दूरी की गणना कैसे करें: 8 कदम (चित्रों के साथ)

2024 लेखक: Jason Gerald | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-15 08:15

दूरी, जिसे अक्सर चर "s" दिया जाता है, अंतरिक्ष का एक माप है जो दो बिंदुओं के बीच एक सीधी रेखा है। दूरी दो अचल बिंदुओं के बीच की जगह को संदर्भित कर सकती है (उदाहरण के लिए, किसी व्यक्ति की ऊंचाई पैरों के नीचे से सिर के शीर्ष तक की दूरी है) या यह गति में किसी वस्तु की वर्तमान स्थिति के बीच की जगह को संदर्भित कर सकती है और प्रारंभिक स्थान जहां वस्तु चलना शुरू हुई। अधिकांश दूरी की समस्याओं को समीकरण द्वारा हल किया जा सकता है एस = वी × टी, जहां s दूरी है, v औसत गति है, और t समय है, या उपयोग कर रहा है एस = ((एक्स₂ - एक्स₁)² + (y₂ - आप₁)²), जहां (एक्स₁, आप₁) और (एक्स₂, आप₂) दो बिंदुओं के x और y निर्देशांक हैं।

कदम

विधि 1 में से 2: औसत गति और समय के साथ दूरी की गणना

चरण 1. औसत गति और समय मान ज्ञात कीजिए।

एक चलती हुई वस्तु द्वारा तय की गई दूरी की गणना करने का प्रयास करते समय, इस गणना के लिए महत्वपूर्ण जानकारी के दो टुकड़े हैं: स्पीड (या वेग) और समय कि चलती वस्तु ने यात्रा की है। इस जानकारी से, सूत्र s = v × t का उपयोग करके वस्तु द्वारा तय की गई दूरी की गणना करना संभव है।

दूरी सूत्र का उपयोग करने की प्रक्रिया को बेहतर ढंग से समझने के लिए, आइए इस खंड में एक उदाहरण समस्या को हल करें। मान लीजिए कि हम 120 मील प्रति घंटे (लगभग 193 किमी प्रति घंटे) की रफ्तार से एक सड़क पर यात्रा कर रहे हैं और हम जानना चाहते हैं कि हम आधे घंटे में कितनी दूरी तय करेंगे। उपयोग 120 मील प्रति घंटा औसत वेग के मान के रूप में और 0.5 घंटे समय के मूल्य के रूप में, हम इस समस्या को अगले चरण में हल करेंगे।

चरण 2. औसत गति को समय से गुणा करें।

एक चलती हुई वस्तु की औसत गति और उसके द्वारा तय किए गए समय को जानने के बाद, तय की गई दूरी की गणना करना अपेक्षाकृत आसान है। उत्तर खोजने के लिए बस दो मानों को गुणा करें।

हालांकि, ध्यान दें कि यदि औसत गति मान में प्रयुक्त समय की इकाई समय मान में प्रयुक्त समय से भिन्न है, तो आपको एक को मिलान के लिए बदलना होगा। उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास किमी प्रति घंटे में मापा गया औसत गति मान और मिनटों में मापा गया समय मान था, तो आपको इसे घंटों में बदलने के लिए समय मान को 60 से विभाजित करना होगा।
आइए हमारी उदाहरण समस्या को समाप्त करें। १२० मील/घंटा × ०.५ घंटे = 60 मील. ध्यान दें कि समय मान (घंटे) में इकाइयाँ औसत गति (घंटे) के हर को छोड़ देती हैं, केवल दूरी (मील) की इकाइयाँ छोड़ती हैं।

चरण 3. दूसरे चर की गणना करने के लिए समीकरण बदलें।

मूल दूरी समीकरण (s = v × t) की सरलता दूरी के अलावा किसी अन्य चर के मान को खोजने के लिए समीकरण का उपयोग करना आसान बनाती है। बीजगणित के मूल नियमों के अनुसार आप जिस चर को खोजना चाहते हैं, उसे अलग करें, फिर तीसरे चर का मान ज्ञात करने के लिए अन्य दो चरों के मान दर्ज करें। दूसरे शब्दों में, वस्तु के औसत वेग की गणना करने के लिए, समीकरण का उपयोग करें वी = एस/टी और वस्तु द्वारा व्यतीत समय की गणना करने के लिए, समीकरण का उपयोग करें टी = एस/वी.

उदाहरण के लिए, मान लें कि हम जानते हैं कि एक कार ५० मिनट में ६० मील की दूरी तय करती है, लेकिन हमारे पास औसत वेग का कोई मूल्य नहीं है क्योंकि वस्तु चल रही है। इस मामले में, हम v = d/t प्राप्त करने के लिए मूल दूरी समीकरण में चर v को अलग कर सकते हैं, फिर उत्तर 1.2 मील/मिनट प्राप्त करने के लिए केवल 60 मील/50 मिनट विभाजित कर सकते हैं।
ध्यान दें कि उदाहरण में, गति के उत्तर में एक असामान्य इकाई (मील/मिनट) है। अधिक सामान्य मील/घंटा में उत्तर प्राप्त करने के लिए, परिणाम प्राप्त करने के लिए 60 मिनट/घंटा से गुणा करें 72 मील/घंटा.

चरण 4. ध्यान दें कि दूरी सूत्र में चर "v" औसत वेग को दर्शाता है।

यह समझना महत्वपूर्ण है कि मूल दूरी सूत्र किसी वस्तु की गति का सरलीकृत दृश्य प्रस्तुत करता है। दूरी सूत्र मानता है कि गति में एक वस्तु का निरंतर वेग होता है - दूसरे शब्दों में, यह मानता है कि गति में एक वस्तु का एक एकल, अपरिवर्तनीय वेग होता है। अमूर्त गणित की समस्याओं के लिए, जैसे कि आप एक अकादमिक सेटिंग में सामना कर सकते हैं, कभी-कभी इस धारणा का उपयोग करके किसी वस्तु की गति को मॉडल करना संभव होता है। हालांकि, वास्तविक जीवन में, ये उदाहरण अक्सर चलती वस्तुओं की गति को सटीक रूप से प्रतिबिंबित नहीं करते हैं, जो वास्तव में समय के साथ तेज, धीमा, रुक और उल्टा हो सकता है।

उदाहरण के लिए, उपरोक्त उदाहरण समस्या में, हमने निष्कर्ष निकाला कि ५० मिनट में ६० मील की दूरी तय करने के लिए, हमें ७२ मील प्रति घंटे की गति से यात्रा करनी होगी। हालाँकि, यह तभी सच है जब पूरी यात्रा के दौरान एक ही गति से यात्रा की जा रही हो। उदाहरण के लिए, आधी यात्रा के लिए 80 मील/घंटा और शेष आधे के लिए 64 मील/घंटा की यात्रा करके, हम अभी भी 50 मिनट में 60 मील की दूरी तय करेंगे - 72 मील/घंटा = 60 मील/50 मिनट = ?????
वास्तविक परिस्थितियों में किसी वस्तु के वेग को परिभाषित करने के लिए व्युत्पन्न का उपयोग करने वाले कैलकुलस-आधारित समाधान अक्सर दूरी के सूत्रों की तुलना में बेहतर विकल्प होते हैं क्योंकि वेग में परिवर्तन संभव है।

विधि २ का २: दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करना

चरण 1. दो बिंदुओं के दो स्थानिक निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

क्या होगा यदि, एक चलती हुई वस्तु द्वारा तय की गई दूरी की गणना करने के बजाय, आपको दो अचल वस्तुओं के बीच की दूरी की गणना करने की आवश्यकता है? ऐसे में ऊपर वर्णित वेग-आधारित दूरी सूत्र काम नहीं करेगा। सौभाग्य से, दो बिंदुओं के बीच सीधी रेखा की दूरी की आसानी से गणना करने के लिए विभिन्न दूरी के सूत्रों का उपयोग किया जा सकता है। हालाँकि, इस सूत्र का उपयोग करने के लिए, आपको दो बिंदुओं के निर्देशांक जानने होंगे। यदि एक-आयामी दूरियों को संभालना (जैसा कि एक संख्या रेखा पर है), निर्देशांक में दो संख्याएँ होंगी, x₁ और x₂. यदि आप दो आयामों में दूरियों को संभाल रहे हैं, तो आपको दो मानों (x, y), (x.) की आवश्यकता होगी₁, आप₁) और (एक्स₂, आप₂) अंत में, तीन आयामों के लिए, आपको मान (x.) की आवश्यकता होगी₁, आप₁, ज़ू₁) और (एक्स₂, आप₂, ज़ू₂).

चरण 2. दो बिंदुओं के समन्वय मानों को घटाकर एक-आयामी दूरी की गणना करें।

दो बिंदुओं के बीच एक-आयामी दूरी की गणना करना जब आप पहले से ही जानते हैं कि प्रत्येक बिंदु का मूल्य आसान है। बस सूत्र का प्रयोग करें एस = |x₂ - एक्स₁|. इस सूत्र में, आप x. घटाते हैं₁ x. से₂, फिर x. के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए अपने उत्तर का निरपेक्ष मान लें₁ और x₂. आम तौर पर, जब दो बिंदु एक रेखा या संख्या अक्ष पर हों, तो आप एक-आयामी दूरी सूत्र का उपयोग करना चाहेंगे।

ध्यान दें कि यह सूत्र निरपेक्ष मानों का उपयोग करता है (प्रतीक " | |")। निरपेक्ष मान का अर्थ केवल यह है कि प्रतीक के अंदर का मान ऋणात्मक होने पर धनात्मक हो जाता है।
उदाहरण के लिए, मान लें कि हम सड़क के किनारे बिल्कुल सीधे राजमार्ग पर रुकते हैं। यदि हमारे सामने 5 मील की दूरी पर एक शहर है और हमारे पीछे एक और शहर 1 मील पीछे है, तो दोनों शहर कितनी दूर हैं? अगर हम शहर 1 को x. के रूप में सेट करते हैं₁ = 5 और शहर 2 x. के रूप में₁ = -1, हम निम्नलिखित तरीके से दो शहरों के बीच की दूरी की गणना कर सकते हैं:
- एस = |x₂ - एक्स₁|
- = |-1 - 5|
- = |-6| = 6 मील.

चरण 3. पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके द्वि-आयामी दूरी की गणना करें।

द्वि-आयामी अंतरिक्ष में दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करना एक-आयामी की तुलना में अधिक जटिल है, लेकिन मुश्किल नहीं है। बस सूत्र का प्रयोग करें एस = ((एक्स₂ - एक्स₁)² + (y₂ - आप₁)²). इस सूत्र में, दो x-निर्देशांक घटाएँ, वर्गमूल की गणना करें, दो y-निर्देशांक घटाएँ, वर्गमूल की गणना करें, फिर दोनों परिणामों को एक साथ जोड़ें और दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए वर्गमूल की गणना करें। यह सूत्र द्वि-आयामी तल पर लागू होता है - उदाहरण के लिए, नियमित x/y ग्राफ़ पर।

द्वि-आयामी दूरी सूत्र पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करता है, जिसमें कहा गया है कि दाईं ओर त्रिभुज के कर्ण की लंबाई अन्य दो पक्षों के वर्ग के वर्गमूल के बराबर है।
उदाहरण के लिए, मान लें कि हमारे पास x-y तल में दो बिंदु हैं: (3, -10) और (11, 7), जो क्रमशः वृत्त के केंद्र और वृत्त पर एक बिंदु का प्रतिनिधित्व करते हैं। दो बिंदुओं के बीच सीधी रेखा की दूरी ज्ञात करने के लिए, हम इसकी गणना निम्न प्रकार से कर सकते हैं:
एस = ((एक्स₂ - एक्स₁)² + (y₂ - आप₁)²)
एस = ((11 - 3)² + (7 - -10)²)
एस = (64 + 289)
एस = (353) = 18, 79

चरण 4. द्वि-आयामी दूरी सूत्र को बदलकर त्रि-आयामी दूरी की गणना करें।

तीन आयामों में, बिंदुओं में x और y निर्देशांक के अलावा z निर्देशांक होते हैं। त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करने के लिए, उपयोग करें एस = ((एक्स₂ - एक्स₁)² + (y₂ - आप₁)² + (जेड₂ - ज़ू₁)²). यह ऊपर वर्णित द्वि-आयामी दूरी सूत्र का एक संशोधित रूप है जिसमें z-निर्देशांक शामिल है। दो z-निर्देशांकों को घटाना, वर्गमूल की गणना करना और शेष सूत्र के साथ जारी रखना सुनिश्चित करता है कि आपका अंतिम उत्तर दो बिंदुओं के बीच त्रि-आयामी दूरी का प्रतिनिधित्व करेगा।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हम दो क्षुद्रग्रहों के बीच अंतरिक्ष में तैर रहे अंतरिक्ष यात्री हैं। एक क्षुद्रग्रह लगभग 8 किमी आगे, 2 किमी दाईं ओर और 5 किमी नीचे है, जबकि दूसरा लगभग 3 किमी पीछे, 3 किमी बाईं ओर और 4 किमी ऊपर है। यदि हम निर्देशांक (8, 2, -5) और (-3, -3, 4) के साथ दो क्षुद्रग्रहों की स्थिति का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो हम उनके बीच की दूरी की गणना निम्न तरीके से कर सकते हैं:
एस = ((-3 - 8)² + (-3 - 2)² + (4 - -5)²)
एस = ((-11)² + (-5)² + (9)²)
एस = (121 + 25 + 81)
एस = (227) = 15, 07 किमी