निहित कार्यों को कैसे व्युत्पन्न करें: 7 कदम (चित्रों के साथ)

2024 लेखक: Jason Gerald | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-19 22:12

कलन में, जब आपके पास x के रूप में y के लिए एक समीकरण लिखा होता है (जैसे y = x² -3x), व्युत्पन्न खोजने के लिए बुनियादी व्युत्पत्ति तकनीकों (गणितज्ञों द्वारा निहित फ़ंक्शन व्युत्पन्न तकनीकों के रूप में संदर्भित) का उपयोग करना आसान है। हालांकि, उन समीकरणों के लिए जिन्हें बराबर चिह्न के एक तरफ केवल y शब्द के साथ बनाना मुश्किल है (उदाहरण के लिए x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19), एक अलग दृष्टिकोण की जरूरत है। निहित फ़ंक्शन डेरिवेटिव नामक तकनीक के साथ, जब तक आप स्पष्ट फ़ंक्शन डेरिवेटिव की मूल बातें जानते हैं, तब तक बहु-चर समीकरणों के डेरिवेटिव ढूंढना आसान है!

कदम

विधि 1 में से 2: सरल समीकरणों को शीघ्रता से प्राप्त करना

चरण 1. हमेशा की तरह x पद व्युत्पन्न कीजिए।

x. जैसे बहु-चर समीकरण को व्युत्पन्न करने का प्रयास करते समय² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19, यह जानना मुश्किल हो सकता है कि कहां से शुरू करें। सौभाग्य से, एक निहित कार्य के व्युत्पन्न का पहला चरण सबसे आसान है। शुरू करने के लिए साधारण (स्पष्ट) डेरिवेटिव के नियमों के अनुसार समीकरण के दोनों किनारों पर बस एक्स-शब्द और स्थिरांक प्राप्त करें। कुछ समय के लिए y-शर्तों पर ध्यान न दें।

• आइए उपरोक्त सरल समीकरण का एक उदाहरण प्राप्त करने का प्रयास करें। एक्स² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19 के दो पद हैं x: x² और -5x। यदि हम एक समीकरण प्राप्त करना चाहते हैं, तो हमें इसे पहले करना होगा, जैसे:

  एक्स² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19

  (x. में 2 के घात तक नीचे लाएँ)² गुणांक के रूप में, x को -5x में हटा दें, और 19 को 0 में बदलें)

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

चरण 2. y पद व्युत्पन्न कीजिए और प्रत्येक पद के आगे (dy/dx) जोड़िए।

अपने अगले चरण के लिए, y शब्दों को उसी तरह व्युत्पन्न करें जैसे आपने x पदों को प्राप्त किया था। हालाँकि, इस बार, प्रत्येक पद के आगे (dy/dx) जोड़ें क्योंकि आप गुणांक जोड़ेंगे। उदाहरण के लिए, यदि आप y. को कम करते हैं², तो व्युत्पन्न 2y(dy/dx) हो जाता है। उन शब्दों पर ध्यान न दें जिनमें कुछ समय के लिए x और y हों।

• हमारे उदाहरण में, हमारा समीकरण अब इस तरह दिखता है: 2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0. हम y व्युत्पन्न करने का अगला चरण इस प्रकार करेंगे:

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

  (y. में 2 के घात तक नीचे लायें)² गुणांक के रूप में, y को 8y में हटा दें, और प्रत्येक पद के आगे dy/dx लगाएं)।

  2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2xy²= 0

चरण 3. x और y वाले पदों के लिए गुणनफल नियम या भागफल नियम का प्रयोग करें।

उन शब्दों के साथ काम करना जिनमें x और y हैं, थोड़ा मुश्किल है, लेकिन यदि आप उत्पाद के नियमों और डेरिवेटिव के लिए भागफल को जानते हैं, तो आपको यह आसान लगेगा। यदि पदों x और y को गुणा किया जाता है, तो गुणनफल नियम का प्रयोग करें ((f × g)' = f' × g + g × f'), f के लिए x पद और g के लिए y पद को प्रतिस्थापित करना। दूसरी ओर, यदि पद x और y परस्पर अपवर्जी हैं, तो भागफल नियम का प्रयोग करें ((f/g)' = (g × f' - g' × f)/g²), f के लिए अंश और g के लिए हर को प्रतिस्थापित करना।

• हमारे उदाहरण में, 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2xy² = 0, हमारे पास केवल एक पद है जिसमें x और y - 2xy. है². चूँकि x और y को एक दूसरे से गुणा किया जाता है, इसलिए हम निम्न प्रकार से प्राप्त करने के लिए उत्पाद नियम का उपयोग करेंगे:

  2xy² = (2x)(y²)- सेट 2x = f और y² = g in (f × g)' = f' × g + g × f'

  (f × g)' = (2x)' × (y.)²) + (2x) × (y.)²)'

  (एफ × जी)' = (2) × (वाई²) + (2x) × (2y(dy/dx))

  (एफ × जी)' = २ वर्ष² + 4xy (डीई/डीएक्स)

• इसे हमारे मुख्य समीकरण में जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y² + 4xy(dy/dx) = 0

चरण 4. अकेले (dy/dx)।

लगभग काम हो गया! अब, आपको केवल समीकरण (dy/dx) को हल करना है। यह मुश्किल लगता है, लेकिन आमतौर पर ऐसा नहीं है - याद रखें कि किन्हीं भी दो पदों a और b को (dy/dx) से गुणा किया जाता है, जिसे गुणन के वितरण गुण के कारण (a + b)(dy/dx) के रूप में लिखा जा सकता है। यह युक्ति आइसोलेटिंग (dy/dx) को आसान बना सकती है - बस अन्य सभी शब्दों को कोष्ठक के दूसरी ओर ले जाएँ, फिर (dy/dx) के आगे कोष्ठकों में शब्दों से विभाजित करें।

• हमारे उदाहरण में, हम 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y को सरल बनाते हैं² + 4xy(dy/dx) = 0 इस प्रकार है:

  2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y² + 4xy(dy/dx) = 0

  (2y + 8 + 4xy)(dy/dx) + 2x - 5 + 2y² = 0

  (2y + 8 + 4xy)(dy/dx) = -2y² - 2x + 5

  (डीई/डीएक्स) = (-2y.)² - 2x + 5)/(2y + 8 + 4xy)

  (डीई/डीएक्स) = (-2y.)² - 2x + 5)/(2(2xy + y + 4)

विधि 2 में से 2: उन्नत तकनीकों का उपयोग करना

चरण 1. किसी भी बिंदु के लिए (dy/dx) खोजने के लिए मान (x, y) दर्ज करें।

सुरक्षित! आप पहले से ही अपने समीकरण को निहित रूप से प्राप्त कर चुके हैं - पहली कोशिश में आसान काम नहीं है! किसी भी बिंदु (x, y) के लिए ग्रेडिएंट (dy/dx) को खोजने के लिए इस समीकरण का उपयोग करना उतना ही आसान है जितना कि समीकरण के दाईं ओर अपने बिंदु के लिए x और y मानों को प्लग करना, फिर खोजना (dy/dx).

• उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हम उपरोक्त उदाहरण समीकरण के लिए बिंदु (3, -4) पर ग्रेडिएंट खोजना चाहते हैं। ऐसा करने के लिए, हम x के लिए 3 और y के लिए -4 को निम्नानुसार हल करेंगे:

  (डीई/डीएक्स) = (-2y.)² - 2x + 5)/(2(2xy + y + 4)

  (डीई/डीएक्स) = (-2(-4)² - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)

  (डीई/डीएक्स) = (-2(16) - 6 + 5)/(2(2(3)(-4))

  (डीई/डीएक्स) = (-32) - 6 + 5)/(2(2(-12))

  (डीई/डीएक्स) = (-33)/(2(2(-12))

  (डीई/डीएक्स) = (-33)/(-48) = 3/48, या 0, 6875.

चरण 2. फ़ंक्शन-भीतर-फ़ंक्शंस के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग करें।

कैलकुलस समस्याओं (अंतर्निहित फ़ंक्शन व्युत्पन्न समस्याओं सहित) पर काम करते समय श्रृंखला नियम ज्ञान का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है। श्रृंखला नियम बताता है कि एक फ़ंक्शन F(x) के लिए जिसे (f.) के रूप में लिखा जा सकता है हे g)(x), F(x) का अवकलज के बराबर है एफ'(जी(एक्स))जी'(एक्स). कठिन निहित कार्य व्युत्पन्न समस्याओं के लिए, इसका मतलब है कि समीकरण के विभिन्न अलग-अलग हिस्सों को प्राप्त करना संभव है, और फिर परिणामों को जोड़ना संभव है।

• एक सरल उदाहरण के रूप में, मान लीजिए कि हमें sin(3x.) का अवकलज ज्ञात करना है² + x) समीकरण sin(3x.) के लिए बड़े निहित फलन व्युत्पन्न समस्या के भाग के रूप में² +x) + y³ = 0. यदि हम पाप की कल्पना करते हैं (3x² + x) f(x) और 3x. के रूप में² + x g(x) के रूप में, हम अवकलज को इस प्रकार पा सकते हैं:

  एफ'(जी(एक्स))जी'(एक्स)

  (पाप(3x.)² + x))' × (3x.)² +x)'

  कॉस(3x² +x) × (6x + 1)

  (6x + 1)cos(3x² +x)

चरण 3. चर x, y, और z वाले समीकरणों के लिए (dz/dx) और (dz/dy) ज्ञात कीजिए।

हालांकि बुनियादी कलन में असामान्य, कुछ उन्नत अनुप्रयोगों में दो से अधिक चर के निहित कार्यों की व्युत्पत्ति की आवश्यकता हो सकती है। प्रत्येक अतिरिक्त चर के लिए, आपको x के संबंध में इसका अतिरिक्त अवकलज ज्ञात करना होगा। उदाहरण के लिए, यदि आपके पास x, y, और z है, तो आपको (dz/dy) और (dz/dx) दोनों को खोजना चाहिए। हम दो बार x के संबंध में समीकरण प्राप्त करके ऐसा कर सकते हैं - पहला, हम हर बार z से युक्त एक पद प्राप्त करने पर (dz/dx) दर्ज करेंगे, और दूसरा, हम हर बार व्युत्पन्न होने पर (dz/dy) डालेंगे। जेड इसके बाद, यह केवल (dz/dx) और (dz/dy) को हल करने की बात है।

• उदाहरण के लिए, मान लें कि हम x. प्राप्त करने का प्रयास कर रहे हैं³जेड² - 5xy⁵जेड = एक्स² + y³.

• सबसे पहले, x के विरुद्ध व्युत्पन्न करते हैं और (dz/dx) दर्ज करते हैं। यदि आवश्यक हो तो उत्पाद नियम लागू करना न भूलें!

  एक्स³जेड² - 5xy⁵जेड = एक्स² + y³

  3x²जेड² + 2x³जेड (डीजेड/डीएक्स) - 5y⁵जेड - 5xy⁵(डीजेड/डीएक्स) = 2x

  3x²जेड² + (2x³जेड - 5xy⁵)(डीजेड/डीएक्स) - 5वर्ष⁵जेड = 2x

  (2x³जेड - 5xy⁵)(dz/dx) = 2x - 3x²जेड² +5वर्ष⁵जेड

  (डीजेड/डीएक्स) = (2x - 3x.)²जेड² +5वर्ष⁵जेड)/(2x³जेड - 5xy⁵)

• अब, (dz/dy) के लिए भी ऐसा ही करें

  एक्स³जेड² - 5xy⁵जेड = एक्स² + y³

  2x³z(dz/dy) - 25xy⁴जेड - 5xy⁵(dz/dy) = 3y²

  (2x³जेड - 5xy⁵)(dz/dy) = 3y² + 25xy⁴जेड

  (dz/dy) = (3y² + 25xy⁴जेड)/(2x³जेड - 5xy⁵)