मूल रूप एक बीजीय कथन है जिसमें वर्गमूल (या घनमूल या उच्चतर) का चिह्न होता है। यह फ़ॉर्म अक्सर दो संख्याओं का प्रतिनिधित्व कर सकता है जिनका मान समान होता है, भले ही वे पहली नज़र में भिन्न दिखाई दें (उदाहरण के लिए, 1/(sqrt(2) - 1) = sqrt(2)+1)। इसलिए, हमें इस प्रकार के फॉर्म के लिए "मानक सूत्र" की आवश्यकता है। यदि दो कथन हैं, दोनों मानक सूत्र में, जो भिन्न दिखाई देते हैं, वे समान नहीं हैं। गणितज्ञ इस बात से सहमत हैं कि द्विघात रूप का मानक निरूपण निम्नलिखित आवश्यकताओं को पूरा करता है:
- भिन्नों के प्रयोग से बचें
- भिन्नात्मक शक्तियों का प्रयोग न करें
- हर में मूल रूप का प्रयोग करने से बचें
- दो मूल रूपों का गुणन शामिल नहीं है
- रूट के नीचे के नंबर अब रूट नहीं किए जा सकते हैं
इसका एक व्यावहारिक उपयोग बहुविकल्पीय परीक्षाओं में होता है। जब आपको कोई उत्तर मिल जाए, लेकिन आपका उत्तर उपलब्ध विकल्पों के समान न हो, तो इसे एक मानक सूत्र में सरल बनाने का प्रयास करें। चूंकि प्रश्नकर्ता आमतौर पर मानक फ़ार्मुलों में उत्तर लिखते हैं, इसलिए अपने उत्तरों से मेल खाने के लिए ऐसा ही करें। निबंध प्रश्नों में, "अपने उत्तर को सरल करें" या "सभी जड़ों को सरल बनाएं" जैसे आदेशों का अर्थ है कि छात्रों को निम्नलिखित चरणों को तब तक पूरा करना चाहिए जब तक वे ऊपर दिए गए मानक सूत्र को पूरा नहीं करते। इस चरण का उपयोग समीकरणों को हल करने के लिए भी किया जा सकता है, हालांकि कुछ प्रकार के समीकरणों को गैर-मानक सूत्रों में हल करना आसान होता है।
कदम
चरण 1. यदि आवश्यक हो, तो रूट और घातांक के संचालन के नियमों की समीक्षा करें (दोनों बराबर हैं - जड़ें भिन्नों की शक्तियां हैं) क्योंकि हमें इस प्रक्रिया में उनकी आवश्यकता है।
बहुपदों और तर्कसंगत रूपों को सरल बनाने के नियमों की भी समीक्षा करें क्योंकि हमें उन्हें सरल बनाने की आवश्यकता होगी।
विधि १ में ६: पूर्ण वर्ग
चरण 1. पूर्ण वर्गों वाले सभी मूलों को सरल कीजिए।
एक पूर्ण वर्ग अपने आप में एक संख्या का गुणनफल होता है, उदाहरण के लिए 81, जो 9 x 9 का गुणनफल है। एक पूर्ण वर्ग को सरल बनाने के लिए, बस वर्गमूल को हटा दें और संख्या का वर्गमूल लिख दें।
- उदाहरण के लिए, 121 एक पूर्ण वर्ग है क्योंकि 11 x 11 121 के बराबर है। इसलिए, आप मूल चिह्न को हटाकर मूल (121) से 11 तक सरल बना सकते हैं।
- इस चरण को आसान बनाने के लिए, आपको पहले बारह पूर्ण वर्ग याद रखने होंगे: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x ६ = ३६, ७ x ७ = ४९, ८ x ८ = ६४, ९ x ९ = ८१, १० x १० = १००, ११ x ११ = १२१, १२ x १२ = १४४
चरण 2. पूर्ण घन वाले सभी मूलों को सरल कीजिए।
एक पूर्ण घन एक संख्या को अपने आप से दो बार गुणा करने का गुणनफल है, उदाहरण के लिए 27, जो 3 x 3 x 3 का गुणनफल है। एक पूर्ण घन के मूल रूप को सरल बनाने के लिए, बस वर्गमूल को हटा दें और वर्गमूल लिख दें संख्या का।
उदाहरण के लिए, 343 एक पूर्ण घन है क्योंकि यह 7 x 7 x 7 का गुणनफल है। तो 343 का घनमूल 7 है।
विधि २ का ६: भिन्नों को मूल में बदलना
या दूसरी तरफ बदलना (यह कभी-कभी मदद करता है), लेकिन उन्हें उसी कथन में रूट (5) + 5 ^ (3/2) के समान न मिलाएं। हम मान लेंगे कि आप रूट फॉर्म का उपयोग करना चाहते हैं और हम वर्गमूल के लिए रूट (एन) और क्यूब रूट के लिए वर्ग ^ 3 (एन) प्रतीकों का उपयोग करेंगे।
चरण 1. भिन्न के घात में से एक को लें और इसे मूल रूप में बदलें, उदाहरण के लिए x^(a/b) = रूट से x^a की b घात।
यदि वर्गमूल भिन्न रूप में है, तो इसे नियमित रूप में परिवर्तित करें। उदाहरण के लिए, 4 का वर्गमूल (2/3) = मूल(4)^3 = 2^3 = 8
चरण 2. ऋणात्मक घातांक को भिन्नों में बदलें, उदाहरण के लिए x^-y = 1/x^y
यह सूत्र केवल स्थिर और तर्कसंगत घातांक पर लागू होता है। यदि आप 2^x जैसे फ़ॉर्म के साथ काम कर रहे हैं, तो इसे न बदलें, भले ही समस्या इंगित करती हो कि x एक भिन्न या ऋणात्मक संख्या हो सकती है।
चरण 3। एक ही जनजाति को मिलाएं और परिणामी तर्कसंगत रूप को सरल बनाएं।
विधि ६ में से ३: जड़ों में भिन्नों को हटाना
मानक सूत्र के लिए आवश्यक है कि मूल एक पूर्णांक हो।
चरण 1. वर्गमूल के नीचे की संख्या को देखें यदि उसमें अभी भी भिन्न है।
अगर फिर भी…
चरण 2. पहचान मूल(a/b) = sqrt(a)/sqrt(b) का उपयोग करके दो मूल वाली भिन्न में बदलें।
इस पहचान का उपयोग न करें यदि हर नकारात्मक है, या यदि यह एक चर है जो नकारात्मक हो सकता है। इस मामले में, पहले अंश को सरल करें।
चरण 3. परिणाम के प्रत्येक पूर्ण वर्ग को सरल कीजिए।
यानी, sqrt(5/4) को sqrt(5)/sqrt(4) में बदलें, फिर sqrt(5)/2 को सरल करें।
चरण 4. अन्य सरलीकरण विधियों का उपयोग करें जैसे कि जटिल भिन्नों को सरल बनाना, समान पदों का संयोजन, आदि।
विधि ४ का ६: गुणन मूलों का संयोजन
चरण 1. यदि आप एक मूल रूप को दूसरे से गुणा कर रहे हैं, तो सूत्र का उपयोग करके दोनों को एक वर्गमूल में संयोजित करें:
वर्ग (ए) * वर्ग (बी) = वर्ग (एबी)। उदाहरण के लिए, रूट(2)*रूट(6) को रूट(12) में बदलें।
- उपरोक्त पहचान, sqrt(a)*sqrt(b) = sqrt(ab), मान्य है यदि sqrt के चिह्न के नीचे की संख्या ऋणात्मक नहीं है। जब a और b ऋणात्मक हों तो इस सूत्र का उपयोग न करें क्योंकि आप sqrt(-1)*sqrt(-1) = sqrt(1) बनाने की गलती करेंगे। बाईं ओर का कथन -1 के बराबर है (या यदि आप सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग नहीं करते हैं तो अपरिभाषित) जबकि दाईं ओर का कथन +1 है। यदि a और/या b ऋणात्मक हैं, तो पहले sqrt(-5) = i*sqrt(5) जैसे चिह्न को "बदलें"। यदि मूल चिह्न के नीचे का रूप एक चर है जिसका चिह्न संदर्भ से अज्ञात है या सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है, तो इसे फिलहाल के लिए छोड़ दें। आप अधिक सामान्य पहचान का उपयोग कर सकते हैं, sqrt(a)*sqrt(b) = sqrt(sgn(a))*sqrt(sgn(b))*sqrt(|ab|) जो सभी वास्तविक संख्याओं पर लागू होता है a और b, लेकिन आमतौर पर यह सूत्र ज्यादा मदद नहीं करता है क्योंकि यह sgn (साइनम) फ़ंक्शन का उपयोग करने में जटिलता जोड़ता है।
- यह पहचान तभी मान्य होती है जब जड़ों के रूपों में एक ही घातांक हो। आप विभिन्न वर्गमूलों जैसे sqrt(5)*sqrt^3(7) को एक ही वर्गमूल में परिवर्तित करके गुणा कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, अस्थायी रूप से वर्गमूल को भिन्न में बदलें: sqrt(5)*sqrt^3(7) = 5^(1/2) * 7^(1/3) = 5^(3/6) * 7 ^(2/6) = 125^(1/6) * 49^(1/6)। फिर गुणन नियम का उपयोग करके दोनों को 6125 के वर्गमूल से गुणा करें।
विधि ५ का ६: वर्ग गुणनखंड को जड़ से हटाना
चरण 1. अपूर्ण जड़ों को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करना।
एक गुणनखंड एक संख्या है जिसे किसी अन्य संख्या से गुणा करने पर एक संख्या बनती है -- उदाहरण के लिए, 5 और 4 20 के दो गुणनखंड हैं। अपूर्ण जड़ों को तोड़ने के लिए, संख्या के सभी गुणनखंडों को लिखें (या जितना संभव हो, यदि संख्या बहुत बड़ी है) जब तक आपको एक पूर्ण वर्ग नहीं मिल जाता।
उदाहरण के लिए, ४५: १, ३, ५, ९, १५, और ४५ के सभी गुणनखंडों को खोजने का प्रयास करें। ९, ४५ का गुणनखंड है और एक पूर्ण वर्ग (९ = ३ ^ २) भी है। 9 x 5 = 45
चरण 2. वर्गमूल के भीतर से सभी गुणक जो पूर्ण वर्ग हैं, हटा दें।
9 एक पूर्ण वर्ग है क्योंकि यह 3 x 3 का गुणनफल है। वर्गमूल में से 9 निकालें और इसे वर्गमूल के सामने 3 से बदलें, 5 को वर्गमूल के अंदर छोड़ दें। यदि आप 3 को वापस वर्गमूल में "डालते" हैं, तो 9 बनाने के लिए अपने आप से गुणा करें, और यदि आप 5 से गुणा करते हैं तो यह 45 देता है। ५ के ३ मूल, ४५ के मूल को व्यक्त करने का एक सरल तरीका है।
यानी, sqrt(45) = sqrt(9*5) = sqrt(9)*sqrt(5) = 3*sqrt(5)।
चरण 3. चर में पूर्ण वर्ग ज्ञात कीजिए।
एक वर्ग का वर्गमूल होता है |a|. यदि ज्ञात चर सकारात्मक है तो आप इसे केवल "ए" तक सरल बना सकते हैं। a का वर्गमूल से ३ की घात तक a का वर्गमूल, याद रखें कि जब हम दो संख्याओं को a की घात से गुणा करते हैं तो घातांक जुड़ते हैं, इसलिए एक वर्ग गुणा a के बराबर होता है। तीसरी शक्ति।
इसलिए, एक घन के रूप में एक पूर्ण वर्ग एक वर्ग है।
चरण 4. पूर्ण वर्ग वाले चर को वर्गमूल से हटा दें।
अब, वर्गमूल से एक वर्ग लें और इसे |a|. में बदलें. जड़ a से ३ के घात का सरल रूप है |a| जड़ ए.
चरण 5. समान पदों को मिलाइए और परिकलन परिणामों के सभी मूलों को सरल कीजिए।
विधि ६ का ६: हर को युक्तिसंगत बनाना
चरण 1. मानक सूत्र के लिए आवश्यक है कि हर जितना संभव हो एक पूर्णांक (या एक बहुपद यदि इसमें एक चर शामिल है) हो।
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यदि हर में मूल चिह्न के तहत एक पद होता है, जैसे कि […] (५) = […]
घनमूल या उच्चतर के लिए, उपयुक्त मूल से गुणा करें ताकि हर परिमेय हो। यदि हर रूट^3(5) है, तो अंश और हर को sqrt^3(5)^2 से गुणा करें।
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यदि हर में दो वर्गमूल जैसे sqrt(2) + sqrt(6) को जोड़ना या घटाना है, तो क्वांटिफायर और हर को उनके संयुग्म से गुणा करें, जो एक ही रूप है लेकिन विपरीत चिन्ह के साथ है। फिर […]/(रूट(2) + रूट(6)) = […] (६))। फिर दो वर्गों के अंतर के लिए पहचान सूत्र का उपयोग करें [(a+b)(ab) = a^2-b^2] हर को युक्तिसंगत बनाने के लिए, सरल बनाने के लिए (sqrt(2) + sqrt(6))(sqrt(2)-sqrt(6)) = sqrt(2)^2 - sqrt(6)^2 = 2-6 = -4।
- यह 5 + sqrt(3) जैसे हर पर भी लागू होता है क्योंकि सभी पूर्णांक अन्य पूर्णांकों के मूल होते हैं। [१/(५ + वर्ग(३)) = (५-वर्ग(३))/(५ + वर्ग(३))(५-वर्ग(३)) = (५-वर्ग(३))/(५^ 2-sqrt(3)^2) = (5-sqrt(3))/(25-3) = (5-sqrt(3))/22]
- यह विधि जड़ों को जोड़ने पर भी लागू होती है जैसे कि sqrt(5)-sqrt(6)+sqrt(7)। यदि आप उन्हें (sqrt(5)-sqrt(6))+sqrt(7) में समूहित करते हैं और (sqrt(5)-sqrt(6))-sqrt(7) से गुणा करते हैं, तो उत्तर तर्कसंगत रूप में नहीं है, लेकिन अभी भी a+b*root(30) में जहां a और b पहले से ही परिमेय संख्याएं हैं। फिर संयुग्मों के साथ प्रक्रिया को दोहराएं a+b*sqrt(30) और (a+b*sqrt(30))(a-b*sqrt(30)) तर्कसंगत होगा। संक्षेप में, यदि आप हर में एक मूल चिह्न को हटाने के लिए इस ट्रिक का उपयोग कर सकते हैं, तो आप सभी जड़ों को हटाने के लिए इसे कई बार दोहरा सकते हैं।
- इस विधि का उपयोग उन हरों के लिए भी किया जा सकता है जिनमें उच्च मूल होता है, जैसे कि 3 की चौथी जड़ या 9 की सातवीं जड़। हर के संयुग्म द्वारा अंश और हर को गुणा करें। दुर्भाग्य से, हम सीधे हर का संयुग्म प्राप्त नहीं कर सकते हैं और ऐसा करना मुश्किल है। हम संख्या सिद्धांत पर बीजगणित की पुस्तक में उत्तर पा सकते हैं, लेकिन मैं उस पर नहीं जाऊंगा।
चरण 2. अब हर तर्कसंगत रूप में है, लेकिन अंश एक गड़बड़ दिखता है।
अब आपको बस इसे हर के संयुग्म से गुणा करना है। आगे बढ़ो और गुणा करो जैसे हम बहुपदों को गुणा करेंगे। यह देखने के लिए जांचें कि क्या संभव हो तो किसी भी शब्द को छोड़ा जा सकता है, सरलीकृत किया जा सकता है या संयुक्त किया जा सकता है।
चरण 3. यदि हर एक ऋणात्मक पूर्णांक है, तो अंश और हर दोनों को -1 से गुणा करके इसे धनात्मक बना दें।
टिप्स
- आप उन साइटों के लिए ऑनलाइन खोज कर सकते हैं जो रूट फॉर्म को सरल बनाने में मदद कर सकती हैं। बस मूल चिह्न के साथ समीकरण टाइप करें, और Enter दबाने के बाद, उत्तर दिखाई देगा।
- सरल प्रश्नों के लिए, आप इस आलेख के सभी चरणों का उपयोग नहीं कर सकते हैं। अधिक जटिल प्रश्नों के लिए, आपको कई चरणों का एक से अधिक बार उपयोग करने की आवश्यकता हो सकती है। "सरल" चरणों का कुछ बार उपयोग करें, और यह देखने के लिए जांचें कि क्या आपका उत्तर मानक सूत्रीकरण मानदंड पर फिट बैठता है जिसकी हमने पहले चर्चा की थी। यदि आपका उत्तर मानक सूत्र में है, तो आपका काम हो गया; लेकिन यदि नहीं, तो आप इसे पूरा करने में सहायता के लिए ऊपर दिए गए चरणों में से एक की जांच कर सकते हैं।
- जड़ों के रूप के लिए "अनुशंसित मानक सूत्र" के अधिकांश संदर्भ जटिल संख्याओं (i = रूट (-1)) पर भी लागू होते हैं। यहां तक कि अगर किसी कथन में रूट के बजाय "i" होता है, तो उन भाजक से बचें जिनमें अभी भी जितना संभव हो उतना i है।
- इस लेख के कुछ निर्देश मानते हैं कि सभी मूल वर्ग हैं। वही सामान्य सिद्धांत उच्च शक्तियों की जड़ों पर लागू होते हैं, हालांकि कुछ हिस्सों (विशेषकर हर को युक्तिसंगत बनाना) के साथ काम करना काफी मुश्किल हो सकता है। अपने लिए तय करें कि आपको कौन सा आकार चाहिए, जैसे कि sqr^3(4) या sqr^3(2)^2। (मुझे याद नहीं है कि पाठ्यपुस्तकों में आमतौर पर किस रूप का सुझाव दिया जाता है)।
- इस लेख के कुछ निर्देश "नियमित रूप" का वर्णन करने के लिए "मानक सूत्र" शब्द का उपयोग करते हैं। अंतर यह है कि मानक सूत्र केवल फॉर्म 1+sqrt(2) या sqrt(2)+1 को स्वीकार करता है और अन्य रूपों को गैर-मानक मानता है; सादा रूप मानता है कि आप, पाठक, इन दो संख्याओं की "समानता" देखने के लिए पर्याप्त स्मार्ट हैं, भले ही वे लिखित रूप में समान नहीं हैं ('समान' का अर्थ उनकी अंकगणितीय संपत्ति (कम्यूटेटिव जोड़) में है, न कि उनकी बीजगणितीय संपत्ति (रूट) (2) x^2-2 का मूल गैर-ऋणात्मक है))। हम आशा करते हैं कि पाठक इस शब्दावली के प्रयोग में थोड़ी सी लापरवाही को समझेंगे।
- यदि कोई भी सुराग अस्पष्ट या विरोधाभासी लगता है, तो उन सभी चरणों को करें जो स्पष्ट और सुसंगत हैं, और फिर आप जो भी आकार पसंद करते हैं उसे चुनें।
