चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के 4 तरीके

2024 लेखक: Jason Gerald | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-16 19:30

तो आपको एक असाइनमेंट दिया जाता है जिसके लिए आपको एक चतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालना होता है… लेकिन आप यह भी नहीं जानते कि चतुर्भुज क्या है। चिंता मत करो, यहाँ स्पष्टीकरण है! एक चतुर्भुज कोई भी आकृति है जिसमें चार भुजाएँ होती हैं - एक वर्ग, एक आयत और एक समचतुर्भुज, उदाहरण के लिए। एक आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको केवल उस आयत के प्रकार की पहचान करनी है जिसके साथ आप काम कर रहे हैं और एक सरल सूत्र का पालन करें। केवल वह!

कदम

विधि 1: 4 में से: वर्ग, आयत और अन्य समांतर चतुर्भुज

चरण 1. समांतर चतुर्भुज की पहचान करना सीखें।

समांतर चतुर्भुज कोई भी चतुर्भुज होता है जिसमें समानांतर भुजाओं के 2 जोड़े होते हैं जिनकी विपरीत या विपरीत भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं। समांतर चतुर्भुज में शामिल हैं:

• आयत:

  चार भुजाएँ, सभी समान लंबाई। चार कोण, सभी 90 डिग्री (समकोण)।

• आयत:

  चार भुजाएँ, विपरीत या विपरीत भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं। चार कोने, सभी 90 डिग्री।

• चावल का केक काटें:

  चार भुजाएँ, विपरीत या विपरीत भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं। चार कोने; इसका 90 डिग्री होना जरूरी नहीं है, लेकिन विपरीत कोणों का कोण समान होना चाहिए।

चरण 2. आयत का क्षेत्रफल प्राप्त करने के लिए आधार को उसकी ऊँचाई से गुणा करें।

एक आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको दो मापों की आवश्यकता होगी: लंबाई या आधार (आयत की लंबी भुजा), और चौड़ाई या ऊँचाई (आयत की छोटी भुजा)। फिर, क्षेत्रफल प्राप्त करने के लिए दोनों को गुणा करें। दूसरे शब्दों में:

• क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई, या एल = ए × टी संक्षेप में।

• उदाहरण:

  यदि किसी आयत का आधार 10 सेमी लंबा और 5 सेमी ऊंचा है, तो आयत का क्षेत्रफल केवल 10 × 5 (a × h) है = 50 सेमी वर्ग.

• यह मत भूलो कि जब आप किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं, तो आप उत्तर के लिए इकाई वर्ग (सेमी वर्ग, मी वर्ग, किमी वर्ग, आदि) का उपयोग करेंगे।

चरण 3. वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए किसी एक भुजा को स्वयं से गुणा करें।

एक वर्ग मूल रूप से एक विशेष आयत है, इसलिए आप इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए उसी सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। हालाँकि, चूँकि आयत की भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं, आप वर्ग की किसी एक भुजा की लंबाई को अपने आप से गुणा करने की एक त्वरित विधि का उपयोग कर सकते हैं। यह एक वर्ग के आधार को उसकी ऊँचाई से गुणा करने के समान है क्योंकि आधार और ऊँचाई हमेशा समान होती है। निम्नलिखित समीकरण का प्रयोग करें:

• क्षेत्रफल = भुजा × भुजा या एल = एस²

• उदाहरण:

  यदि वर्ग की एक भुजा की लंबाई 4 मीटर (s = 4) है, तो इस वर्ग का क्षेत्रफल केवल s. है², या 4 x 4 = 16 वर्ग मीटर.

चरण 4. एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए विकर्णों को गुणा करें और दो से भाग दें।

समचतुर्भुज से सावधान रहें - जब आप समचतुर्भुज का क्षेत्रफल पाते हैं, तो आप केवल दो आसन्न भुजाओं को गुणा नहीं कर सकते। इसके बजाय, विकर्ण खोजें (विपरीत कोने बिंदुओं में से प्रत्येक को जोड़ने वाली रेखाएं), विकर्णों को गुणा करें, और दो से विभाजित करें। दूसरे शब्दों में:

• क्षेत्रफल = (डायग। 1 × डायग। 2)/2 या एल = (डी₁ × डी₂)/2

• उदाहरण:

  यदि एक समचतुर्भुज के विकर्ण 6 मीटर लंबे और 8 मीटर लंबे हैं, तो इसका क्षेत्रफल केवल (6 × 8)/2 = 48/2 = 24 मीटर वर्ग है।

चरण 5. वैकल्पिक रूप से, एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए आधार × ऊँचाई का उपयोग करें।

तकनीकी रूप से, आप किसी समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए आधार गुणा ऊंचाई सूत्र का भी उपयोग कर सकते हैं। हालांकि, यहां, "आधार" और "ऊंचाई" का मतलब यह नहीं है कि आप दो आसन्न पक्षों को गुणा कर सकते हैं। सबसे पहले, आधार होने के लिए पक्षों में से एक का चयन करें। फिर, आधार से विपरीत दिशा में एक रेखा खींचें। रेखा दोनों पक्षों से 90 डिग्री के कोण पर टकराती है। यह पक्ष लंबाई वह लंबाई है जिसे आपको ऊंचाई के रूप में उपयोग करना चाहिए।

• उदाहरण:

  एक समचतुर्भुज की भुजाएँ 10 मी और 5 मी हैं। 10 मीटर की दोनों भुजाओं के बीच सीधी रेखा की दूरी 3 मीटर है। यदि आप समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना चाहते हैं, तो आप 10 × 3 =. को गुणा करेंगे 30 वर्ग मीटर.

चरण 6. ध्यान दें कि समचतुर्भुज और आयत सूत्र भी वर्गों पर लागू होते हैं।

एक वर्ग के लिए ऊपर दिया गया भुजा × भुजा सूत्र इस आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सबसे आसान तरीका है। हालाँकि, चूंकि एक वर्ग तकनीकी रूप से एक आयत, एक समचतुर्भुज और एक वर्ग है, आप इन सूत्रों का उपयोग एक वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात करने और सही उत्तर प्राप्त करने के लिए कर सकते हैं। दूसरे शब्दों में, एक वर्ग के लिए:

• क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई या एल = ए × टी
• क्षेत्रफल = (डायग। 1 × डायग। 2)/2 या एल = (डी₁ × डी₂)/2

• उदाहरण:

  चार भुजाओं वाली एक आकृति की दो आसन्न भुजाएँ हैं जिनकी लंबाई 4 मीटर है। आप आधार को ऊंचाई से गुणा करके इस वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं: 4 × 4= 16 वर्ग मीटर.

• उदाहरण:

  एक वर्ग के दो विकर्ण 10 सेमी लंबे हैं। आप इस वर्ग का क्षेत्रफल विकर्ण सूत्र से ज्ञात कर सकते हैं: (10 × 10)/2 = 100/2 = ५० सेंटीमीटर वर्ग.

विधि 2 में से 4: एक समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना

चरण 1. जानें कि एक समलम्बाकार की पहचान कैसे करें।

एक समलम्ब चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसमें कम से कम 2 भुजाएँ एक दूसरे के समानांतर होती हैं। कोनों में कोई भी कोण हो सकता है। एक समलम्ब चतुर्भुज की चार भुजाओं की लंबाई अलग-अलग हो सकती है।

आपके पास मौजूद जानकारी के आधार पर, आप दो अलग-अलग तरीकों से एक समलम्बाकार क्षेत्र का पता लगा सकते हैं। नीचे, आप देखेंगे कि दोनों का उपयोग कैसे करें।

चरण 2. समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई दो समानांतर भुजाओं को मिलाने वाली एक लंब रेखा होती है। ऊंचाई आमतौर पर पक्षों में से एक की लंबाई के समान नहीं होती है क्योंकि आमतौर पर पक्ष तिरछे होते हैं। आपको दोनों क्षेत्र समीकरणों के लिए ऊंचाइयों की आवश्यकता होगी। यहाँ एक समलम्ब की ऊँचाई ज्ञात करने का तरीका बताया गया है:

• इन दो आधार रेखाओं (समानांतर भुजाओं) में से छोटी रेखाएँ ज्ञात कीजिए। आधार रेखा और गैर-समानांतर पक्षों में से एक के बीच, अपनी पेंसिल को कोने के बिंदु पर रखें। दो आधार रेखाओं को समकोण से जोड़ने वाली एक सीधी रेखा खींचिए। इसकी ऊँचाई ज्ञात करने के लिए इस रेखा को मापें।
• कभी-कभी आप ऊँचाई, आधार और अन्य भुजाओं से एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं, तो ऊँचाई निर्धारित करने के लिए आप त्रिकोणमिति का उपयोग भी कर सकते हैं। अधिक जानकारी के लिए समकोण पर हमारा त्रिकोणमिति लेख देखें।

चरण 3. आधार की ऊंचाई और लंबाई का उपयोग करके समलम्ब का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

यदि आप समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई और उसके दो आधारों की लंबाई जानते हैं, तो निम्न समीकरण का उपयोग करें:

• क्षेत्रफल = (आधार 1 + आधार 2)/2 × ऊँचाई या एल = (ए+बी)/2 × टी

• उदाहरण:

  यदि आपके पास एक आधार 7 मीटर लंबा, दूसरा 11 मीटर लंबा है, और दोनों को जोड़ने वाली ऊंचाई रेखा 2 मीटर लंबी है, तो आप इस तरह का क्षेत्र पा सकते हैं: (7 + 11)/2 × 2 = (18)/ 2 × 2 = 9 × 2 = 18 वर्ग मीटर.

• यदि ऊँचाई १० है और आधार की लंबाई ७ और ९ है, तो आप बस ऐसा करके क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं: (७ + ९)/2 * १० = (१६/२) * १० = ८ * १० = ८०

चरण 4. एक समलम्ब का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए मध्य खंड को दो से गुणा करें।

मध्य खंड एक काल्पनिक रेखा है जो समलम्बाकार रेखा के नीचे और ऊपर की रेखाओं के समानांतर होती है, और लंबाई एक दूसरे के बराबर होती है। चूंकि मध्य खंड हमेशा (आधार 1 + आधार 2)/2 के बराबर होता है, यदि आप इसे जानते हैं, तो आप समलम्बाकार सूत्र के लिए एक त्वरित विधि का उपयोग कर सकते हैं:

• क्षेत्रफल = आरटी × टी या एल = आरटी × टी
• मूल रूप से, यह मूल सूत्र का उपयोग करने जैसा ही है, लेकिन आप (a + b)/2 के बजाय rt का उपयोग करते हैं।
• ' उदाहरण:' ऊपर के उदाहरण में समलम्ब चतुर्भुज के मध्य खंड की लंबाई 9 मीटर है। इसका मतलब है कि हम केवल 9 × 2 =. को गुणा करके समलंब का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं 18 वर्ग मीटर, पहले जैसा ही जवाब।

विधि 3 का 4: पतंग का क्षेत्रफल ज्ञात करना

चरण 1. जानिए पतंग की पहचान कैसे करें।

पतंग एक चार भुजाओं वाली आकृति होती है जिसमें समान लंबाई के दो जोड़े होते हैं जो एक दूसरे से सटे होते हैं, एक दूसरे के विपरीत नहीं। जैसा कि नाम से पता चलता है, पतंगें असली पतंगों की तरह होती हैं।

आपके पास मौजूद जानकारी के आधार पर, पतंग का क्षेत्रफल ज्ञात करने के दो अलग-अलग तरीके हैं। नीचे, आप दोनों का उपयोग करने का तरीका जानेंगे।

चरण 2. एक पतंग का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए समचतुर्भुज के विकर्ण सूत्र का प्रयोग करें।

चूँकि समचतुर्भुज समान भुजाओं वाली एक विशेष प्रकार की पतंग है, आप पतंग का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए समचतुर्भुज के विकर्ण क्षेत्र के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। एक अनुस्मारक के रूप में, एक विकर्ण पतंग के दो विपरीत कोनों के बीच एक सीधी रेखा है। एक समचतुर्भुज की तरह, पतंग के क्षेत्रफल का सूत्र है:

• क्षेत्रफल = (डायग। 1 × डायग 2.)/2 या एल = (डी₁ × डी₂)/2

• उदाहरण:

  यदि एक पतंग का विकर्ण 19 मीटर और 5 मीटर है, तो उसका क्षेत्रफल केवल (19 × 5)/2 =. है 95/2 = 47.5 मीटर वर्ग.

• यदि आप विकर्णों की लंबाई नहीं जानते हैं और उन्हें माप नहीं सकते हैं, तो आप उनकी गणना करने के लिए त्रिकोणमिति का उपयोग कर सकते हैं। अधिक जानकारी के लिए हमारा पतंग लेख देखें।

चरण 3. क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए भुजाओं की लंबाई और भुजाओं के बीच के कोण का उपयोग करें।

यदि आप दो अलग-अलग भुजाओं की लंबाई और दोनों पक्षों के बीच के कोण का मान जानते हैं, तो आप त्रिकोणमितीय सिद्धांतों का उपयोग करके पतंग का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं। इस पद्धति के लिए आपको यह जानने की आवश्यकता है कि साइन फ़ंक्शन कैसे करें (या कम से कम साइन फ़ंक्शन वाला कैलकुलेटर हो)। अधिक जानकारी के लिए हमारा त्रिकोणमिति लेख देखें या नीचे दिए गए फ़ार्मुलों का उपयोग करें:

• क्षेत्रफल = (भुजा 1 × भुजा 2) × पाप (कोण) या एल = (एस₁ × एस₂) × पाप (θ) (भुजाओं 1 और 2 के बीच का कोण कहाँ है)।

• उदाहरण:

  आपके पास एक पतंग है जिसकी दो भुजाएँ 6 मीटर लंबी और दो भुजाएँ 4 मीटर लंबी हैं। पक्षों के बीच का कोण 120 डिग्री है। इस समस्या में, आप इस तरह का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं: (6 × 4) × sin(120) = 24 × 0.866 = 20, 78 वर्ग मीटर

• ध्यान दें कि आपको यहां दो अलग-अलग पक्षों और उनके बीच के कोण का उपयोग करना चाहिए - समान लंबाई के पक्षों के एक जोड़े का उपयोग करने से सही उत्तर नहीं मिलेगा।

विधि 4 का 4: किसी भी चतुर्भुज को हल करना

चरण 1. चारों भुजाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए।

क्या आपका चतुर्भुज उपरोक्त नियमित चतुर्भुजों की श्रेणियों में नहीं आता है (उदाहरण के लिए, क्या चतुर्भुज की चार अलग-अलग लंबाई होती है और समानांतर पक्षों का कोई जोड़ा नहीं होता है?) मानो या न मानो, ऐसे सूत्र हैं जिनका उपयोग आप क्षेत्रफल का पता लगाने के लिए कर सकते हैं। कोई भी चतुर्भुज, उसके आकार की परवाह किए बिना। इस खंड में, आप जानेंगे कि सबसे सामान्य फ़ार्मुलों का उपयोग कैसे किया जाता है। ध्यान दें कि इस फॉर्मूले के लिए त्रिकोणमिति के ज्ञान की आवश्यकता होती है (फिर से, समकोण त्रिकोणमिति का उपयोग करने के बारे में विकिहाउ लेख बुनियादी त्रिकोणमिति के लिए हमारा मार्गदर्शक है)।

• सबसे पहले, आपको आयत की चारों भुजाओं की लंबाई ज्ञात करनी होगी। इस लेख के प्रयोजनों के लिए, हम पक्षों को नाम देंगे a, b, c, तथा d । भुजाएँ a और c एक दूसरे के विपरीत हैं और भुजाएँ b और d एक दूसरे के विपरीत हैं।

• उदाहरण:

  यदि आपके पास विषम या अनियमित भुजाओं वाला एक चतुर्भुज है जो उपरोक्त किसी भी श्रेणी में नहीं आता है, तो पहले चारों भुजाओं को मापें। मान लीजिए आयत की लंबाई 12, 9, 5 और 14 सेमी है। नीचे दिए गए चरणों में, आप इस जानकारी का उपयोग आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए करेंगे।

चरण 2. a और d और b और c के बीच के कोण खोजें।

जब आप एक अनियमित चतुर्भुज के साथ काम कर रहे होते हैं, तो आप केवल भुजाओं से क्षेत्रफल नहीं ढूंढ सकते। दो विपरीत कोनों को ढूंढकर जारी रखें। इस खंड के प्रयोजनों के लिए, हम कोण A का उपयोग भुजाओं a और d के बीच के कोण के लिए और कोण C को भुजाओं b और c के बीच के कोण के लिए करेंगे। हालाँकि, आप इसे अन्य दो विपरीत कोनों के साथ भी कर सकते हैं।

• उदाहरण:

  मान लीजिए कि आपके चतुर्भुज में A 80 डिग्री के बराबर है और C 110 डिग्री के बराबर है। अगले चरण में, आप इन मानों का उपयोग कुल क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए करेंगे।

चरण 3. एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सूत्र का प्रयोग करें।

कल्पना कीजिए कि a और b के बीच के शीर्ष से c और d के बीच के शीर्ष के बीच एक सीधी रेखा है। यह रेखा आयत को दो त्रिभुजों में विभाजित करेगी। चूँकि त्रिभुज का क्षेत्रफल ab sin C है, जहाँ C भुजाओं a और b के बीच का कोण है, आप चतुर्भुज का कुल क्षेत्रफल प्राप्त करने के लिए इस सूत्र का दो बार (अपने प्रत्येक काल्पनिक त्रिभुज के लिए एक बार) उपयोग कर सकते हैं। दूसरे शब्दों में, किसी भी आयत के लिए:

• क्षेत्रफल = 0.5 भुजा 1 × भुजा 4 × sin(भुजा कोण 1&4) + 0.5 × भुजा 2 × भुजा 3 × पाप (भुजा कोण 2&3) या
• क्षेत्रफल = 0.5 a × d × sin A + 0.5 × b × c × sin C

• उदाहरण:

  आपके पास पहले से ही आवश्यक भुजाएँ और कोण हैं, तो चलिए इसे पूरा करते हैं:

  = 0.5 (12 × 14) × पाप (80) + 0.5 × (9 × 5) × पाप (110)

  = ८४ × पाप (८०) + २२.५ × पाप (११०)

  = 84 × 0.984 + 22, 5 × 0, 939

  = 82, 66 + 21, 13 = 103, 79 सेमी वर्ग

• ध्यान दें कि यदि आप एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का प्रयास करते हैं जिसके सम्मुख कोण बराबर हैं, तो समीकरण सरल हो जाता है क्षेत्रफल = 0.5*(विज्ञापन + बीसी) * पाप ए.

टिप्स

• इस त्रिभुज कैलकुलेटर का उपयोग उपरोक्त "किसी भी चतुर्भुज" विधि में गणना करने के लिए आसानी से किया जा सकता है।
• अधिक जानकारी के लिए, हमारे भवन-विशिष्ट लेख देखें: वर्ग का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें, आयत के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें, समचतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें, क्षेत्रफल की गणना कैसे करें एक समलंब चतुर्भुज का, और एक पतंग के क्षेत्र का पता कैसे लगाएं।