कर्ण की लंबाई ज्ञात करने के 3 तरीके

2024 लेखक: Jason Gerald | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-15 08:15

सभी समकोण त्रिभुजों में एक समकोण (90 डिग्री) होता है, और कर्ण उस कोण के विपरीत पक्ष होता है। कर्ण त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा है, और इसे कुछ भिन्न तरीकों से खोजना भी बहुत आसान है। यह लेख आपको सिखाएगा कि यदि आप त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं की लंबाई जानते हैं तो पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके कर्ण की लंबाई कैसे ज्ञात करें। इसके बाद, यह लेख आपको कुछ विशेष समकोण त्रिभुजों के कर्ण की पहचान करना सिखाएगा जो परीक्षाओं में बार-बार आते हैं। अंत में, यह लेख आपको सिखाएगा कि ज्या के नियम का उपयोग करके कर्ण की लंबाई कैसे ज्ञात की जाए यदि आप केवल एक पक्ष की लंबाई और समकोण के अलावा किसी अन्य कोण की माप जानते हैं।

कदम

विधि 1 में से 3: पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करना

चरण 1. पाइथागोरस प्रमेय को जानें।

पाइथागोरस प्रमेय एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के बीच संबंध का वर्णन करता है। यह प्रमेय बताता है कि किसी भी समकोण त्रिभुज के लिए जिसकी भुजाएँ a और b हैं, और एक कर्ण c के साथ है, ए² + बी² = सी².

चरण 2. सुनिश्चित करें कि आपका त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

पाइथागोरस प्रमेय केवल समकोण त्रिभुजों पर लागू होता है, और परिभाषा के अनुसार, केवल समकोण त्रिभुज में कर्ण होता है। यदि आपके त्रिभुज का एक कोण ठीक 90 डिग्री है, तो यह एक समकोण त्रिभुज है और आप आगे बढ़ सकते हैं।

पाठ्यपुस्तकों और परीक्षाओं में समकोण को अक्सर कोने के कोने में एक छोटे वर्ग द्वारा दर्शाया जाता है। इस विशेष चिन्ह का अर्थ है "90 डिग्री"।

चरण 3. अपने त्रिभुज की भुजाओं में चर a, b और c निर्दिष्ट करें।

चर "सी" हमेशा कर्ण, या सबसे लंबे पक्ष को सौंपा जाएगा। "ए" होने के लिए अन्य पक्षों में से एक चुनें, और दूसरे पक्ष को "बी" कहें (इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कौन सा पक्ष ए या बी है; गणना वही रहेगी)। फिर, निम्न उदाहरण के अनुसार, a और b की लंबाई को सूत्र में प्लग करें:

यदि आपके त्रिभुज की भुजाएँ ३ और ४ की हैं, और आपने भुजाओं को अक्षर इस प्रकार निर्दिष्ट किए हैं कि a = ३ और b = ४, तो आप अपना समीकरण इस प्रकार लिखेंगे: 3² + 4² = सी².

चरण 4. a और b का वर्ग ज्ञात कीजिए।

किसी संख्या का वर्ग ज्ञात करने के लिए, आप केवल उस संख्या को स्वयं से गुणा करें, ताकि ए² = एक एक्स ए. ए और बी के वर्ग खोजें, और उन्हें अपने सूत्र में प्लग करें।

अगर ए = 3, ए² = ३ x ३, या ९. यदि b = ४, b² = 4 x 4, या 16.
जब आप उन मानों को अपने समीकरण में जोड़ते हैं, तो आपका समीकरण अब इस तरह दिखना चाहिए: 9 + 16 = सी².

चरण 5. a. के मान जोड़ें² तथा बी².

योग को अपने समीकरण में शामिल करें, और यह आपको c. का मान देगा². केवल एक कदम बचा है, और आप कर्ण को हल करेंगे!

हमारे उदाहरण में, 9 + 16 = 25, तो आप लिखेंगे 25 = सी².

चरण 6. c. का वर्गमूल ज्ञात कीजिए².

c. का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए अपने कैलकुलेटर (या मेमोरी या अपनी गुणन तालिका) पर वर्गमूल फ़ंक्शन का उपयोग करें². उत्तर आपके कर्ण की लंबाई है!

हमारे उदाहरण में, सी² = 25. 25 का वर्गमूल 5 है (५ x ५ = २५, इसलिए रूट(25) = 5) का मतलब है, सी = 5, हमारे कर्ण की लंबाई!

विधि 2 का 3: एक विशेष समकोण त्रिभुज का कर्ण ज्ञात करना

चरण 1. पायथागॉरियन ट्रिपल के साथ त्रिकोण को पहचानना सीखें।

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार पायथागॉरियन ट्रिपल की पार्श्व लंबाई पूर्णांक हैं। ये विशेष त्रिकोण अक्सर ज्यामिति पाठ्यपुस्तकों और संयुक्त राष्ट्र जैसे मानकीकृत परीक्षाओं में दिखाई देते हैं। यदि आपको विशेष रूप से पहले 2 पाइथागोरस त्रिगुण याद हैं, तो आप इन परीक्षणों पर बहुत समय बचा सकते हैं क्योंकि आप केवल भुजाओं की लंबाई देखकर ही इनमें से किसी एक त्रिभुज के कर्ण का पता लगा लेंगे!

पहला पायथागॉरियन ट्रिपल था 3-4-5 (3² + 4² = 5², 9 + 16 = 25)। जब आप लंबाई 3 और 4 के पैरों के साथ एक समकोण त्रिभुज देखते हैं, तो आप तुरंत विश्वास करेंगे कि इसका कर्ण 5 है, बिना कोई गणना किए।
पायथागॉरियन ट्रिपल अनुपात सही है, भले ही पक्षों को किसी अन्य संख्या से गुणा किया जाए। उदाहरण के लिए, पैर की लंबाई वाला एक समकोण त्रिभुज

चरण 6. दास

चरण 8. एक कर्ण होगा

चरण 10. (6² + 8² = 10², ३६ + ६४ = १००)। उसके लिए भी यही 9-12-15, और भी 1, 5-2-2, 5. गणना का प्रयास करें और अपने लिए देखें!
परीक्षा में बार-बार आने वाला दूसरा पाइथागोरस ट्रिपल है 5-12-13 (5² + 12² = 13², 25 + 144 = 169)। गुणकों पर भी ध्यान दें जैसे 10-24-26 तथा 2, 5-6-6, 5.

चरण 2. एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 45-45-90 याद रखें।

एक समकोण त्रिभुज 45-45-90 में 45, 45 और 90 डिग्री के कोण होते हैं, और इसे समद्विबाहु समकोण त्रिभुज भी कहा जाता है। यह त्रिभुज मानकीकृत परीक्षाओं में अक्सर दिखाई देता है, और यह हल करने के लिए एक बहुत ही आसान त्रिभुज है। इस त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात है 1:1:रूट(2), जिसका अर्थ है कि पैरों की लंबाई समान है, और कर्ण की लंबाई केवल पैरों की लंबाई दो के वर्गमूल के गुणा है।

इस त्रिभुज के एक पैर की लंबाई के आधार पर कर्ण की गणना करने के लिए, बस पैर की लंबाई को Sqrt(2) से गुणा करें।
इन तुलनाओं को जानना सहायक होता है, खासकर जब आपके परीक्षा या गृहकार्य के प्रश्न पूर्णांक के बजाय चर के रूप में पक्ष की लंबाई देते हैं।

चरण 3. एक 30-60-90 समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात का अध्ययन करें।

इन त्रिभुजों में कोणों की माप 30, 60 और 90 डिग्री होती है और यह तब होता है जब आप किसी समबाहु त्रिभुज को आधा काटते हैं। 30-60-90 समकोण त्रिभुज की भुजाओं का हमेशा अनुपात होता है 1:रूट(3):2, या x:रूट(3)x:2x. यदि आपको एक समकोण त्रिभुज के एक पैर की लंबाई 30-60-90 दी जाए और कर्ण ज्ञात करने के लिए कहा जाए, तो यह समस्या करना बहुत आसान होगा:

यदि आपको सबसे छोटे पैर की लंबाई (30 डिग्री के कोण के विपरीत) दी जाती है, तो कर्ण की लंबाई खोजने के लिए पैर की लंबाई को 2 से गुणा करें। उदाहरण के लिए, यदि सबसे छोटे पैर की लंबाई है

चरण 4।, आप जानते हैं कि कर्ण की लंबाई अवश्य होनी चाहिए

चरण 8..
यदि आपको लंबे पैर की लंबाई (60 डिग्री के कोण के विपरीत) दी गई है, तो उस लंबाई को से गुणा करें 2/रूट(3) कर्ण की लंबाई ज्ञात करने के लिए। उदाहरण के लिए, यदि लंबे पैर की लंबाई है

चरण 4।, आप जानते हैं कि निश्चित कर्ण की लंबाई है 4, 62.

विधि 3 का 3: ज्या के नियम का उपयोग करके कर्ण ज्ञात करना

चरण 1. "साइन" का अर्थ समझें।

शब्द "साइन", "कोसाइन", और "स्पर्शरेखा" एक समकोण त्रिभुज के कोणों और/या भुजाओं के बीच विभिन्न अनुपातों का उल्लेख करते हैं। एक समकोण त्रिभुज में, ज्या एक कोण के रूप में परिभाषित किया गया है कोण के विपरीत पक्ष की लंबाई द्वारा विभाजित त्रिभुज कर्ण. समीकरणों और कैलकुलेटर में साइन का संक्षिप्त नाम है पाप.

चरण 2. ज्या की गणना करना सीखें।

यहां तक कि बुनियादी वैज्ञानिक कैलकुलेटर का भी एक साइन फंक्शन होता है। उस बटन की तलाश करें जो कहता है पाप. किसी कोण की ज्या ज्ञात करने के लिए, आप आमतौर पर कुंजी दबाते हैं पाप और फिर कोण माप को डिग्री में दर्ज करें। हालांकि, कुछ कैलकुलेटर में, आपको पहले कोण माप दर्ज करना होगा और फिर बटन दबाएं पाप. आपको अपने कैलकुलेटर के साथ प्रयोग करना होगा या किस विधि का उपयोग करना है, यह जानने के लिए मैनुअल की जांच करनी होगी।

80 डिग्री के कोण की ज्या ज्ञात करने के लिए, आपको दर्ज करना होगा पाप 80 उसके बाद बराबर चिह्न या Enter, या 80 पाप. (उत्तर -0, 9939 है।)
आप वेब खोज में "साइन कैलकुलेटर" भी टाइप कर सकते हैं, और कुछ उपयोग में आसान कैलकुलेटर की तलाश कर सकते हैं, जो किसी भी अनुमान को रास्ते से हटा देगा।

चरण 3. ज्या का नियम जानें।

ज्या का नियम त्रिभुजों को हल करने के लिए एक उपयोगी उपकरण है। विशेष रूप से, यह कानून आपको एक समकोण त्रिभुज का कर्ण खोजने में मदद कर सकता है यदि आप एक भुजा की लंबाई और उस समकोण के अलावा एक कोण का माप जानते हैं। भुजाओं वाले किसी त्रिभुज के लिए ए, बी, तथा सी, और कोण ए, बी, तथा सी, साइन ऑफ़ लॉ में कहा गया है कि ए / पाप ए = बी / पाप बी = सी / पाप सी.

ज्या का नियम वास्तव में किसी भी त्रिभुज को हल करने के लिए उपयोग किया जा सकता है, लेकिन केवल समकोण त्रिभुज में कर्ण होता है।

चरण 4. अपने त्रिभुज की भुजाओं में चर a, b और c निर्दिष्ट करें।

कर्ण (सबसे लंबी भुजा) "c" होनी चाहिए। सुविधा के लिए, ज्ञात लंबाई के पक्ष के लिए "ए" लेबल करें, और दूसरी तरफ "बी" लेबल करें। कर्ण के विपरीत समकोण "C" है। कोण विपरीत पक्ष "ए" कोण "ए" है, और विपरीत कोण "बी" "बी" है।

चरण 5. तीसरे कोण के माप की गणना करें।

चूँकि यह एक समकोण है, हम पहले से ही जानते हैं कि सी = 90 डिग्री, और आप माप भी जानते हैं ए या बी. चूंकि त्रिभुज की आंतरिक डिग्री का माप हमेशा 180 डिग्री के बराबर होता है, आप सूत्र का उपयोग करके तीनों के कोणों के माप की गणना आसानी से कर सकते हैं: 180 - (90 + ए) = बी. आप समीकरण को में भी उलट सकते हैं १८० - (९० + बी) = ए.

उदाहरण के लिए, यदि आप जानते हैं कि ए = 40 डिग्री, बी = १८० - (९० + ४०). इसे सरल करें बी = 180 - 130, और आप जल्दी से यह निर्धारित कर सकते हैं कि बी = 50 डिग्री.

चरण 6. अपने त्रिभुज की जाँच करें।

इस चरण में, आप पहले से ही तीनों कोणों की माप और भुजा a की लंबाई जानते हैं। अब इस जानकारी को अन्य दो पक्षों की लंबाई निर्धारित करने के लिए साइन समीकरणों के नियम में शामिल करने का समय आ गया है।

अपना उदाहरण जारी रखने के लिए, मान लें कि भुजा की लंबाई a = 10 है। कोण C = 90 डिग्री, कोण A = 40 डिग्री और कोण B = 50 डिग्री।

चरण 7. ज्या का नियम अपने त्रिभुज पर लागू करें।

कर्ण c की लंबाई ज्ञात करने के लिए हमें बस अपने नंबरों को प्लग इन करना होगा और निम्नलिखित समीकरण को हल करना होगा: भुजा की लंबाई a / sin A = भुजा की लंबाई c / sin C. यह समीकरण थोड़ा डरावना लग सकता है, लेकिन 90 डिग्री की ज्या हमेशा समान होती है, और हमेशा 1 के बराबर होती है! इस प्रकार, हमारे समीकरण को सरल बनाया जा सकता है: ए / पाप ए = सी / 1, या केवल ए / पाप ए = सी.

चरण 8. भुजा की लंबाई को विभाजित करें a कोण की ज्या के साथ A कर्ण की लंबाई ज्ञात करने के लिए!

आप इसे दो अलग-अलग चरणों में पा सकते हैं, पहले पाप ए की गणना करके और परिणाम लिखकर, फिर ए से विभाजित करके। या आप एक ही समय में कैलकुलेटर में सब कुछ दर्ज कर सकते हैं। यदि आप कैलकुलेटर का उपयोग कर रहे हैं, तो विभाजन चिह्न के बाद कोष्ठक लगाना याद रखें। उदाहरण के लिए, दर्ज करें १० / (पाप ४०) या १०/(४० पाप), आपके कैलकुलेटर पर निर्भर करता है।