तीन की घात के लिए एक बहुपद का गुणनखंड कैसे करें: 12 कदम

2024 लेखक: Jason Gerald | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-15 08:15

यह एक घन बहुपद का गुणनखंडन करने का एक लेख है। हम यह पता लगाएंगे कि समूहों का उपयोग करने के साथ-साथ स्वतंत्र शब्दों से कारकों का उपयोग कैसे करें।

कदम

विधि 1: 2 में से: समूहीकरण द्वारा फैक्टरिंग

चरण 1. बहुपद को दो भागों में बांटें।

एक बहुपद को दो भागों में समूहित करने से आप प्रत्येक भाग को अलग-अलग तोड़ सकते हैं।

मान लीजिए कि हम एक बहुपद का प्रयोग करते हैं: x³ + 3x² - 6x - 18 = 0. (x.) में विभाजित करें³ + 3x²) और (- 6x - 18)।

चरण 2. प्रत्येक खंड में समान गुणनखंड ज्ञात कीजिए।

• से (x³ + 3x²), हम देख सकते हैं कि वही गुणनखंड x. है².
• (- 6x - 18) से, हम देख सकते हैं कि समान गुणनखंड -6 है।

चरण 3. दोनों पदों में से समान गुणनखंड लीजिए।

• कारक x. निकालें² पहले भाग से, हम x. प्राप्त करते हैं²(एक्स + 3)।
• दूसरे भाग में से गुणनखंड -6 निकालने पर, हमें -6(x + 3) प्राप्त होता है।

चरण 4. यदि दोनों पदों में से प्रत्येक का गुणनखंड समान है, तो आप गुणनखंडों को एक साथ जोड़ सकते हैं।

आपको मिलेगा (x + 3)(x² - 6).

चरण 5. समीकरण के मूलों को देखकर उत्तर ज्ञात कीजिए।

यदि आपके पास x. है² समीकरण के मूल में, याद रखें कि धनात्मक और ऋणात्मक दोनों संख्याएँ समीकरण को संतुष्ट करेंगी।

उत्तर -3, 6 और -√6 हैं।

विधि २ में से २: मुफ़्त शर्तों का उपयोग करके फ़ैक्टर करना

चरण 1. समीकरण को aX. के रूप में पुनर्व्यवस्थित करें³+बीएक्स²+सीएक्स+घ.

मान लीजिए कि हम एक बहुपद का प्रयोग करते हैं: x³ - 4x² - 7x + 10 = 0.

चरण 2. "d" के सभी गुणनखंड ज्ञात कीजिए।

स्थिरांक "d" एक ऐसी संख्या है जिसमें कोई चर नहीं होता है, जैसे कि "x", इसके आगे।

गुणनखंड वे संख्याएँ हैं जिन्हें एक साथ गुणा करके दूसरी संख्या प्राप्त की जा सकती है। इस मामले में, 10 के गुणनखंड, जो कि "डी" है, हैं: 1, 2, 5, और 10

चरण 3. एक गुणनखंड ज्ञात कीजिए जो बहुपद को शून्य के बराबर बनाता है।

जब हम समीकरण में प्रत्येक "x" में कारकों को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें यह निर्धारित करना चाहिए कि कौन से कारक बहुपद को शून्य के बराबर बनाते हैं।

• पहले कारक से शुरू करें, जो कि 1 है। समीकरण में प्रत्येक "x" के लिए "1" को प्रतिस्थापित करें:

  (1)³ - 4(1)² - 7(1) + 10 = 0.

• आपको मिलेगा: १ - ४ - ७ + १० = ०।
• चूँकि 0 = 0 एक सत्य कथन है, आप जानते हैं कि x = 1 उत्तर है।

चरण 4. कुछ सेटिंग्स करें।

यदि x = 1 है, तो आप कथन का अर्थ बदले बिना इसे थोड़ा अलग दिखाने के लिए पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं।

"x = 1" "x - 1 = 0" जैसा ही है। आप समीकरण के प्रत्येक पक्ष से केवल "1" घटाते हैं।

चरण 5. शेष समीकरण से समीकरण का मूल गुणनखंड लीजिए।

"(x - 1)" समीकरण का मूल है। जाँच करें कि क्या आप शेष समीकरण का गुणनखंड कर सकते हैं। एक-एक करके बहुपदों को निकालिए।

• क्या आप x. में से (x - 1) का गुणनखंड कर सकते हैं³? नहीं। लेकिन आप उधार ले सकते हैं -x² दूसरे चर का, तो आप इसका गुणनखंड कर सकते हैं: x²(एक्स - 1) = एक्स³ - एक्स².
• क्या आप दूसरे चर के शेष भाग में से (x - 1) का गुणनखंड कर सकते हैं? नहीं। आपको तीसरे वेरिएबल से थोड़ा सा उधार लेना होगा। आपको -7x से 3x उधार लेना होगा। यह परिणाम देगा -3x(x - 1) = -3x² + 3x।
• चूँकि आपने -7x में से 3x लिया है, तीसरा चर -10x हो जाता है और स्थिरांक 10 हो जाता है। क्या आप इसका गुणनखंड कर सकते हैं? हां! -10(x - 1) = -10x + 10.
• आप जो करते हैं वह चर सेट करता है ताकि आप पूरे समीकरण से कारक (x - 1) निकाल सकें। आप समीकरण को कुछ इस तरह पुनर्व्यवस्थित करते हैं: x³ - एक्स² - 3x² + 3x - 10x + 10 = 0, लेकिन समीकरण अभी भी x. के बराबर है³ - 4x² - 7x + 10 = 0.

चरण 6. स्वतंत्र पद के गुणनखंडों से प्रतिस्थापित करना जारी रखें।

चरण 5 में (x - 1) का उपयोग करके आप जिस संख्या का गुणनखंडन करते हैं, उसे देखें:

• एक्स²(x - १) - ३x (x - १) - १० (x - १) = ०। आप इसे एक बार फिर से कारक बनाना आसान बनाने के लिए पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं: (x - १)(x² - 3x - 10) = 0।
• यहां, आपको केवल कारक (x.) की आवश्यकता है² - 3x - 10)। फैक्टरिंग का परिणाम (x + 2)(x - 5) है।

चरण 7. आपका उत्तर समीकरण का गुणनखंडित मूल है।

आप मूल समीकरण में प्रत्येक उत्तर को अलग-अलग जोड़कर जांच सकते हैं कि आपका उत्तर सही है या नहीं।

• (x - 1)(x + 2)(x - 5) = 0. इससे 1, -2 और 5 के उत्तर मिलेंगे।
• समीकरण में प्लग -2: (-2)³ - 4(-2)² - 7(-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0.
• समीकरण में 5 प्लग करें: (5)³ - 4(5)² - 7(5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0.

टिप्स

• ऐसा कोई घन बहुपद नहीं है जिसे वास्तविक संख्याओं का उपयोग करके गुणा नहीं किया जा सकता है क्योंकि प्रत्येक घन का हमेशा एक वास्तविक मूल होता है। x. जैसा घन बहुपद³ + x + 1 जिसका एक अपरिमेय वास्तविक मूल है, उसे पूर्णांक या परिमेय गुणांक वाले बहुपद में विभाजित नहीं किया जा सकता है। यद्यपि इसे घन सूत्र द्वारा गुणनखंडित किया जा सकता है, इसे पूर्णांक बहुपद के रूप में कम नहीं किया जा सकता है।
• एक घन बहुपद तीन बहुपदों का गुणनफल एक की घात या एक बहुपद का गुणनफल एक की घात और एक बहुपद का गुणनफल दो के घात का गुणनफल होता है। उत्तरार्द्ध जैसी स्थितियों के लिए, आप दूसरी शक्ति बहुपद प्राप्त करने के लिए पहली शक्ति बहुपद को खोजने के बाद लंबे विभाजन का उपयोग करते हैं।