एक पंचभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के 3 तरीके

2024 लेखक: Jason Gerald | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-15 08:15

एक पंचभुज एक बहुभुज है जिसमें पाँच सीधी भुजाएँ होती हैं। गणित की कक्षा में आपको मिलने वाली अधिकांश समस्याओं में पाँच बराबर भुजाओं वाला एक नियमित पंचभुज शामिल होगा। आपके पास जितनी जानकारी है, उसके आधार पर चौड़ाई खोजने के दो सामान्य तरीके हैं।

कदम

विधि 1 में से 3: भुजा की लंबाई और एपोथेम का क्षेत्रफल ज्ञात करना

चरण 1. पक्ष की लंबाई और एपोथेम से शुरू करें।

इस विधि का उपयोग पाँच समान भुजाओं वाले नियमित पंचभुज के लिए किया जा सकता है। साइड की लंबाई के अलावा, आपको पेंटागन के "एपोथेम" की आवश्यकता होगी। एपोथेम पंचभुज के केंद्र से एक भुजा तक की एक रेखा है जो भुजा को 90º के समकोण पर काटती है।

• एपोथेम और त्रिज्या को भ्रमित न करें, जो किसी एक कोने को छूता है न कि मध्य बिंदु को। यदि आप केवल भुजा की लंबाई और त्रिज्या जानते हैं, तो इस विधि को छोड़ दें और अगली विधि पर जाएँ।

• हम भुजा की लंबाई वाले एक पंचभुज के उदाहरण का उपयोग करेंगे

  चरण 3। इकाई और एपोटेम

  चरण 2। इकाई।

चरण 2. पंचभुज को पाँच त्रिभुजों में विभाजित करें।

पंचभुज के केंद्र से पाँच रेखाएँ खींचिए, जो प्रत्येक शीर्ष की ओर ले जाएँ। अब आपके पास पाँच त्रिभुज हैं।

चरण 3. त्रिभुजों में से किसी एक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

प्रत्येक त्रिभुज में होता है कुरसी जो पंचभुज की भुजा के बराबर है। प्रत्येक त्रिभुज में भी होता है लंबा जो पंचभुज के एपोथेम के बराबर है। (याद रखें, एक त्रिभुज की ऊँचाई त्रिभुज के शीर्ष से विपरीत भुजा तक फैली हुई होती है, जिससे एक समकोण बनता है।) किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, बस x आधार x ऊँचाई की गणना करें।

• हमारे उदाहरण में, त्रिभुज का क्षेत्रफल = x 3 x 2 =

  चरण 3। इकाई वर्ग।

चरण 4. कुल क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए पांच से गुणा करें।

हमने पंचभुज को पाँच बराबर त्रिभुजों में विभाजित किया है। कुल क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, बस किसी एक त्रिभुज के क्षेत्रफल को पाँच से गुणा करें।

• हमारे उदाहरण में, L(कुल पंचभुज) = 5 x L(त्रिकोण) = 5 x 3 =

  चरण 15. इकाई वर्ग।

विधि 2 का 3: भुजा की लंबाई से क्षेत्रफल ज्ञात करना

चरण 1. केवल साइड की लंबाई से शुरू करें।

यह विधि केवल नियमित पंचकोणों पर लागू होती है जिनमें पाँच समान भुजाएँ होती हैं।

• इस उदाहरण में, हम भुजा की लंबाई वाले एक पंचभुज का उपयोग करेंगे

  चरण 7. इकाई।

चरण 2. पंचभुज को पाँच त्रिभुजों में विभाजित करें।

पंचभुज के केंद्र से किसी भी शीर्ष पर एक रेखा खींचिए। सभी कोने के बिंदुओं के लिए इसे दोहराएं। अब आपके पास पाँच त्रिभुज हैं, प्रत्येक का आकार समान है।

चरण 3. त्रिभुज को आधा में विभाजित करें।

पंचभुज के केंद्र से किसी एक त्रिभुज के आधार तक एक रेखा खींचिए। इस रेखा को त्रिभुज को दो छोटे बराबर त्रिभुजों में विभाजित करते हुए आधार को 90 के समकोण पर स्पर्श करना चाहिए।

चरण 4. छोटे त्रिभुजों में से एक का नाम बताइए।

हम पहले से ही छोटे त्रिभुज की एक भुजा और एक कोण का नाम दे सकते हैं:

• कुरसी त्रिभुज पंचभुज की भुजा की लंबाई का है। हमारे उदाहरण में, आधार की लंबाई x 7 = 3.5 इकाई है।
• बड़े कोने पंचभुज के केंद्र में हमेशा 36º होता है। (360 केंद्र से शुरू करके, आप इसे इन छोटे त्रिभुजों में से 10 में विभाजित कर सकते हैं। 360 10 = 36, इसलिए त्रिभुजों में से एक में कोण 36º है।)

चरण 5. त्रिभुज की ऊंचाई की गणना करें। लंबा इस त्रिभुज की वह भुजा है जो केंद्र की ओर इशारा करते हुए पंचभुज की भुजा के साथ लंबवत (एक समकोण बनाती है) है। इस भुजा की लंबाई ज्ञात करने के लिए हम मूल त्रिकोणमिति का उपयोग कर सकते हैं:

• एक समकोण त्रिभुज में, स्पर्शरेखा एक कोण का मान आसन्न भुजा की लंबाई से विभाजित विपरीत भुजा की लंबाई के बराबर होता है।
• 36º कोण के विपरीत भुजा त्रिभुज का आधार है (पेंचभुज की आधी भुजा)। कोण 36º की आसन्न भुजा त्रिभुज की ऊंचाई है।
• तन (36º) = विपरीत / आसन्न
• हमारे उदाहरण में, तन(36º) = 3.5 / ऊंचाई
• ऊंचाई x तन(36º) = 3, 5
• ऊंचाई = 3.5 / तन (36º)
• ऊंचाई = (लगभग) 4, 8 इकाई।

चरण 6. त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल आधार x ऊँचाई है। (एल = पर)। अब जब आप ऊँचाई जानते हैं, तो अपने छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए इन मानों को दर्ज करें।

हमारे उदाहरण में, छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल = at = (3, 5)(4, 8) = 8, 4 इकाई वर्ग।

चरण 7. पंचभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए गुणा करें।

इन छोटे त्रिभुजों में से एक पंचभुज के क्षेत्रफल का 1/10 भाग है। कुल क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, छोटे त्रिभुज के क्षेत्रफल को 10 से गुणा करें।

हमारे उदाहरण में, संपूर्ण पंचभुज का क्षेत्रफल = 8, 4 x 10 = 84 इकाई वर्ग।

विधि 3 का 3: सूत्रों का उपयोग करना

चरण 1. परिधि और एपोथेम का प्रयोग करें।

एपोथेम एक पेंटागन के केंद्र से एक रेखा है जो एक तरफ एक समकोण पर छूती है। यदि आपको एपोथेम की लंबाई दी गई है, तो आप इस आसान सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

• एक नियमित पंचभुज का क्षेत्रफल = ka/2, जहाँ k = परिमाप और a = एपोथेम।
• यदि आप परिमाप नहीं जानते हैं, तो भुजा की लंबाई से परिमाप की गणना करें: k = 5s, जहाँ s भुजा की लंबाई है।

चरण 2. साइड की लंबाई का उपयोग करें।

यदि आप केवल भुजा की लंबाई जानते हैं, तो निम्न सूत्र का उपयोग करें:

• नियमित पंचभुज का क्षेत्रफल = (5 वर्गमीटर) ²) / (4tan(36º)), जहां s = भुजा की लंबाई।
• तन (36º) = (5-2√5)। इसलिए, यदि आपके कैलकुलेटर में टैन फ़ंक्शन नहीं है, तो सूत्र क्षेत्र = (5 s.) का उपयोग करें ²) / (4√(5-2√5)).

चरण 3. एक सूत्र चुनें जो केवल त्रिज्या का उपयोग करता है।

यदि आप केवल त्रिज्या जानते हैं तो भी आप क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं। इस सूत्र का प्रयोग करें:

नियमित पंचभुज का क्षेत्रफल = (5/2) r ²sin(72º), जहां r त्रिज्या है।

टिप्स

• यहां दिए गए उदाहरण गणना में आसानी के लिए गोल मानों का उपयोग करते हैं। यदि आप दी गई भुजाओं की लंबाई के साथ वास्तविक बहुभुज को मापते हैं, तो आपको अन्य लंबाई और क्षेत्रों के लिए थोड़ा अलग परिणाम मिलेगा।
• यदि संभव हो, तो ज्यामितीय विधि और सूत्र विधि का उपयोग करें, और परिणामों की तुलना करके सुनिश्चित करें कि आपके पास सही उत्तर है। यदि आप एक ही बार में सूत्र दर्ज करते हैं तो आपको थोड़ा अलग उत्तर मिल सकता है (चूंकि गणना करते समय आप पूर्णांकित नहीं होंगे), लेकिन उत्तर लगभग समान होना चाहिए।
• एक अनियमित पंचभुज, या असमान भुजाओं वाला पंचभुज, सीखना अधिक कठिन होता है। सबसे अच्छा तरीका आमतौर पर पंचकोण को त्रिभुजों में विभाजित करना और प्रत्येक त्रिभुज के क्षेत्रफल को जोड़ना है। आपको पेंटागन के चारों ओर बड़ा आकार बनाने, उसके क्षेत्र की गणना करने और पेंटागन के बाहर के क्षेत्र को घटाने की भी आवश्यकता हो सकती है।
• सूत्र ज्यामितीय साधनों से प्राप्त होते हैं, लगभग उसी के समान जो यहाँ वर्णित हैं। ध्यान दें कि क्या आप यह पता लगा सकते हैं कि सूत्र कैसे प्राप्त करें। त्रिज्या सूत्र अन्य सूत्रों की तुलना में प्राप्त करना अधिक कठिन है (संकेत: आपको दोहरे या दोहरे कोण की पहचान की आवश्यकता होगी)।