पथरी में व्युत्पन्न करने के 4 तरीके

2024 लेखक: Jason Gerald | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-19 22:12

डेरिवेटिव का उपयोग ग्राफ से उपयोगी विशेषताओं को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है, जैसे कि अधिकतम, न्यूनतम, शिखर, गर्त और ढलान मान। आप इसका उपयोग रेखांकन कैलकुलेटर के बिना जटिल समीकरणों को रेखांकन करने के लिए भी कर सकते हैं! दुर्भाग्य से, डेरिवेटिव पर काम करना अक्सर थकाऊ होता है, लेकिन यह लेख आपको कुछ टिप्स और ट्रिक्स के साथ मदद करेगा।

कदम

चरण 1. व्युत्पन्न संकेतन को समझें।

निम्नलिखित दो संकेतन सबसे अधिक उपयोग किए जाते हैं, हालांकि कई अन्य यहां विकिपीडिया पर पाए जा सकते हैं।

• लीबनिज़ नोटेशन यह संकेतन सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला संकेतन है जब समीकरण में y और x शामिल होते हैं। dy/dx का शाब्दिक अर्थ है x के सापेक्ष y का अवकलज। x और y के बहुत भिन्न मानों के लिए इसे y/Δx के रूप में सोचना उपयोगी हो सकता है। यह स्पष्टीकरण व्युत्पन्न सीमा की परिभाषा की ओर ले जाता है: lim_{एच-> 0} (एफ(एक्स+एच)-एफ(एक्स))/एच। दूसरे व्युत्पन्न के लिए इस संकेतन का उपयोग करते समय, आपको लिखना चाहिए: d²वाई/डीएक्स².
• लैग्रेंज संकेतन फलन f के अवकलज को f'(x) के रूप में भी लिखा जाता है। यह संकेतन f उच्चारण x पढ़ता है। यह संकेतन लाइबनिज़ के संकेतन से छोटा है, और डेरिवेटिव को कार्यों के रूप में देखते समय सहायक होता है। व्युत्पन्न की एक बड़ी डिग्री बनाने के लिए, बस ' को f में जोड़ें, इसलिए दूसरा व्युत्पन्न f''(x) होगा।

चरण 2. व्युत्पत्ति का अर्थ और अवतरण के कारणों को समझें।

सबसे पहले, एक रैखिक ग्राफ की ढलान को खोजने के लिए, रेखा पर दो बिंदु लिए जाते हैं, और उनके निर्देशांक समीकरण में दर्ज किए जाते हैं (y₂ - आप₁)/(एक्स₂ - एक्स₁) हालाँकि, इसका उपयोग केवल रैखिक ग्राफ़ के लिए किया जा सकता है। द्विघात समीकरण और उच्चतर के लिए, रेखा एक वक्र होगी, इसलिए दो बिंदुओं के बीच का अंतर खोजना बहुत सटीक नहीं है। वक्र ग्राफ में स्पर्शरेखा की ढलान को खोजने के लिए, दो बिंदु लिए जाते हैं, और वक्र ग्राफ की ढलान को खोजने के लिए सामान्य समीकरण में डाल दिया जाता है: [f(x + dx) - f(x)]/dx। डीएक्स डेल्टा एक्स को दर्शाता है, जो ग्राफ के दो बिंदुओं पर दो एक्स निर्देशांक के बीच का अंतर है। ध्यान दें कि यह समीकरण समान है (y₂ - आप₁)/(एक्स₂ - एक्स₁), केवल एक अलग रूप में। चूंकि यह ज्ञात था कि परिणाम सटीक नहीं होंगे, एक अप्रत्यक्ष दृष्टिकोण लागू किया गया था। (x, f(x)) पर स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए, dx 0 के करीब होना चाहिए, ताकि दो खींचे गए बिंदु एक बिंदु में विलीन हो जाएं। हालाँकि, आप 0 को विभाजित नहीं कर सकते हैं, इसलिए एक बार दो-बिंदु मान दर्ज करने के बाद, आपको समीकरण के नीचे से dx को निकालने के लिए फ़ैक्टरिंग और अन्य विधियों का उपयोग करना होगा। एक बार ऐसा करने के बाद, dx 0 बनाएं और आपका काम हो गया। यह (x, f(x)) पर स्पर्श रेखा का ढाल है। एक ग्राफ पर किसी भी स्पर्शरेखा की ढलान को खोजने के लिए एक समीकरण का व्युत्पन्न सामान्य समीकरण है। यह बहुत जटिल लग सकता है, लेकिन नीचे कुछ उदाहरण हैं, जो यह समझाने में मदद करेंगे कि व्युत्पन्न कैसे प्राप्त करें।

विधि 1 का 4: स्पष्ट संजात

चरण 1. एक स्पष्ट व्युत्पन्न का प्रयोग करें यदि आपके समीकरण में पहले से ही एक तरफ y है।

चरण 2. समीकरण को समीकरण [f(x + dx) - f(x)]/dx में प्लग करें।

उदाहरण के लिए, यदि समीकरण y = x. है², अवकलज होगा [(x + dx)² - एक्स²]/डीएक्स.

चरण 3. समीकरण [dx(2x + dx)]/dx बनाने के लिए dx का विस्तार करें और निकालें।

अब, आप ऊपर और नीचे दो dx डाल सकते हैं। परिणाम 2x + dx है, और जैसे ही dx शून्य के करीब पहुंचता है, व्युत्पन्न 2x होता है। इसका मतलब है कि ग्राफ y = x. के किसी भी स्पर्शरेखा का ढलान² 2x है। बस उस बिंदु के लिए x-मान दर्ज करें जिसके लिए आप ढलान खोजना चाहते हैं।

चरण 4. समान समीकरण व्युत्पन्न करने के लिए पैटर्न सीखें।

यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं।

• कोई भी घातांक 1 से कम घात तक बढ़ाए गए मान का घात गुणा होता है। उदाहरण के लिए, x. का व्युत्पन्न⁵ 5x. है⁴, और x. का व्युत्पन्न^{3, 5} आईआईएस3, 5x^{2, 5}. यदि x के सामने पहले से कोई संख्या है, तो उसे केवल घात से गुणा करें। उदाहरण के लिए 3x. का व्युत्पन्न⁴ 12x. है³.
• किसी भी स्थिरांक का व्युत्पन्न शून्य होता है। तो, 8 का व्युत्पन्न 0 है।
• योग का व्युत्पन्न संबंधित डेरिवेटिव का योग है। उदाहरण के लिए, x. का व्युत्पन्न³ + 3x² 3x. है² + 6x।
• उत्पाद का व्युत्पन्न दूसरे कारक के व्युत्पन्न का पहला कारक गुणा होता है और दूसरा कारक पहले कारक के व्युत्पन्न का होता है। उदाहरण के लिए, x. का व्युत्पन्न³(2x + 1) x. है³(2) + (2x + 1)3x², जो 8x. के बराबर है³ + 3x².
• भागफल का व्युत्पन्न (जैसे, f/g) है [g(f का व्युत्पन्न) - f(g का व्युत्पन्न)]/g². उदाहरण के लिए, (x.) का व्युत्पन्न² + 2x - 21)/(x - 3) है (x² - 6x + 15)/(x - 3)².

विधि 2 का 4: निहित संजात

चरण 1. यदि आपका समीकरण पहले से ही y के साथ एक तरफ नहीं लिखा जा सकता है, तो निहित डेरिवेटिव का उपयोग करें।

वास्तव में, यदि आपने एक तरफ y लिखा है, तो dy/dx की गणना करना कठिन होगा। यहां एक उदाहरण दिया गया है कि आप इस प्रकार के समीकरण को कैसे हल कर सकते हैं।

चरण 2. इस उदाहरण में, x²वाई + 2y³ = 3x + 2y, y को f(x) से बदलें, ताकि आपको याद रहे कि y वास्तव में एक फलन है।

समीकरण तब x. हो जाता है²एफ (एक्स) + 2 [एफ (एक्स)]³ = 3x + 2f (x)।

चरण 3. इस समीकरण का अवकलज ज्ञात करने के लिए x के सन्दर्भ में समीकरण के दोनों पक्षों को व्युत्पन्न कीजिए।

समीकरण तब x. हो जाता है²f'(x) + 2xf(x) + 6[f(x)]²f'(x) = 3 + 2f'(x)।

चरण 4. f(x) को y से फिर से बदलें।

सावधान रहें कि f'(x) को प्रतिस्थापित न करें, जो f(x) से भिन्न है।

चरण 5. f'(x) ज्ञात कीजिए।

इस उदाहरण का उत्तर बन जाता है (3 - 2xy)/(x² + 6y² - 2).

विधि 3: 4 का उच्च क्रम संजात

चरण 1. उच्च कोटि का फलन व्युत्पन्न करने का अर्थ है कि आप अवकलज (क्रमांक 2 के लिए) व्युत्पन्न कर रहे हैं।

उदाहरण के लिए, यदि समस्या आपको तीसरा क्रम प्राप्त करने के लिए कहती है, तो बस व्युत्पन्न के व्युत्पन्न का व्युत्पन्न लें। कुछ समीकरणों के लिए, उच्च-क्रम व्युत्पन्न 0 होगा।

विधि 4 का 4: चेन नियम

चरण 1. यदि y, z का एक विभेदक फलन है, और z, x का एक अवकल फलन है, y, x का एक संयुक्त फलन है, और x (dy/dx) के संबंध में y का अवकलज (dy/du)* है। (डु/डीएक्स)।

श्रृंखला नियम इस तरह शक्ति समीकरणों का संयोजन भी हो सकता है: (2x⁴ - एक्स)³. व्युत्पन्न खोजने के लिए, इसे गुणन नियम की तरह समझें। समीकरण को घात से गुणा करें और घात में 1 से घटाएं। फिर, घात बढ़ाने वाले कोष्ठकों में समीकरण के अवकलज से समीकरण को गुणा करें (इस मामले में, 2x^4 - x)। इस प्रश्न का उत्तर है 3(2x.)⁴ - एक्स)²(8x³ - 1).

टिप्स

• जब भी आपको कोई कठिन समस्या हल करने के लिए दिखे, तो चिंता न करें। गुणन, भागफल आदि के नियमों को लागू करके इसे यथासंभव छोटे भागों में विभाजित करने का प्रयास करें। फिर, प्रत्येक भाग को नीचे करें।
• गुणन नियम, भागफल नियम, श्रृंखला नियम और विशेष रूप से निहित व्युत्पन्नों के साथ अभ्यास करें, क्योंकि ये नियम कैलकुलस में बहुत अधिक कठिन हैं।
• अपने कैलकुलेटर को अच्छी तरह समझें; अपने कैलकुलेटर में विभिन्न प्रकार्यों का उपयोग करने का तरीका जानने के लिए प्रयास करें। यह जानना बहुत उपयोगी है कि आपके कैलकुलेटर में स्पर्शरेखा और व्युत्पन्न कार्यों का उपयोग कैसे करें, यदि वे उपलब्ध हैं।
• मूल त्रिकोणमितीय व्युत्पन्न याद रखें और उनका उपयोग कैसे करें।