किसी संख्या के गुणनखंड वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें उस संख्या को प्राप्त करने के लिए गुणा किया जा सकता है। इसे देखने का दूसरा तरीका यह है कि प्रत्येक संख्या कई कारकों का गुणनफल होती है। कारक बनाना सीखना - यानी, किसी संख्या को उसके घटक कारकों में तोड़ना - एक गणितीय कौशल है जिसका उपयोग न केवल बुनियादी अंकगणित में बल्कि बीजगणित, कलन और अन्य में भी किया जाता है। कारक बनाना सीखना शुरू करने के लिए नीचे चरण 1 देखें!
कदम
विधि 1 में से 2: मूल पूर्णांकों का गुणनखंड करना
चरण 1. अपना नंबर लिखें।
फैक्टरिंग शुरू करने के लिए, आपको केवल संख्याएं चाहिए - कोई भी संख्या मायने नहीं रखती, लेकिन, इस मामले में, आइए सरल पूर्णांकों का उपयोग करें। एक पूर्णांक एक संख्या है जो न तो एक अंश है और न ही एक दशमलव (सभी सकारात्मक और नकारात्मक पूर्ण संख्याएं पूर्णांक हैं)।
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मान लीजिए हम संख्या चुनते हैं
चरण 12.. इस नंबर को एक कागज के टुकड़े पर लिख लें।
चरण 2. उन दो संख्याओं को ज्ञात कीजिए जिन्हें गुणा करने पर आपका पहला अंक प्राप्त होता है।
किसी भी पूर्णांक को दो अन्य पूर्णांकों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। यहां तक कि अभाज्य संख्याओं को भी संख्या से 1 को गुणा करने के परिणाम के रूप में लिखा जा सकता है। किसी संख्या को दो कारकों के गुणनफल के रूप में सोचने के लिए पिछड़ी सोच की आवश्यकता होती है - आपको अपने आप से पूछना होगा कि यह संख्या किस गुणन से उत्पन्न होती है?
- हमारे उदाहरण में, 12 के कई गुणनखंड हैं - 12 × 1, 6 × 2, और 3 × 4 बराबर 12। इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि 12 के गुणनखंड हैं 1, 2, 3, 4, 6, और 12. इस उद्देश्य के लिए, आइए कारक 6 और 2 का उपयोग करें।
- सम संख्याओं का गुणनखंड करना बहुत आसान है क्योंकि प्रत्येक पूर्णांक का गुणनखंड 2 होता है। 4 = 2 × 2, 26 = 13 × 2, इत्यादि।
चरण 3. निर्धारित करें कि क्या आपका कारक अभी भी कारक हो सकता है।
कई संख्याएँ - विशेष रूप से बड़ी संख्याएँ - अभी भी कई बार गुणनखंडित की जा सकती हैं। जब आप किसी संख्या के दो गुणनखंड पाते हैं, यदि एक में एक गुणनखंड है, तो आप इस संख्या को गुणनखंड के अनुसार गुणनखंड कर सकते हैं। स्थिति के आधार पर, ऐसा करना फायदेमंद या नुकसानदेह हो सकता है।
उदाहरण के लिए, हमारे उदाहरण में, हमने 12 को 2 × 6 में विभाजित किया है। ध्यान दें कि 6 का अपना गुणनखंड है - 3 × 2 = 6। इसलिए, हम कह सकते हैं कि 12 = 2 × (3 × 2).
चरण 4. यदि आपको कोई अभाज्य संख्या मिलती है तो फ़ैक्टरिंग बंद कर दें।
एक अभाज्य संख्या एक ऐसी संख्या है जिसे केवल स्वयं से विभाजित किया जा सकता है और 1. उदाहरण के लिए, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13 और 17 अभाज्य संख्याएँ हैं। यदि आप किसी संख्या का गुणनखंड करते हैं और परिणाम एक अभाज्य संख्या है, तो गुणनखंड जारी रखना व्यर्थ है। इसे अपने आप में एक बार में विभाजित करने का कोई मतलब नहीं है, इसलिए इसे रोक दें।
हमारे उदाहरण में, हमने 12 को 2 × (2 × 3) में विभाजित किया है। 2, 2 और 3 अभाज्य संख्याएँ हैं। यदि हम इसे फिर से कारक बनाते हैं, तो हमें इसे (2 × 1) × ((2 × 1)(3 × 1)) में विभाजित करना होगा, जो कि बेकार है, इसलिए इसे टालना सबसे अच्छा है।
चरण 5. इसी तरह ऋणात्मक संख्याओं का गुणनखंड करें।
ऋणात्मक संख्याओं को धनात्मक संख्याओं की तरह ही गुणनखंडित किया जा सकता है। अंतर यह है कि गुणनखंडों को गुणा करने पर संख्या का उत्पादन करना चाहिए, इसलिए यदि कोई भी कारक संख्या ऋणात्मक होना चाहिए।
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उदाहरण के लिए, आइए कारक -60 लें। निम्नलिखित देखें:
- -60 = -10 × 6
- -60 = (-5 × 2) × 6
- -60 = (-5 × 2) × (3 × 2)
- -60 = - 5 × 2 × 3 × 2. ध्यान दें कि एक ऋणात्मक संख्या और कई विषम संख्याओं के ऋणात्मक संख्याओं के गुणनफल का परिणाम समान होगा। उदाहरण के लिए, - 5 × 2 × -3 × -2 भी 60 के बराबर है।
विधि 2 का 2: बड़ी संख्या के गुणनखंड करने की रणनीति
चरण 1. ऊपर अपने नंबरों को 2 कॉलम टेबल में लिखें।
हालांकि आमतौर पर छोटे पूर्णांकों को फ़ैक्टर करना आसान होता है, लेकिन बड़े पूर्णांकों को फ़ैक्टर करना भ्रामक हो सकता है। हम में से अधिकांश लोगों को गणित का उपयोग करके 4 या 5 अंकों वाली किसी संख्या को उसके अभाज्य तक हल करने में निराशा होगी। सौभाग्य से, तालिकाओं का उपयोग करने से यह प्रक्रिया बहुत आसान हो जाती है। ऊपर अपने नंबरों को टी-आकार की तालिका में 2 कॉलम के साथ लिखें - आप इस तालिका का उपयोग अपने फैक्टरिंग को रिकॉर्ड करने के लिए करेंगे।
इस उदाहरण के लिए, आइए गुणनखंड के लिए 4 अंकों की संख्या चुनें - 6.552.
चरण 2. अपनी संख्या को सबसे छोटे संभावित अभाज्य गुणनखंड से विभाजित करें।
अपनी संख्या को सबसे छोटे अभाज्य गुणनखंड (1 के अलावा अन्य) से विभाजित करें ताकि इसमें कोई शेष न रहे। बाएँ कॉलम में अभाज्य गुणनखंड लिखिए और दाएँ कॉलम में अपना विभाजन उत्तर लिखिए। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, सम संख्याओं का गुणन करना बहुत आसान है क्योंकि उनका सबसे छोटा अभाज्य गुणनखंड हमेशा 2 होता है। हालाँकि, विषम संख्याओं में सबसे छोटे अभाज्य गुणनखंड होते हैं।
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हमारे उदाहरण में, चूंकि 6.552 एक सम संख्या है, हम जानते हैं कि सबसे छोटा अभाज्य गुणनखंड 2 है। 6.552 2 = 3.276। बाएं कॉलम में हम लिखते हैं
चरण 2। और दाएं कॉलम में लिखें 3.276.
चरण 3. इस तरह से फैक्टरिंग नंबर जारी रखें।
इसके बाद, दाएं कॉलम में संख्या को उसके सबसे छोटे अभाज्य गुणनखंड से गुणा करें, न कि तालिका के शीर्ष पर संख्या। बाएं कॉलम में अभाज्य गुणनखंड और दाएं कॉलम में नया नंबर लिखें। इस प्रक्रिया को दोहराते रहें - प्रत्येक पुनरावृत्ति के साथ, दाहिने कॉलम में संख्या घटती जाएगी।
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हमारी प्रक्रिया जारी रखें। ३.२७६ २ = १.६३८, इसलिए बाएं कॉलम के नीचे, हम संख्या लिखेंगे
चरण 2। फिर से, और दाएँ कॉलम के नीचे, हम लिखेंगे 1.638. १,६३८ २ = ८१९, इसलिए हम लिखेंगे
चरण 2। तथा 819 पिछले कॉलम के तहत।
चरण 4. छोटे अभाज्य गुणनखंडों को आजमाकर विषम संख्याओं का गुणनखंड करें।
सम संख्या की तुलना में विषम संख्या का सबसे छोटा अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करना अधिक कठिन है क्योंकि सबसे छोटा अभाज्य गुणनखंड 2 नहीं है। यदि आप एक विषम संख्या का सामना करते हैं, तो 2 - 3, 5, 7 के अलावा किसी अन्य छोटी अभाज्य संख्या से विभाजित करने का प्रयास करें।, 11, और इसी तरह - जब तक आपको वह गुणनखंड न मिल जाए जो इसे बिना किसी शेषफल के विभाजित कर सकता है। यह संख्या का सबसे छोटा अभाज्य गुणनखंड है।
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हमारे उदाहरण में, हम 819 पाते हैं। 819 एक विषम संख्या है, इसलिए 2 819 का कारक नहीं है। संख्या 2 लिखने के बजाय, हम अगली अभाज्य संख्या का प्रयास करते हैं जो कि 3. 819 3 = 273 है और कोई शेष नहीं है, तो हम लिखते हैं
चरण 3। तथा 273.
- कारकों का अनुमान लगाते समय, आपको पाए गए सबसे बड़े कारक के वर्गमूल तक सभी अभाज्य संख्याओं का प्रयास करना चाहिए। यदि आपको कोई ऐसा गुणनखंड नहीं मिल रहा है जो बिना किसी शेषफल के किसी संख्या को विभाजित करता है, तो यह संभवत: एक अभाज्य संख्या है और आप गुणन प्रक्रिया को रोक देते हैं।
चरण 5. तब तक जारी रखें जब तक आपको नंबर 1 न मिल जाए।
दाहिने कॉलम में संख्याओं को उनके सबसे छोटे अभाज्य गुणनखंड का उपयोग करके तब तक विभाजित करना जारी रखें जब तक कि आपको दाहिने कॉलम में अभाज्य संख्याएँ न मिल जाएँ। इस संख्या को अपने आप से विभाजित करें - ताकि दाएँ स्तंभ में संख्या और दाएँ स्तंभ में 1 बनी रहे।
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हमारे नंबर का फैक्टरिंग पूरा करें। विस्तृत विश्लेषण के लिए निम्नलिखित देखें:
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फिर से 3 से विभाजित करें: 273 3 = 91, कोई शेष नहीं, इसलिए हम लिखते हैं
चरण 3। तथा 91.
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आइए संख्या ३ को फिर से देखें: ३ ९१ का एक कारक नहीं है, और अगला अभाज्य (५) भी एक कारक नहीं है, लेकिन ९१ ७ = १३, शेष के बिना, इसलिए हम लिखते हैं
चरण 7. दास
चरण 13..
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आइए संख्या 7 को फिर से देखें: 7 13 का गुणनखंड नहीं है, और अगली अभाज्य संख्या (11) भी एक कारक नहीं है, लेकिन यह स्वयं से विभाज्य है: 13 13 = 1. इसलिए, अपनी तालिका को पूरा करने के लिए, हम लिखते हैं
चरण 13. दास
चरण 1।. फैक्टरिंग पूर्ण।
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चरण 6. बाएं कॉलम में संख्याओं को अपनी संख्याओं के कारक के रूप में उपयोग करें।
यदि आपने सही कॉलम में 1 पाया है, तो फैक्टरिंग पूरी हो गई है। बाएं कॉलम में संख्याएं कारक हैं। दूसरे शब्दों में, यदि आप इन सभी संख्याओं को गुणा करते हैं, तो आपको वह संख्या प्राप्त होगी जो तालिका में सबसे ऊपर है। यदि एक ही कारक कई बार आता है, तो आप स्थान बचाने के लिए वर्ग चिह्न का उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि 2 के 4 गुणनखंड हैं, तो आप 2. लिख सकते हैं4 बनाम 2×2×2×2 लिखना।
हमारे उदाहरण में, 6.552 = 23 × 32 × 7 × 13. यह अभाज्य गुणनखंडों में 6,552 का पूर्ण गुणनखंड है। इन नंबरों के क्रम का कोई प्रभाव नहीं पड़ेगा; उत्पाद अभी भी 6,552 होगा।
टिप्स
- एक और महत्वपूर्ण बात संख्या की अवधारणा है प्रधान: एक संख्या जिसके केवल दो गुणनखंड हैं, 1 और स्वयं। 3 एक अभाज्य संख्या है क्योंकि इसके गुणनखंड केवल 1 और 3 हैं। हालाँकि, 4 का गुणनखंड 2 है। वे संख्याएँ जो अभाज्य नहीं हैं, संमिश्र कहलाती हैं। (हालांकि, संख्या 1 न तो अभाज्य है और न ही संयुक्त - यह विशेष है)।
- सबसे छोटी अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 और 23 हैं।
- समझें कि एक संख्या है फ़ैक्टर दूसरी संख्या - ताकि बड़ी संख्या को छोटी संख्या से बिना किसी शेषफल के विभाजित किया जा सके। उदाहरण के लिए, 6 24 का एक गुणनखंड है क्योंकि 24 6 = 4 और कोई शेष नहीं है। हालांकि, 6, 25 का गुणनखंड नहीं है।
- ध्यान रखें कि हम केवल प्राकृत संख्याओं के बारे में बात कर रहे हैं - जिन्हें कभी-कभी काउंटिंग नंबर कहा जाता है: 1, 2, 3, 4, 5… हम ऋणात्मक संख्याओं या भिन्नों को फैक्टरिंग नहीं करेंगे, क्योंकि वे इस लेख के लिए उपयुक्त नहीं हैं।
- कुछ संख्याओं को तेज़ तरीके से फ़ैक्टर किया जा सकता है, लेकिन यह हर समय काम करता है, एक बोनस के रूप में, प्राइम फ़ैक्टर सबसे छोटे से सबसे बड़े में सॉर्ट किए जाते हैं जब आपका काम पूरा हो जाता है।
- यदि संख्याओं को जोड़ा जाता है और तीन के गुणज होते हैं, तो संख्या का एक गुणनखंड तीन होता है। (819 = 8+1+9 = 18, 1+8 =9. तीन, 9 का एक गुणनखंड है इसलिए यह 819 का गुणनखंड है।)
