3X3 मैट्रिक्स के निर्धारक का निर्धारण कैसे करें: 11 कदम (चित्रों के साथ)

2024 लेखक: Jason Gerald | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-15 08:15

मैट्रिक्स के निर्धारक का उपयोग अक्सर उच्च स्तर पर कलन, रैखिक बीजगणित और ज्यामिति में किया जाता है। अकादमिक के बाहर, कंप्यूटर ग्राफिक्स इंजीनियर और प्रोग्रामर हर समय मैट्रिसेस और उनके निर्धारकों का उपयोग करते हैं। यदि आप पहले से ही जानते हैं कि 2x2 के क्रम के मैट्रिक्स के निर्धारक को कैसे निर्धारित किया जाए, तो आपको केवल यह जानने की जरूरत है कि क्रम 3x3 के मैट्रिक्स के निर्धारक को निर्धारित करने के लिए जोड़, घटाव और समय का उपयोग कब करना है।

कदम

भाग 1 का 2: निर्धारकों का निर्धारण

अपना ३ x ३ क्रम मैट्रिक्स लिखें। हम 3x3 कोटि के मैट्रिक्स A से शुरू करेंगे और सारणिक |A| को खोजने का प्रयास करेंगे। नीचे मैट्रिक्स संकेतन का सामान्य रूप है जिसका हम उपयोग करेंगे और हमारे मैट्रिक्स का एक उदाहरण:

		ए11	ए12	ए13		1	5	3
एम	=	ए21	ए22	ए23	=	2	4	7
		ए31	ए32	ए33		4	6	2

चरण 1. एक पंक्ति या स्तंभ का चयन करें।

अपने चयन को संदर्भ पंक्ति या स्तंभ बनाएं। आप जो भी चुनेंगे, आपको अभी भी वही उत्तर मिलेगा। अस्थायी रूप से पहली पंक्ति का चयन करें। हम आपको अगले भाग में गणना करने में आसान विकल्प चुनने के लिए कुछ सुझाव देंगे।

नमूना मैट्रिक्स ए की पहली पंक्ति का चयन करें। संख्या 1 5 3 को सर्कल करें। सामान्य नोटेशन में, सर्कल ए₁₁ ए₁₂ ए₁₃.

चरण 2. अपने पहले तत्व की पंक्ति और स्तंभ को क्रॉस आउट करें।

उस पंक्ति या स्तंभ को देखें जिस पर आपने चक्कर लगाया है और पहले तत्व का चयन करें। पंक्तियों और स्तंभों को पार करें। केवल 4 नंबर छूटे रहेंगे। इन 4 संख्याओं को 2 x 2 क्रम मैट्रिक्स बनाएं।

• हमारे उदाहरण में, हमारी संदर्भ पंक्ति 1 5 3 है। पहला तत्व पहली पंक्ति और पहले कॉलम में है। पूरी पहली पंक्ति और पहले कॉलम को क्रॉस आउट करें। शेष तत्वों को 2 x 2 मैट्रिक्स में लिखें:
• 1 5 3
• 2 4 7
• 4 6 2

चरण 3. 2 x 2 कोटि आव्यूह का सारणिक ज्ञात कीजिए।

याद रखें, मैट्रिक्स के निर्धारक का निर्धारण करें [^{ए_सी बी_डी] द्वारा विज्ञापन - बीसी. आपने 2 x 2 आव्यूह के बीच एक X खींचकर आव्यूह का सारणिक निर्धारित करना भी सीखा होगा। X की रेखा से जुड़ी दो संख्याओं को गुणा करें। फिर, रेखा से जुड़ी दो संख्याओं की संख्या घटाएं / हैं। 2 x 2 मैट्रिक्स के सारणिक की गणना करने के लिए इस सूत्र का उपयोग करें।}

• उदाहरण में, मैट्रिक्स का निर्धारक [^{4₆ 7₂}] = 4*2 - 7*6 = - 34.
• इस निर्धारक को कहा जाता है अवयस्क प्रारंभिक मैट्रिक्स में आपके द्वारा चुने गए तत्वों में से। इस मामले में, हमें अभी-अभी a. का नाबालिग मिला है₁₁.

चरण 4. आपके द्वारा चुने गए तत्व से मिली संख्या को गुणा करें।

याद रखें, आपने संदर्भ पंक्ति (या कॉलम) से तत्वों का चयन किया है, जब आपने तय किया था कि किन पंक्तियों और स्तंभों को काट देना है। इस तत्व को 2 x 2 मैट्रिक्स के निर्धारक से गुणा करें जो आपको मिला है।

उदाहरण में, हम चुनते हैं a₁₁ जो 1 है। 1*-34 = प्राप्त करने के लिए इस संख्या को -34 (2 x 2 मैट्रिक्स का निर्धारक) से गुणा करें। - 34.

चरण 5. अपने उत्तर का प्रतीक निर्धारित करें।

अगला चरण यह है कि प्राप्त करने के लिए आपको अपने उत्तर को 1 या -1 से गुणा करना होगा सहायक कारक आपके द्वारा चुने गए तत्व का। आपके द्वारा उपयोग किया जाने वाला प्रतीक इस बात पर निर्भर करता है कि तत्व 3 x 3 मैट्रिक्स में कहां हैं। याद रखें, इस प्रतीक तालिका का उपयोग आपके तत्व के गुणक को निर्धारित करने के लिए किया जाता है:

• + - +
• - + -
• + - +
• क्योंकि हम चुनते हैं a₁₁ जो एक + के रूप में चिह्नित है, हम संख्या को +1 से गुणा करेंगे (या दूसरे शब्दों में, इसे न बदलें)। जो उत्तर दिखाई देगा वह वही होगा, अर्थात् - 34.
• प्रतीक को परिभाषित करने का दूसरा तरीका सूत्र (-1) का उपयोग करना है ^{i+j जहां i और j पंक्ति और स्तंभ तत्व हैं।}

चरण 6. अपनी संदर्भ पंक्ति या कॉलम में दूसरे तत्व के लिए इस प्रक्रिया को दोहराएं।

मूल 3 x 3 मैट्रिक्स पर वापस लौटें, जिसमें आपने पहले पंक्ति या स्तंभ पर चक्कर लगाया था। तत्व के साथ एक ही प्रक्रिया को दोहराएं:

• तत्व की पंक्ति और स्तंभ को पार करें।

  इस मामले में, तत्व का चयन करें a₁₂ (जिसकी कीमत 5 है)। पहली पंक्ति (1 5 3) और दूसरे कॉलम (5 4 6) को पार करें।

• शेष तत्वों को 2x2 मैट्रिक्स में बदल दें।

  हमारे उदाहरण में, दूसरे तत्व के लिए 2x2 ऑर्डर मैट्रिक्स है [²₄ ⁷₂].

• इस 2x2 मैट्रिक्स के सारणिक का निर्धारण करें।

  विज्ञापन-बीसी सूत्र का प्रयोग करें। (2*2 - 7*4 = -24)

• अपने चुने हुए 3x3 मैट्रिक्स के तत्वों से गुणा करें।

  -24 * 5 = -120

• तय करें कि उपरोक्त परिणाम को -1 से गुणा करना है या नहीं।

  प्रतीकों या सूत्रों की तालिका का उपयोग करें (-1)^{आईजेयू}. तत्व का चयन करें a₁₂ प्रतीक - प्रतीक तालिका में। हमारे उत्तर चिह्न को इसके साथ बदलें: (-1)*(-120) = 120.

चरण 7. तीसरे तत्व के लिए भी यही प्रक्रिया दोहराएं।

सारणिक को निर्धारित करने के लिए आपके पास एक और सहकारक है। अपनी संदर्भ पंक्ति या स्तंभ में तीसरे तत्व के लिए i गिनें। यहाँ सहकारक की गणना करने का एक त्वरित तरीका है a₁₃ हमारे उदाहरण में:

• पाने के लिए पहली पंक्ति और तीसरे कॉलम को क्रॉस आउट करें [²₄ ⁴₆].
• सारणिक 2*6 - 4*4 = -4 है।
• तत्व a. से गुणा करें₁₃: -4 * 3 = -12.
• तत्व ए₁₃ प्रतीक तालिका में प्रतीक + है, तो उत्तर है - 12.

चरण 8. अपनी तीन गणनाओं के परिणाम जोड़ें।

यह अंतिम चरण है। आपने तीन सहकारकों की गणना की है, एक पंक्ति या स्तंभ में प्रत्येक तत्व के लिए। उन परिणामों को जोड़ें और आपको 3 x 3 मैट्रिक्स का सारणिक मिलेगा।

उदाहरण में, मैट्रिक्स का निर्धारक है - 34 + 120 + - 12 = 74.

2 का भाग 2: समस्या को हल करना आसान बनाना

चरण 1. उन संदर्भों की पंक्ति या स्तंभ का चयन करें जिनमें सबसे अधिक 0 हैं।

याद रखें, आप अपनी पसंद की कोई भी पंक्ति या कॉलम चुन सकते हैं। आप जो भी चुनेंगे, उत्तर वही होगा। यदि आप संख्या 0 के साथ एक पंक्ति या स्तंभ का चयन करते हैं, तो आपको केवल उन तत्वों के साथ सहकारक की गणना करने की आवश्यकता है जो 0 नहीं हैं क्योंकि:

• उदाहरण के लिए, दूसरी पंक्ति का चयन करें जिसमें तत्व है a₂₁, ए₂₂, निधि₂₃. इस समस्या को हल करने के लिए, हम 3 भिन्न 2 x 2 मैट्रिक्स का उपयोग करेंगे, मान लीजिए A₂₁, ए₂₂, आप₂₃.
• 3x3 मैट्रिक्स का निर्धारक है a₂₁|ए₂₁| - ए₂₂|ए₂₂| + ए₂₃|ए₂₃|.
• यदि एक₂₂ निधि₂₃ मान 0, मौजूदा सूत्र होगा a₂₁|ए₂₁| - 0*|ए₂₂| + 0*|ए₂₃| = ए₂₁|ए₂₁| - 0 + 0 = ए₂₁|ए₂₁|. इसलिए, हम केवल एक तत्व के सहसंयोजक की गणना करेंगे।

चरण 2. मैट्रिक्स की समस्याओं को आसान बनाने के लिए अतिरिक्त पंक्तियों का उपयोग करें।

यदि आप एक पंक्ति से मान लेते हैं और उन्हें दूसरी पंक्ति में जोड़ते हैं, तो मैट्रिक्स का निर्धारक नहीं बदलेगा। कॉलम के लिए भी यही सच है। आप इसे बार-बार कर सकते हैं या मैट्रिक्स में अधिक से अधिक 0 प्राप्त करने के लिए इसे जोड़ने से पहले एक स्थिरांक से गुणा कर सकते हैं। यह बहुत समय बचा सकता है।

• उदाहरण के लिए, आपके पास 3 पंक्तियों वाला एक मैट्रिक्स है: [9 -1 2] [3 1 0] [7 5 -2]
• संख्या 9 को समाप्त करने के लिए जो स्थिति a. में है₁₁, आप दूसरी पंक्ति में मान को -3 से गुणा कर सकते हैं और परिणाम को पहली पंक्ति में जोड़ सकते हैं। अब, नई पहली पंक्ति [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2] है।
• नए मैट्रिक्स में पंक्तियां हैं [0 -4 2] [3 1 0] [7 5 -2]। कॉलम बनाने के लिए इसी ट्रिक का प्रयोग करें a₁₂ संख्या 0 हो।

चरण 3. त्रिकोणीय मैट्रिक्स के लिए त्वरित विधि का प्रयोग करें।

इस विशेष मामले में, निर्धारक मुख्य विकर्ण पर तत्वों का उत्पाद है, a. का₁₁ ऊपर बाईं ओर a₃₃ मैट्रिक्स के नीचे दाईं ओर। यह मैट्रिक्स अभी भी एक 3x3 मैट्रिक्स है, लेकिन "त्रिकोण" मैट्रिक्स में संख्याओं का एक विशेष पैटर्न है जो 0 नहीं है:

• ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स: सभी तत्व जो 0 नहीं हैं, मुख्य विकर्ण पर या ऊपर हैं। मुख्य विकर्ण के नीचे की सभी संख्याएँ 0 हैं।
• निचला त्रिकोणीय मैट्रिक्स: सभी तत्व जो 0 नहीं हैं, मुख्य विकर्ण पर या नीचे हैं।
• विकर्ण मैट्रिक्स: सभी तत्व जो 0 नहीं हैं, मुख्य विकर्ण (उपरोक्त प्रकार के मैट्रिक्स का सबसेट) पर हैं।

टिप्स

• यदि किसी पंक्ति या स्तंभ के सभी तत्व 0 हैं, तो मैट्रिक्स का निर्धारक 0 है।
• इस विधि का उपयोग सभी प्रकार के द्विघात आव्यूहों के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप क्रम 4x4 के मैट्रिक्स के लिए इस पद्धति का उपयोग करते हैं, तो आपका "स्ट्राइक" क्रम 3x3 का एक मैट्रिक्स छोड़ देगा जिसका निर्धारक ऊपर दिए गए चरणों का पालन करके निर्धारित किया जा सकता है। याद रखें, ऐसा करना उबाऊ हो सकता है!