दूसरी डिग्री बहुपद (वर्ग समीकरण) को फैक्टर करने के 6 तरीके

2024 लेखक: Jason Gerald | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-19 22:12

एक बहुपद में एक घात के साथ एक चर (x) होता है, जिसे घात के रूप में जाना जाता है, और कई पद और/या स्थिरांक होते हैं। बहुपद को गुणन करने का अर्थ है समीकरण को सरल समीकरणों में तोड़ना जिन्हें गुणा किया जा सकता है। यह कौशल बीजगणित 1 और उसके बाद के संस्करण में है, और यदि आपके गणित कौशल इस स्तर पर नहीं हैं, तो इसे समझना मुश्किल हो सकता है।

कदम

शुरू

चरण 1. अपना समीकरण सेट करें।

द्विघात समीकरण के लिए मानक प्रारूप है:

कुल्हाड़ी² + बीएक्स + सी = 0

इस मानक प्रारूप की तरह ही, अपने समीकरण में शब्दों को उच्चतम से निम्नतम घात तक क्रमित करके प्रारंभ करें। उदाहरण के लिए:

6 + 6x² + 13x = 0

हम इस समीकरण को फिर से व्यवस्थित करेंगे ताकि केवल शर्तों को स्थानांतरित करके इसके साथ काम करना आसान हो:

6x² + 13x + 6 = 0

चरण 2. निम्न विधियों में से किसी एक का उपयोग करके प्रपत्र गुणक ज्ञात कीजिए।

बहुपद परिणामों को दो सरल समीकरणों में विभाजित करना जिन्हें मूल बहुपद का उत्पादन करने के लिए गुणा किया जा सकता है:

6x² + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)

इस उदाहरण में, (2x + 3) और (3x + 2) मूल समीकरण के गुणनखंड हैं, 6x² +13x+6.

चरण 3. अपने काम की जाँच करें

आपके पास मौजूद कारकों को गुणा करें। फिर, समान पदों को मिलाएं और आपका काम हो गया। के साथ शुरू:

(2x + 3)(3x + 2)

आइए कोशिश करें, पीएलडीटी (पहले - बाहर - अंदर - आखिरी) का उपयोग करके शब्दों को गुणा करें, जिसके परिणामस्वरूप:

6x² + 4x + 9x + 6

यहाँ से, हम 4x और 9x जोड़ सकते हैं क्योंकि वे समान पद हैं। हम जानते हैं कि हमारे कारक सही हैं क्योंकि हमें अपना मूल समीकरण मिलता है:

6x² + 13x + 6

विधि १ का ६: परीक्षण और त्रुटि

यदि आपके पास काफी सरल बहुपद है, तो आप केवल उन्हें देखकर ही कारकों का पता लगा सकते हैं। उदाहरण के लिए, अभ्यास के बाद, कई गणितज्ञ यह पता लगा सकते हैं कि समीकरण 4x² +4x + 1 का गुणनखंड (2x + 1) और (2x + 1) केवल बार-बार देखने पर होता है। (यह निश्चित रूप से अधिक जटिल बहुपदों के लिए आसान नहीं होगा)। इस उदाहरण के लिए, आइए कम बार उपयोग किए जाने वाले समीकरण का उपयोग करें:

3x² + 2x - 8

चरण 1. पद a और पद c के गुणनखंडों की सूची लिखिए।

कुल्हाड़ी समीकरण प्रारूप का उपयोग करना² + bx + c = 0, पदों a और c की पहचान करें और उन कारकों को लिखिए जो दोनों पदों में हैं। 3x. के लिए² + 2x - 8, अर्थ:

ए = 3 और इसके कारकों का एक सेट है: 1 * 3

सी = -8 और कारकों के चार सेट हैं: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1, और -1 * 8।

चरण 2. रिक्त स्थान वाले कोष्ठकों के दो सेट लिखिए।

आप प्रत्येक समीकरण के लिए अपने द्वारा बनाए गए रिक्त स्थान को स्थिरांक से भरेंगे:

(एक्स)(एक्स)

चरण 3. x के सामने रिक्त स्थानों की पूर्ति a के मान के लिए गुणनखंडों के संभावित युग्मों से कीजिए।

हमारे उदाहरण में पद a के लिए, 3x², हमारे उदाहरण के लिए केवल एक ही संभावना है:

(3x)(1x)

चरण 4. अचर के लिए गुणनखंडों के युग्मों से x के बाद दो रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए।

मान लीजिए हम 8 और 1 चुनते हैं। उनमें लिखिए:

(3x

चरण 8.)(

चरण 1।

चरण 5. चर x और संख्या के बीच चिह्न (धन या ऋण) ज्ञात कीजिए।

मूल समीकरण में संकेतों के आधार पर, स्थिरांक के लिए संकेतों की खोज करना संभव हो सकता है। मान लीजिए कि हम अपने दो कारकों के लिए दो स्थिरांक h और k कहते हैं:

अगर कुल्हाड़ी² + बीएक्स + सी तो (एक्स + एच) (एक्स + के)

अगर कुल्हाड़ी² - बीएक्स - सी या कुल्हाड़ी² + बीएक्स - सी फिर (एक्स - एच) (एक्स + के)

अगर कुल्हाड़ी² - बीएक्स + सी तो (एक्स - एच) (एक्स - के)

हमारे उदाहरण के लिए, 3x² + 2x - 8, संकेत हैं:(x - h)(x + k), हमें दो कारक देते हैं:

(3x + 8) और (x - 1)

चरण 6. पहले आउट-इन-अंतिम गुणन (पीएलडीटी) का उपयोग करके अपने विकल्पों का परीक्षण करें।

पहला त्वरित परीक्षण यह देखना है कि क्या मध्य पद का कम से कम सही मूल्य है। यदि नहीं, तो आपने गलत c कारकों को चुना होगा। आइए हमारे उत्तर का परीक्षण करें:

(3x + 8)(x - 1)

गुणा करके, हम प्राप्त करते हैं:

3x² - 3x + 8x - 8

समान पदों (-3x) और (8x) को जोड़कर इस समीकरण को सरल बनाने पर, हम प्राप्त करते हैं:

3x² - 3x + 8x - 8 = 3x² + 5x - 8

अब हम जानते हैं कि हमने गलत कारकों का उपयोग किया होगा:

3x² + 5x - 8 3x² + 2x - 8

चरण 7. यदि आवश्यक हो तो अपना चयन बदलें।

हमारे उदाहरण में, आइए 1 और 8 के बजाय 2 और 4 का प्रयास करें:

(3x + 2)(x - 4)

अब हमारा c टर्म -8 है, लेकिन हमारा बाहरी/अंदर का उत्पाद (3x * -4) और (2 * x) -12x और 2x है, जो संयुक्त रूप से सही b +2x टर्म का उत्पादन नहीं करेगा।

-12x + 2x = 10x

10x 2x

चरण 8. यदि आवश्यक हो तो आदेश को उलट दें।

आइए 2 और 4 को स्वैप करने का प्रयास करें:

(3x + 4)(x - 2)

अब, हमारा c पद (4 * 2 = 8) सही है, लेकिन बाहरी/आंतरिक गुणनफल -6x और 4x है। अगर हम उन्हें जोड़ते हैं:

-6x + 4x = 2x

2x -2x हम 2x के काफी करीब हैं जिसकी हम तलाश कर रहे हैं, लेकिन संकेत गलत है।

चरण 9. यदि आवश्यक हो तो अपने टैग दोबारा जांचें।

हम उसी क्रम का उपयोग करेंगे, लेकिन उन समीकरणों की अदला-बदली करेंगे जिनमें ऋण चिह्न है:

(3x - 4)(x + 2)

अब शब्द c कोई समस्या नहीं है, और वर्तमान बाहरी/आंतरिक उत्पाद (6x) और (-4x) है। चूंकि:

6x - 4x = 2x

2x = 2x अब हम मूल समस्या से धनात्मक 2x का उपयोग कर सकते हैं। ये सही कारक होने चाहिए।

विधि २ का ६: अपघटन

यह विधि पदों a और c के सभी संभावित कारकों की पहचान करेगी और सही कारकों को खोजने के लिए उनका उपयोग करेगी। यदि संख्याएँ बहुत बड़ी हैं या अनुमान लगाने में समय लगता है, तो इस पद्धति का उपयोग करें। आइए एक उदाहरण का उपयोग करें:

6x² + 13x + 6

चरण 1. पद a को पद c से गुणा करें।

इस उदाहरण में, a 6 है और c भी 6 है।

6 * 6 = 36

चरण 2. गुणनखंडन और परीक्षण द्वारा पद b प्राप्त करें।

हम दो संख्याओं की तलाश कर रहे हैं जो उत्पाद a * c के कारक हैं जिन्हें हमने पहचाना है और शब्द b (13) को भी जोड़ते हैं।

4 * 9 = 36

4 + 9 = 13

चरण 3. शब्द b जोड़ने के परिणाम के रूप में आप अपने समीकरण में प्राप्त दो संख्याओं को प्रतिस्थापित करें।

आइए k और h का उपयोग हमारे पास मौजूद दो संख्याओं, 4 और 9 को निरूपित करने के लिए करें:

कुल्हाड़ी² + केएक्स + एचएक्स + सी

6x² + 4x + 9x + 6

चरण 4. बहुपद को समूहीकृत करके गुणनखंड करें।

समीकरणों को व्यवस्थित करें ताकि आप पहले और दूसरे दोनों पदों का सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड ले सकें। कारकों का समूह समान होना चाहिए। सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड जोड़ें और इसे गुणनखंड समूह के आगे कोष्ठक में रखें; परिणाम आपके दो कारक हैं:

6x² + 4x + 9x + 6

2x(3x + 2) + 3(3x + 2)

(2x + 3)(3x + 2)

विधि 3 का 6: ट्रिपल प्ले

अपघटन विधि के समान, ट्रिपल प्ले विधि शब्दों a और c को गुणा करने और b के मान का उपयोग करने के संभावित कारकों की जांच करती है। इस उदाहरण समीकरण का उपयोग करने का प्रयास करें:

8x² + 10x + 2

चरण 1. पद a को पद c से गुणा करें।

पार्सिंग विधि की तरह, यह हमें टर्म b के लिए उम्मीदवारों की पहचान करने में मदद करेगा। इस उदाहरण में, a 8 है और c 2 है।

8 * 2 = 16

चरण 2. ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिन्हें संख्याओं से गुणा करने पर पद b के बराबर कुल योग प्राप्त होता है।

यह चरण पार्सिंग के समान है - हम स्थिरांक के लिए उम्मीदवारों का परीक्षण करते हैं और उन्हें छोड़ देते हैं। पद a और c का गुणनफल 16 है, और पद c 10 है:

2 * 8 = 16

8 + 2 = 10

चरण 3. इन दो नंबरों को लें और उन्हें ट्रिपल प्ले फॉर्मूला में प्लग करके परीक्षण करें।

पिछले चरण से हमारे दो नंबर लें - चलो उन्हें h और k कहते हैं - और उन्हें समीकरण में प्लग करें:

((कुल्हाड़ी + एच)(कुल्हाड़ी + के))/ ए

हमें मिल जाएगा:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8

चरण 4. ध्यान दें कि क्या अंश के दो पदों में से कोई एक से विभाज्य है।

इस उदाहरण में, हमने देखा कि यदि (8x + 8) या (8x + 2) 8 से विभाज्य है। (8x + 8) 8 से विभाज्य है, इसलिए हम इस पद को a से विभाजित करेंगे और अन्य कारकों को अकेला छोड़ देंगे।

(8x + 8) = 8(x + 1)

यहाँ कोष्ठक में दिया गया शब्द वह है जो हमारे द्वारा a शब्द से भाग देने के बाद बचता है।

चरण 5. एक या दोनों पदों, यदि कोई हो, का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ गुणनखंड (GCF) लें।

इस उदाहरण में, दूसरे पद का GCF 2 है, क्योंकि 8x + 2 = 2(4x + 1)। इस परिणाम को पिछले चरण से प्राप्त पद के साथ जोड़ दें। ये आपके समीकरण के कारक हैं।

2(x + 1)(4x + 1)

विधि ४ का ६: वर्गमूलों का अंतर

बहुपद में कुछ गुणांक 'वर्ग' या दो संख्याओं का गुणनफल हो सकते हैं। इन वर्गों की पहचान करने से आप कई बहुपदों को अधिक तेज़ी से कारक बना सकते हैं। इस समीकरण का प्रयास करें:

२७x² - 12 = 0

चरण 1. यदि संभव हो तो सबसे बड़ा सामान्य कारक निकालें।

इस स्थिति में, हम देख सकते हैं कि 27 और 12 3 से विभाज्य हैं, इसलिए हम प्राप्त करते हैं:

27x² - 12 = 3(9x² - 4)

चरण 2. पहचानें कि क्या आपके समीकरण के गुणांक वर्ग संख्याएँ हैं।

इस विधि का उपयोग करने के लिए, आपको दोनों पदों का वर्गमूल लेने में सक्षम होना चाहिए। (ध्यान दें कि हम ऋणात्मक चिह्न की उपेक्षा करेंगे - क्योंकि ये संख्याएँ वर्ग हैं, वे दो धनात्मक या ऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल हो सकते हैं)

9x² = 3x * 3x और 4 = 2 * 2

चरण 3. प्राप्त वर्गमूल का उपयोग करके गुणनखंड लिखिए।

हम अपने ऊपर के चरण से a और c के मान लेंगे - a = 9 और c = 4, फिर वर्गमूल - a = 3 और c = 2 खोजें। परिणाम कारक समीकरण का गुणांक है:

27x² - 12 = 3(9x² - 4) = 3(3x + 2)(3x - 2)

विधि ५ का ६: द्विघात सूत्र

यदि अन्य सभी विफल हो जाते हैं और समीकरण को पूरे गुणनखंडित नहीं किया जा सकता है, तो द्विघात सूत्र का उपयोग करें। इस उदाहरण का प्रयास करें:

एक्स² + 4x + 1 = 0

चरण 1. द्विघात सूत्र में आवश्यक मान दर्ज करें:

एक्स = -बी ± (बी² - 4एसी)

२ए

हमें समीकरण मिलता है:

एक्स = -4 ± (4² - 4•1•1) / 2

चरण 2. x का मान ज्ञात कीजिए।

आपको दो मान मिलेंगे। जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, हमें दो उत्तर मिलते हैं:

एक्स = -2 + (3) या एक्स = -2 - (3)

चरण 3. कारकों को खोजने के लिए अपने x-मान का उपयोग करें।

दो बहुपद समीकरणों में आपके द्वारा प्राप्त किए गए x मानों को स्थिरांक के रूप में प्लग करें। परिणाम आपके कारक हैं। यदि हम अपने उत्तरों को h और k कहते हैं, तो हम दो कारकों को इस प्रकार लिखते हैं:

(एक्स - एच) (एक्स - के)

इस उदाहरण में, हमारा अंतिम उत्तर है:

(एक्स - (-2 + (3)) (एक्स - (-2 - (3)) = (एक्स + 2 - (3)) (एक्स + 2 + (3))

विधि ६ का ६: कैलकुलेटर का उपयोग करना

यदि आपको कैलकुलेटर का उपयोग करने की अनुमति है, तो एक रेखांकन कैलकुलेटर फैक्टरिंग प्रक्रिया को बहुत आसान बनाता है, खासकर मानकीकृत परीक्षणों के लिए। ये निर्देश TI रेखांकन कैलकुलेटर के लिए हैं। हम एक उदाहरण समीकरण का उपयोग करेंगे:

वाई = एक्स² एक्स 2

चरण 1. कैलकुलेटर में अपना समीकरण दर्ज करें।

आप समीकरण के फ़ैक्टरिंग का उपयोग करेंगे, जो स्क्रीन पर [Y =] लिखा होता है।

चरण 2. अपने कैलकुलेटर का उपयोग करके अपने समीकरण को रेखांकन करें।

जब आप अपना समीकरण दर्ज कर लें, तो [ग्राफ] दबाएं - आपको एक चिकना वक्र दिखाई देगा जो आपके समीकरण का प्रतिनिधित्व करता है (और आकार एक वक्र है क्योंकि हम बहुपद का उपयोग कर रहे हैं)।

चरण 3. वह स्थान ज्ञात कीजिए जहाँ वक्र x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेद करता है।

चूँकि बहुपद समीकरणों को आमतौर पर ax. के रूप में लिखा जाता है² + bx + c = 0, यह प्रतिच्छेदन x का दूसरा मान है जिसके कारण समीकरण शून्य हो जाता है:

(-1, 0), (2, 0)

एक्स = -1, एक्स = 2

यदि आप यह नहीं पहचान सकते हैं कि ग्राफ़ x-अक्ष के साथ कहाँ प्रतिच्छेद करता है, तो [२] और फिर [ट्रेस] दबाएँ। [2] दबाएं या शून्य चुनें। चौराहे के बाईं ओर कर्सर ले जाएँ और [ENTER] दबाएँ। चौराहे के दाईं ओर कर्सर ले जाएँ और [ENTER] दबाएँ। जितना हो सके कर्सर को चौराहे के करीब ले जाएँ और [ENTER] दबाएँ। कैलकुलेटर x का मान ज्ञात करेगा। ऐसा अन्य चौराहों के लिए भी करें।

चरण 4. पिछले चरण से प्राप्त x मान को दो भाज्य समीकरण में जोड़ें।

यदि हमने अपने दोनों x मानों को h और k नाम दिया है, तो हम जिन समीकरणों का उपयोग करेंगे वे होंगे:

(एक्स - एच) (एक्स - के) = 0

इस प्रकार, हमारे दो कारक हैं:

(एक्स - (-1)) (एक्स - 2) = (एक्स + 1) (एक्स - 2)

टिप्स

• यदि आपके पास TI-84 कैलकुलेटर (ग्राफ) है, तो सॉल्वर नामक एक प्रोग्राम है जो आपके द्विघात समीकरणों को हल करेगा। यह प्रोग्राम किसी भी डिग्री के बहुपदों को हल करेगा।
• यदि कोई पद नहीं लिखा गया है, तो गुणांक 0 है। यदि ऐसा है तो समीकरण को फिर से लिखना सहायक होता है, उदाहरण के लिए: x² + 6 = एक्स² +0x+6.
• यदि आपने द्विघात सूत्र का उपयोग करके अपने बहुपद का गुणनखंड किया है और मूल के रूप में उत्तर प्राप्त किया है, तो आप जाँच करने के लिए x के मान को भिन्न में बदलना चाह सकते हैं।
• यदि किसी पद का कोई लिखित गुणांक नहीं है, तो गुणांक 1 है, उदाहरण के लिए: x² = 1x².
• पर्याप्त अभ्यास के बाद, आप अंततः अपने सिर में बहुपदों को कारक करने में सक्षम होंगे। जब तक आप इसे नहीं कर सकते, तब तक हमेशा कैसे-कैसे लिखें, यह सुनिश्चित करें।