"समीकरणों की प्रणाली" में, आपको एक साथ दो या दो से अधिक समीकरणों को हल करने के लिए कहा जाता है। जब दो समीकरणों में दो अलग-अलग चर होते हैं, उदाहरण के लिए x और y, तो समाधान पहली बार में मुश्किल लग सकता है। सौभाग्य से, एक बार जब आप जान जाते हैं कि आपको क्या करना है, तो आप समस्या को हल करने के लिए अपने बीजगणितीय कौशल (और भिन्नों की गणना के विज्ञान) का उपयोग कर सकते हैं। यह भी सीखें कि यदि आप एक दृश्य शिक्षार्थी हैं, या शिक्षक द्वारा आवश्यक हैं तो इन दो समीकरणों को कैसे बनाएं। चित्र आपको विषय वस्तु की पहचान करने या आपके काम के परिणामों की जांच करने में मदद करेंगे। हालाँकि, यह विधि अन्य विधियों की तुलना में धीमी है, और समीकरणों की सभी प्रणालियों के लिए इसका उपयोग नहीं किया जा सकता है।
कदम
विधि 1 का 3: प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करना
चरण 1. चरों को समीकरण के विपरीत दिशा में ले जाएँ।
प्रतिस्थापन विधि किसी एक समीकरण में "x का मान ज्ञात करना" (या कोई अन्य चर) से शुरू होती है। उदाहरण के लिए, मान लें कि समस्या का समीकरण है 4x + 2y = 8 तथा 5x + 3y = 9. पहले समीकरण पर काम करके शुरू करें। दोनों पक्षों में 2y घटाकर समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें। इस प्रकार, आपको मिलता है 4x = 8 - 2y.
यह विधि अक्सर अंत में भिन्नों का उपयोग करती है। यदि आप भिन्नों को गिनना पसंद नहीं करते हैं, तो नीचे दी गई विलोपन विधि का प्रयास करें।
चरण 2. समीकरण के दोनों पक्षों को "x का मान ज्ञात करें" के लिए विभाजित करें।
एक बार जब पद x (या आप जिस भी चर का उपयोग कर रहे हों) समीकरण के एक तरफ अकेला हो, तो समीकरण के दोनों पक्षों को गुणांकों से विभाजित करें ताकि केवल चर बना रहे। उदाहरण के तौर पे:
- 4x = 8 - 2y
- (4x)/4 = (8/4) - (2y/4)
- एक्स = 2 - वाई
चरण 3. पहले समीकरण से दूसरे समीकरण में x मान डालें।
सुनिश्चित करें कि आपने इसे दूसरे समीकरण में प्लग किया है, इसके बजाय आपने अभी-अभी काम किया है। दूसरे समीकरण में चर x को प्रतिस्थापित (प्रतिस्थापित) कीजिए। इस प्रकार, दूसरे समीकरण में अब केवल एक चर है। उदाहरण के तौर पे:
- ज्ञात है एक्स = 2 - वाई.
- आपका दूसरा समीकरण है 5x + 3y = 9.
- पहले समीकरण से x मान के साथ दूसरे समीकरण में x चर को स्वैप करने के बाद, हमें "2 - y" मिलता है: 5(2 - y) + 3y = 9.
चरण 4. शेष चरों को हल करें।
अब, आपके समीकरण में केवल एक चर है। चर का मान ज्ञात करने के लिए साधारण बीजीय संक्रियाओं के साथ समीकरण की गणना करें। यदि दो चर एक दूसरे को रद्द करते हैं, तो सीधे अंतिम चरण पर जाएं। अन्यथा आपको किसी एक चर के लिए एक मान मिलेगा:
- 5(2 - y) + 3y = 9
- 10 - (5/2)y + 3y = 9
- 10 - (5/2)y + (6/2)y = 9 (यदि आप इस चरण को नहीं समझते हैं, तो भिन्नों को जोड़ना सीखें।)
- १० + y = ९
- वाई = -1
- वाई = -2
चरण 5. पहले समीकरण में x का सही मान ज्ञात करने के लिए प्राप्त उत्तर का उपयोग करें।
अभी रुकें नहीं क्योंकि आपकी गणना अभी तक नहीं हुई है। शेष चर के मान को खोजने के लिए आपको प्राप्त उत्तर को पहले समीकरण में प्लग करना होगा:
- ज्ञात है वाई = -2
- पहले समीकरण में समीकरणों में से एक है 4x + 2y = 8. (आप किसी एक का उपयोग कर सकते हैं।)
- y चर को -2 से बदलें: 4x + 2(-2) = 8.
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- एक्स = 3
चरण 6. जानें कि यदि दो चर एक-दूसरे को रद्द कर दें तो क्या करें।
जब तुम आए एक्स=3y+2 या दूसरे समीकरण के समान उत्तर, जिसका अर्थ है कि आप एक ऐसा समीकरण प्राप्त करने का प्रयास कर रहे हैं जिसमें केवल एक चर हो। कभी-कभी, आपको बस समीकरण मिल जाता है के बग़ैर चर। अपने काम को दोबारा जांचें, और सुनिश्चित करें कि आपने पहले समीकरण पर वापस जाने के बजाय समीकरण एक को समीकरण दो में डाल दिया है (पुन: व्यवस्थित)। जब आप सुनिश्चित हों कि आपने कुछ भी गलत नहीं किया है, तो निम्न में से कोई एक परिणाम लिखें:
- यदि समीकरण में कोई चर नहीं है और सत्य नहीं है (उदाहरण के लिए, 3 = 5), तो यह समस्या कोई जवाब नहीं है. (जब इसे रेखांकन किया जाता है, तो ये दो समीकरण समानांतर होते हैं और कभी मिलते नहीं हैं।)
- यदि समीकरण में कोई चर नहीं है और सही, (उदाहरण 3 = 3), जिसका अर्थ है कि प्रश्न में है असीमित उत्तर. समीकरण एक बिल्कुल समीकरण दो के समान है। (जब रेखांकन किया जाता है, तो ये दो समीकरण एक ही रेखा होते हैं।)
विधि २ का ३: उन्मूलन विधि का उपयोग करना
चरण 1. परस्पर अपवर्जी चर ज्ञात कीजिए।
कभी-कभी, समस्या में समीकरण पहले से ही होता है एक दूसरे को रद्द करें जब जोड़ा गया। उदाहरण के लिए, यदि आप समीकरण करते हैं 3x + 2y = 11 तथा 5x - 2y = 13, शब्द "+2y" और "-2y" एक दूसरे को रद्द कर देंगे और समीकरण से चर "y" को हटा देंगे। समस्या में समीकरण को देखें, और देखें कि क्या ऐसे चर हैं जो एक दूसरे को रद्द करते हैं, जैसा कि उदाहरण में है। यदि नहीं, तो अगले चरण पर जारी रखें।
चरण 2. समीकरण को एक से गुणा करें ताकि एक चर हटा दिया जाए।
(यदि चर पहले से ही एक दूसरे को रद्द कर देते हैं तो इस चरण को छोड़ दें।) यदि समीकरण में ऐसे चर नहीं हैं जो अपने आप रद्द हो जाते हैं, तो समीकरणों में से एक को बदल दें ताकि वे एक दूसरे को रद्द कर सकें। निम्नलिखित उदाहरणों पर एक नज़र डालें ताकि आप उन्हें आसानी से समझ सकें:
- समस्या में समीकरण हैं 3x - y = 3 तथा - x + 2y = 4.
- आइए पहले समीकरण को बदलें ताकि चर आप एक दूसरे को रद्द करो। (आप चर का उपयोग कर सकते हैं एक्स. प्राप्त अंतिम उत्तर वही होगा।)
- चर - आप पहले समीकरण में द्वारा समाप्त किया जाना चाहिए + 2y दूसरे समीकरण में। कैसे, गुणा करें - आप 2 के साथ
- समीकरण के दोनों पक्षों को निम्नानुसार 2 से गुणा करें: 2(3x - y)=2(3), इसलिए 6x - 2y = 6. अब, जनजाति - २ वर्ष के साथ एक दूसरे को रद्द कर देंगे +2वर्ष दूसरे समीकरण में।
चरण 3. दो समीकरणों को मिलाएं।
चाल दूसरे समीकरण के दाईं ओर पहले समीकरण के दाईं ओर जोड़ने के लिए है, और दूसरे समीकरण के बाईं ओर पहले समीकरण के बाईं ओर जोड़ें। यदि सही ढंग से किया जाता है, तो चरों में से एक एक दूसरे को रद्द कर देगा। आइए पिछले उदाहरण से गणना जारी रखने का प्रयास करें:
- आपके दो समीकरण हैं 6x - 2y = 6 तथा - x + 2y = 4.
- दो समीकरणों के बाएँ पक्षों को जोड़ें: 6x - 2y - x + 2y = ?
- दो समीकरणों के दाहिने पक्षों को जोड़ें: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
चरण 4. अंतिम चर मान प्राप्त करें।
अपने यौगिक समीकरण को सरल बनाएं, और अंतिम चर का मान प्राप्त करने के लिए मानक बीजगणित के साथ काम करें। यदि, सरलीकरण के बाद, समीकरण में कोई चर नहीं है, तो इस खंड के अंतिम चरण तक जारी रखें।
अन्यथा, आपको किसी एक वेरिएबल का मान मिलेगा। उदाहरण के तौर पे:
- ज्ञात है 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
- समूह चर एक्स तथा आप साथ में: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
- समीकरण को सरल कीजिए: 5x = 10
- x मान ज्ञात कीजिए: (5x)/5 = 10/5, प्राप्त करने के लिए एक्स = 2.
चरण 5. दूसरे चर का मान ज्ञात कीजिए।
आपको एक चर का मान मिल गया है, लेकिन दूसरे के बारे में क्या? शेष चर के मान को खोजने के लिए अपने उत्तर को समीकरणों में से एक में प्लग करें। उदाहरण के तौर पे:
- ज्ञात है एक्स = 2, और समस्या में समीकरणों में से एक है 3x - y = 3.
- x चर को 2 से बदलें: 3(2) - वाई = 3.
- समीकरण में y का मान ज्ञात कीजिए: 6 - वाई = 3
- 6 - y + y = 3 + y, इसलिए ६ = ३ + y
- 3 = वाई
चरण 6. जानें कि क्या करना है जब दो चर एक दूसरे को रद्द कर देते हैं।
कभी-कभी, दो समीकरणों के संयोजन से एक ऐसा समीकरण बन जाता है जिसका कोई मतलब नहीं होता है, या समस्या को हल करने में आपकी मदद नहीं करता है। अपने काम की समीक्षा करें, और यदि आप सुनिश्चित हैं कि आपने कुछ भी गलत नहीं किया है, तो निम्नलिखित दो उत्तरों में से एक लिखें:
- यदि संयुक्त समीकरण में कोई चर नहीं है और सत्य नहीं है (उदाहरण के लिए, 2 = 7), तो यह समस्या कोई जवाब नहीं है. यह उत्तर दोनों समीकरणों पर लागू होता है। (जब इसे रेखांकन किया जाता है, तो ये दो समीकरण समानांतर होते हैं और कभी मिलते नहीं हैं।)
- यदि संयुक्त समीकरण में कोई चर नहीं है और सही, (उदाहरण 0 = 0), जिसका अर्थ है कि प्रश्न में है असीमित उत्तर. ये दोनों समीकरण एक दूसरे के समान हैं। (जब रेखांकन किया जाता है, तो ये दो समीकरण एक ही रेखा होते हैं।)
विधि 3 का 3: समीकरणों का एक ग्राफ़ बनाएं
चरण 1. निर्देश दिए जाने पर ही इस विधि को करें।
जब तक आप कंप्यूटर या रेखांकन कैलकुलेटर का उपयोग नहीं कर रहे हैं, यह विधि केवल अनुमानित उत्तर प्रदान कर सकती है। आपके शिक्षक या पाठ्यपुस्तक आपको समीकरणों को रेखाओं के रूप में खींचने की आदत डालने के लिए इस पद्धति का उपयोग करने के लिए कह सकते हैं। इस विधि का उपयोग उपरोक्त विधियों में से किसी एक के उत्तर की जांच करने के लिए भी किया जा सकता है।
मुख्य विचार यह है कि आपको दो समीकरणों का वर्णन करने और उनके प्रतिच्छेदन बिंदु को खोजने की आवश्यकता है। चौराहे के इस बिंदु पर x और y का मान समस्या का उत्तर है।
चरण 2. दोनों समीकरणों के y-मान ज्ञात कीजिए।
दो समीकरणों को संयोजित न करें, और प्रत्येक समीकरण को इस प्रकार बदलें कि प्रारूप "y = _x + _" हो। उदाहरण के तौर पे:
- आपका पहला समीकरण है 2x + y = 5. में बदलो वाई = -2x + 5.
- आपका पहला समीकरण है - 3x + 6y = 0. में बदलो 6y = 3x + 0, और सरल करें वाई = एक्स + 0.
- यदि आपके दो समीकरण बिल्कुल समान हैं, संपूर्ण रेखा दो समीकरणों का "प्रतिच्छेदन" है। लिखना असीमित उत्तर एक उत्तर के रूप में।
चरण 3. निर्देशांक अक्षों को खींचिए।
ग्राफ पेपर पर एक लंबवत "y-अक्ष" रेखा और एक क्षैतिज "x-अक्ष" रेखा खींचें। उस बिंदु से शुरू करते हुए जहां दो अक्ष प्रतिच्छेद करते हैं (0, 0), संख्या लेबल 1, 2, 3, 4 लिखें, और इसी तरह क्रमिक रूप से y-अक्ष पर इंगित करें, और x-अक्ष पर दाईं ओर इंगित करें. उसके बाद, संख्या लेबल -1, -2, और इसी तरह क्रमिक रूप से y-अक्ष पर नीचे की ओर इंगित करते हुए, और x-अक्ष पर बाईं ओर इंगित करते हुए लिखें।
- यदि आपके पास ग्राफ़ पेपर नहीं है, तो यह सुनिश्चित करने के लिए कि प्रत्येक संख्या के बीच की दूरी बिल्कुल समान है, एक रूलर का उपयोग करें।
- यदि आप बड़ी संख्या या दशमलव का उपयोग कर रहे हैं, तो हम आपके ग्राफ़ को स्केल करने की अनुशंसा करते हैं (उदा. 1, 2, 3 के बजाय 10, 20, 30 या 0, 1, 0, 2, 0, 3)।
चरण 4. प्रत्येक समीकरण के लिए y-प्रतिच्छेदन बिंदु खींचिए।
यदि समीकरण रूप में है वाई = _x + _, आप उस बिंदु को बनाकर एक ग्राफ बनाना शुरू कर सकते हैं जहां समीकरण रेखा y-अक्ष के साथ प्रतिच्छेद करती है। y का मान हमेशा समीकरण में अंतिम संख्या के समान होता है।
-
पिछले उदाहरण को जारी रखते हुए, पहली पंक्ति (वाई = -2x + 5) y-अक्ष को पर काटती है
चरण 5.. दूसरी पंक्ति (वाई = एक्स + 0) y-अक्ष को पर काटती है 0. (इन बिंदुओं को ग्राफ पर (0, 5) और (0, 0) के रूप में लिखा गया है।)
- यदि संभव हो तो पहली और दूसरी पंक्तियाँ अलग-अलग रंग के पेन या पेंसिल से खींचे।
चरण 5. लाइन जारी रखने के लिए ढलान का उपयोग करें।
समीकरण प्रारूप में वाई = _x + _, x के सामने की संख्या रेखा के "ढलान स्तर" को इंगित करती है। हर बार x को एक से बढ़ा दिया जाता है, y का मान ढलान के स्तरों की संख्या से बढ़ जाएगा। इस जानकारी का उपयोग ग्राफ़ पर प्रत्येक पंक्ति के लिए बिंदुओं को खोजने के लिए करें जब x = 1। (आप प्रत्येक समीकरण में x = 1 भी दर्ज कर सकते हैं और y का मान ज्ञात कर सकते हैं।)
- पिछले उदाहरण को जारी रखते हुए, लाइन वाई = -2x + 5 की ढलान है - 2. बिंदु x = 1 पर, रेखा चलती है नीचे बिंदु x = 0 से 2 से। (0, 5) को (1, 3) से जोड़ने वाली एक रेखा खींचिए।
- रेखा वाई = एक्स + 0 की ढलान है ½. x = 1 पर, रेखा चलती है सवारी बिंदु x = 0 से। (0, 0) को (1,) से जोड़ने वाली एक रेखा खींचिए।
- यदि दो रेखाओं का ढाल समान हो, दोनों कभी प्रतिच्छेद नहीं करेंगे। इस प्रकार, समीकरणों की इस प्रणाली का कोई उत्तर नहीं है। लिखना कोई जवाब नहीं एक उत्तर के रूप में।
चरण 6. लाइनों को तब तक जोड़ना जारी रखें जब तक कि दो रेखाएँ प्रतिच्छेद न कर दें।
काम बंद करो और अपने ग्राफ को देखो। यदि दो रेखाएँ एक दूसरे को काटती हैं, तो अगले चरण पर जाएँ। यदि नहीं, तो अपनी दो पंक्तियों की स्थिति के आधार पर निर्णय लें:
- यदि दो रेखाएँ एक-दूसरे के पास पहुँचती हैं, तो अपनी धारियों के बिंदुओं को जोड़ना जारी रखें।
- यदि दो रेखाएं एक-दूसरे से दूर जाती हैं, तो वापस जाएं और बिंदुओं को विपरीत दिशाओं में कनेक्ट करें, x = 1 से शुरू करें।
- यदि दो रेखाएँ बहुत दूर हैं, तो कूदने का प्रयास करें और बिंदुओं को दूर से जोड़ने का प्रयास करें, उदाहरण के लिए x = 10।
चरण 7. चौराहे के बिंदु पर उत्तर खोजें।
दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करने के बाद, उस बिंदु पर x और y का मान आपकी समस्या का उत्तर है। यदि आप भाग्यशाली हैं, तो उत्तर एक पूर्ण संख्या होगा। उदाहरण के लिए, हमारे उदाहरण में दो रेखाएँ बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं (2, 1) तो उत्तर है एक्स = 2 और वाई = 1. समीकरणों की कुछ प्रणालियों में, वह बिंदु जहाँ रेखा दो पूर्ण संख्याओं के बीच प्रतिच्छेद करती है, और यदि ग्राफ़ बहुत सटीक नहीं है, तो यह इंगित करना मुश्किल है कि x और y मान प्रतिच्छेदन के बिंदु पर कहाँ हैं। यदि अनुमति है, तो आप उत्तर के रूप में "x 1 और 2 के बीच है" लिख सकते हैं, या उत्तर खोजने के लिए प्रतिस्थापन या उन्मूलन विधि का उपयोग कर सकते हैं।
टिप्स
- आप उत्तरों को मूल समीकरण में जोड़कर अपने काम की जांच कर सकते हैं। यदि समीकरण सत्य हो जाता है (जैसे 3 = 3), तो इसका अर्थ है कि आपका उत्तर सही है।
- उन्मूलन विधि का उपयोग करते समय, कभी-कभी आपको समीकरण को एक ऋणात्मक संख्या से गुणा करना पड़ता है ताकि चर एक दूसरे को रद्द कर सकें।
