हालांकि, हमने अभी तक काम नहीं किया है - 6 और 10 दोनों का एक ही गुणनखंड है, जो 2 है। उपरोक्त विधि को दोहराने पर परिणाम बन जाता है। 3/5.

चरण 3. चर भिन्न पर, चर के सभी गुणनखंडों को काट दें।

भिन्न रूप में परिवर्तनीय समीकरणों को सरल बनाने का एक अनूठा तरीका है। सामान्य भिन्नों की तरह, चर भिन्न आपको उन कारकों को समाप्त करने की अनुमति देते हैं जो अंश और हर दोनों में समान हैं। हालाँकि, चर भिन्नों में, ये कारक वास्तविक चर की संख्याएँ और समीकरण हो सकते हैं।

• मान लीजिए समीकरण (3x.)² + 3x)/(-3x² + 15x) इस भिन्न को (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x) के रूप में लिखा जा सकता है, 3x अंश और हर दोनों में प्रकट होता है। इन कारकों को समीकरण से बाहर करने पर, परिणाम (x + 1)/(5 - x) बन जाता है। व्यंजक के समान (2x² + 4x + 6)/2, क्योंकि प्रत्येक भाग 2 से विभाज्य है, हम समीकरण को (2(x.) के रूप में लिख सकते हैं² + 2x + 3))/2 और फिर x. को सरल करें² + 2x + 3।
• ध्यान दें कि आप सभी अनुभागों को पार नहीं कर सकते हैं - आप केवल अंश और हर में दिखाई देने वाले गुणन कारकों को पार कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, व्यंजक (x(x + 2))/x में, x को अंश और हर दोनों में से काटकर निकाला जा सकता है, ताकि यह (x + 2)/1 = (x + 2) हो जाए। हालांकि, (x + 2)/x को 2/1 = 2 से पार नहीं किया जा सकता है।

चरण 4. कोष्ठक में दिए गए भाग को अचर से गुणा करें।

कोष्ठक में चर वाले भाग को एक स्थिरांक से गुणा करते समय, कभी-कभी कोष्ठक में प्रत्येक भाग को एक स्थिरांक से गुणा करने पर एक सरल समीकरण प्राप्त हो सकता है। यह उन स्थिरांकों पर लागू होता है जिनमें केवल संख्याएँ और स्थिरांक होते हैं जिनमें चर होते हैं।

• उदाहरण के लिए, समीकरण 3(x.)² + 8) को 3x. तक सरल बनाया जा सकता है² + 24, जबकि 3x(x² + 8) को 3x. तक सरल बनाया जा सकता है³ + 24x।
• ध्यान दें कि, कुछ मामलों में, जैसे चर भिन्न, कोष्ठक के चारों ओर स्थिरांक को पार किया जा सकता है, इसलिए उन्हें कोष्ठक में भाग से गुणा करने की आवश्यकता नहीं है। भिन्नों में (3(x.)² + 8))/3x, उदाहरण के लिए, गुणनखंड 3 अंश और हर दोनों में प्रकट होता है, इसलिए हम इसे पार कर सकते हैं और व्यंजक को (x) तक सरल बना सकते हैं² + 8) / एक्स। यह अभिव्यक्ति (3x.) की तुलना में काम करने में आसान और आसान है³ + 24x)/3x, जो कि गुणा करने पर हमें प्राप्त होने वाला परिणाम है।

चरण 5. गुणनखंड द्वारा सरल कीजिए।

फैक्टरिंग एक ऐसी तकनीक है जिसका उपयोग बहुपद सहित कुछ चर अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के लिए किया जा सकता है। फैक्टरिंग को ऊपर के चरण में कोष्ठक में भाग से गुणा करने के विपरीत के रूप में सोचें - कभी-कभी, एक अभिव्यक्ति को एकात्मक अभिव्यक्ति के बजाय दो भागों को एक दूसरे से गुणा करने के बारे में सोचा जा सकता है। यह विशेष रूप से सच है यदि एक समीकरण को फैक्टर करने से आप इसके किसी एक हिस्से को पार कर सकते हैं (जैसा कि अंशों में)। कुछ मामलों में (अक्सर द्विघात समीकरणों के साथ), फैक्टरिंग आपको समीकरण का हल खोजने की अनुमति भी दे सकता है।

• आइए हम फिर से व्यंजक x. मान लें² - 5x + 6. इस व्यंजक को (x - 3) (x - 2) में गुणनखंडित किया जा सकता है। तो, यदि x² - 5x + 6 किसी दिए गए समीकरण का अंश है, जहां हर में इन कारकों में से एक है, जैसा कि व्यंजक (x) में है² - 5x + 6)/(2(x - 2)), हम इसे गुणनखंड के रूप में लिखना चाह सकते हैं ताकि हम हर के साथ गुणनखंड को काट सकें। दूसरे शब्दों में, (x - 3)(x - 2)/(2(x - 2)) में, भाग (x - 2) को (x - 3)/2 से काटकर निकाला जा सकता है।

• जैसा कि ऊपर बताया गया है, एक और कारण जो आप अपने समीकरणों को कारक बनाना चाहते हैं, वह यह है कि फैक्टरिंग आपको कुछ समीकरणों के उत्तर दे सकता है, खासकर यदि वे बराबर 0 के रूप में लिखे गए हैं। उदाहरण के लिए, समीकरण x² - 5x + 6 = 0. फैक्टरिंग (x - 3)(x - 2) = 0 देता है। चूंकि किसी भी संख्या को शून्य से गुणा किया जाता है, शून्य के बराबर होता है, हम जानते हैं कि यदि कोष्ठक का कोई भाग शून्य के बराबर है, तो बाईं ओर के सभी समीकरण बराबर का चिह्न भी शून्य है। ताकि

  चरण 3। दास

  चरण 2। समीकरण के दो उत्तर हैं।