बीजीय भिन्नों को सरल बनाने के 3 तरीके

2024 लेखक: Jason Gerald | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-19 22:12

बीजगणितीय अंश अशिक्षित छात्र को कठिन और डराने वाले लग सकते हैं। बीजगणितीय अंश चर, संख्याओं और यहां तक कि घातांक के मिश्रण से बने होते हैं, इसलिए वे भ्रमित करने वाले हो सकते हैं। सौभाग्य से, हालांकि, सामान्य भिन्नों को सरल बनाने के नियम, जैसे कि 15/25, बीजीय भिन्नों पर भी लागू होते हैं।

कदम

विधि 1 का 3: भिन्नों का सरलीकरण

चरण 1. बीजीय भिन्नों के विभिन्न पदों को जानें।

निम्नलिखित शब्द अक्सर बीजीय भिन्न समस्याओं में उपयोग किए जाते हैं:

• अंश:

  भिन्न का शीर्ष (उदाहरण: '''(x+5)'''/(2x+3))।

• हर:

  भिन्न के नीचे (उदाहरण: (x+5)/'''(2x+3)''')।

• आम विभाजक:

  एक संख्या जो किसी भिन्न के ऊपर और नीचे को विभाजित कर सकती है। उदाहरण: भिन्न 3/9 का उभयनिष्ठ हर 3 है क्योंकि 3 और 9 3 से विभाज्य हैं।

• कारक:

  संख्याएँ जो किसी संख्या को समाप्त होने तक विभाजित कर सकती हैं। उदाहरण: गुणनखंड 15 1, 3, 5 और 15 है। गुणनखंड 4 1, 2 और 4 है।

• सबसे सरल अंश:

  सभी सामान्य कारकों को लें और समान चर को एक साथ रखें (5x + x = 6x) जब तक आपको सबसे सरल समस्या, समीकरण या भिन्न न मिल जाए। यदि कोई और गणना नहीं की जा सकती है, तो अंश सबसे सरल है।

चरण 2. सामान्य भिन्नों को सरल बनाने का तरीका फिर से सीखें।

बीजीय भिन्नों को उसी तरह सरल किया जाता है जैसे वे साधारण भिन्नों को सरल करते हैं। उदाहरण के लिए, 15/35 को सरल बनाने के लिए, आम भाजक खोजें अंश। भिन्न 15/35 का उभयनिष्ठ हर 5 है। अतः भिन्न में से 5 का गुणनखंड करें

15 → 5 * 3

35 → 5 * 7

अभी, आम भाजक निकालें. ऊपर के उदाहरण में, दोनों 5s को हटा दें। तो, सरल रूप 15/35 है 3/7.

चरण 3. बीजीय व्यंजकों में से उभयनिष्ठ गुणनखंडों को उसी प्रकार लें जैसे साधारण संख्याओं के लिए।

पिछले उदाहरण में, 15 में से 5 का आसानी से गुणनखंड किया जा सकता है। यही सिद्धांत अधिक जटिल व्यंजकों पर लागू होता है, जैसे कि 15x - 5. समस्या में दो संख्याओं का उभयनिष्ठ गुणनखंड ज्ञात कीजिए। 5 एक सामान्य गुणनखंड है जो 15x और -5 दोनों को विभाजित कर सकता है। पहले की तरह, सामान्य कारकों को हटा दें और "शेष" से गुणा करें।

15x - 5 = 5 * (3x - 1) 5 को नए व्यंजक से गुणा करके जाँचें। यदि यह सही है, तो परिणाम मूल व्यंजक के समान है (सार्व गुणनखंड से पहले, जो कि 5 है, बहिष्कृत है)।

चरण 4. साधारण संख्याओं के रूप में सार्व गुणनखंडों के अतिरिक्त सम्मिश्र संख्याओं को भी छोड़ा जा सकता है।

बीजीय भिन्न का सरलीकरण साधारण भिन्नों के समान सिद्धांतों का उपयोग करता है। यह सिद्धांत भिन्नों को सरल बनाने का सबसे आसान तरीका है। उदाहरण:

(एक्स+2)(एक्स-3)

(एक्स+2)(एक्स+10)

अंश (अंश के ऊपर) और हर (अंश के नीचे) में मौजूद है। इसलिए, (x+2) को बीजीय भिन्न को सरल बनाने के लिए छोड़ा जा सकता है, जैसे 15/35 में से 5 को हटाना और निकालना:

(x+2)(x-3) → (x-3)

(x+2)(x+10) → (x+10) तो, अंतिम उत्तर है: (x-3)/(x+10)

विधि 2 का 3: बीजीय भिन्नों को सरल बनाना

चरण 1. अंश (अंश के ऊपर) का उभयनिष्ठ गुणनखंड ज्ञात कीजिए।

बीजीय भिन्न को सरल बनाने का पहला चरण भिन्न के प्रत्येक भाग को सरल बनाना है। पहले अंश का भाग करें। सामान्य गुणनखंडों को तब तक निकालें जब तक आपको सरलतम व्यंजक प्राप्त न हो जाए। उदाहरण:

9x-3

15x+6

अंश भाग करें: 9x - 3. 9x और -3 का सामान्य गुणनखंड 3 है। 3*(3x-1) बनाने के लिए 9x - 3 से संख्या 3 का गुणनखंड करें। भिन्न के लिए नया अंश व्यंजक लिखें:

3(3x-1)

15x+6

चरण 2. हर (अंश के नीचे) में सामान्य कारक खोजें।

उपरोक्त उदाहरण समस्या पर काम करना जारी रखते हुए, हर 15x+6 पर ध्यान दें। फिर से, वह संख्या ज्ञात कीजिए जो व्यंजक के दो भागों को विभाजित करती है। 15x और 6 का सार्व गुणनखंड 3 है। 15x+6 में से 3 का गुणनखंड 3*(5x+2) बनाता है। भिन्न पर नया हर व्यंजक लिखें:

3(3x-1)

3(5x+2)

चरण 3. समान संख्याओं को हटा दें।

यह चरण भिन्नों को सरल करता है। यदि अंश और हर की संख्या समान हो तो उस संख्या को हटा दें। उदाहरण में, अंश और हर में संख्या 3 को छोड़ा जा सकता है।

3(3x-1) → (3x-1)

3(5x+2) → (5x+2)

चरण 4. जाँच कीजिए कि क्या बीजीय भिन्न सरलतम है।

सबसे सरल बीजीय भिन्नों का अंश या हर में कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं होता है। याद रखें, कोष्ठकों में कारकों को छोड़ा नहीं जा सकता है। उदाहरण समस्या में, 3x और 5x में से x का गुणनखंड नहीं किया जा सकता क्योंकि पूर्ण व्यंजक (3x-1) और (5x+2) हैं। तो, दो व्यंजक पहले से ही सबसे सरल और प्राप्त हैं अंतिम उत्तर:

(3x-1)

(5x+2)

चरण 5. अभ्यास प्रश्न करें।

इस विषय में महारत हासिल करने का सबसे अच्छा तरीका है कि आप बीजीय भिन्न सरलीकरण समस्याओं पर काम करते रहें। निम्नलिखित दो प्रश्न करें; उत्तर कुंजी प्रश्न के नीचे है।

4(x+2)(x-13)

(4x+8) उत्तर:

(एक्स = 13)

2x²-एक्स

5x उत्तर:

(2x-1)/5

विधि 3 का 3: अधिक जटिल समस्याएँ करना

चरण 1। एक ऋणात्मक संख्या का गुणन करके भिन्नात्मक भाग को "उल्टा" करें।

समस्या उदाहरण:

3(x-4)

5(4-एक्स)

(x-4) और (4-x) ''लगभग'' समान हैं। (x-4) और (4-x) को उलटा नहीं किया जा सकता क्योंकि वे उल्टे हैं। हालाँकि (x-4) को -1*(4-x) में बदला जा सकता है, ठीक वैसे ही जैसे (4 + 2x) को 2 * (2 + x) में बदलना। इस विधि को "ऋणात्मक संख्याओं का गुणनखंड करना" कहा जाता है।

-1*3(4-x)

5(4-एक्स)

अब दोनों (4-x) को छोड़ा जा सकता है:

-1*3(4-x)

5(4-एक्स)

तो, अंतिम उत्तर है - 3/5

चरण 2. समस्या पर काम करते समय दो वर्गों के अंतर के रूप को पहचानें।

दो वर्गों के अंतर का रूप एक वर्ग घटा दूसरे (ए।)² - बी²) दो वर्गों के अंतर का रूप हमेशा दो भागों में सरल होता है, वर्गमूलों को जोड़ना और घटाना:

ए² - बी² = (a+b)(a-b) बीजीय भिन्नों में उभयनिष्ठ गुणनखंड ज्ञात करने के लिए यह सूत्र बहुत महत्वपूर्ण है।

उदाहरण: x² - 25 = (x+5)(x-5)

चरण 3. बहुपद व्यंजक को सरल कीजिए।

एक बहुपद एक जटिल बीजीय व्यंजक है जिसमें दो से अधिक पद होते हैं, उदाहरण के लिए x² + 4x + 3. सौभाग्य से, बहुपद के अधिकांश रूपों को बहुपदों का गुणनखंडन करके सरल बनाया जा सकता है। उदाहरण: x² + 4x + 3 को सरल बनाया जा सकता है (x+3)(x+1)।

चरण 4. याद रखें, चरों को भी गुणनखंडित किया जा सकता है।

यह बहुत महत्वपूर्ण है, खासकर उन भावों में जिनमें घातांक होते हैं। उदाहरण: x⁴ +x². सबसे बड़े घातांक का गुणनखंड करें। तो, x⁴ +x² = एक्स²(एक्स² + 1).

टिप्स

• यह सुनिश्चित करने के लिए कि अंतिम उत्तर सरलतम रूप में है, सरलीकरण करते समय हमेशा सबसे बड़े सामान्य कारक का उपयोग करें।
• सामान्य कारकों को फिर से गुणा करके उत्तरों की जाँच करें। यदि आपका उत्तर सही है, तो गुणा पिछले व्यंजक को लौटा देता है।