एक त्रिपद का गुणनखंड करने के 3 तरीके

2024 लेखक: Jason Gerald | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-15 08:15

त्रिपद एक बीजीय व्यंजक है जिसमें तीन पद होते हैं। सबसे अधिक संभावना है, आप सीखना शुरू कर देंगे कि द्विघात ट्रिनोमियल का कारक कैसे बनाया जाता है, जिसका अर्थ है कि फॉर्म कुल्हाड़ी में लिखा गया ट्रिनोमियल² + बीएक्स + सी। सीखने के लिए कुछ तरकीबें हैं, जिनका उपयोग कई अलग-अलग प्रकार के द्विघात त्रिपदों के लिए किया जा सकता है, लेकिन आप अभ्यास के साथ उनका बेहतर और तेज़ उपयोग कर पाएंगे। उच्च क्रम के बहुपद, x. जैसे पदों के साथ³ या x⁴, हमेशा एक ही तरीके से हल नहीं किया जा सकता है, लेकिन आप अक्सर साधारण फ़ैक्टरिंग या प्रतिस्थापन का उपयोग करके इसे एक ऐसी समस्या में बदल सकते हैं जिसे किसी अन्य द्विघात सूत्र की तरह हल किया जा सकता है।

कदम

विधि 1 का 3: गुणनखंड x² + बीएक्स + सी

चरण 1. पीएलडीटी गुणन सीखें।

आपने (x+2)(x+4) जैसे व्यंजकों को गुणा करने के लिए PLDT, या "फर्स्ट, आउटसाइड, इन, लास्ट" को गुणा करना सीख लिया होगा। यह जानना उपयोगी है कि यह गुणन हमारे कारक से पहले कैसे काम करता है:

• जनजातियों को गुणा करें प्रथम: (एक्स+2)(एक्स+4) = एक्स² + _

• जनजातियों को गुणा करें बाहर: (एक्स+2)(एक्स+

  चरण 4।) = एक्स²+ 4 एक्स + _

• जनजातियों को गुणा करें में: (एक्स+

  चरण 2।)(एक्स+4) = एक्स²+4x+ 2x + _

• जनजातियों को गुणा करें अंतिम: (एक्स+

  चरण 2।)(एक्स

  चरण 4।) = एक्स²+4x+2x

  चरण 8.

• सरल करें: x²+4x+2x+8 = x²+6x+8

चरण 2. फैक्टरिंग को समझें।

जब आप PLDT पद्धति का उपयोग करके दो द्विपदों को गुणा करते हैं, तो आपको a x के रूप में एक त्रिपद (तीन पदों वाला व्यंजक) प्राप्त होता है।²+ b x+ c, जहाँ a, b और c साधारण संख्याएँ हैं। यदि आप एक समान रूप वाले समीकरण से शुरू करते हैं, तो आप इसे वापस दो द्विपदों में विभाजित कर सकते हैं।

• यदि समीकरणों को इस क्रम में नहीं लिखा गया है, तो समीकरणों को इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित करें कि उनके पास यह क्रम हो। उदाहरण के लिए, फिर से लिखें 3x - 10 + x² हो जाता है एक्स² + 3x - 10.
• क्योंकि उच्चतम शक्ति 2 (x.) है², इस प्रकार के व्यंजक को द्विघात कहते हैं।

चरण 3. पीएलडीटी गुणन के रूप में उत्तर के लिए एक खाली जगह छोड़ दें।

अभी के लिए, बस लिखें (_ _)(_ _) जहां आप उत्तर लिखेंगे। हम इस पर काम करते हुए इसे भरेंगे

खाली पदों के बीच में + या – न लिखें क्योंकि हम अभी तक सही चिह्न नहीं जानते हैं।

चरण 4. पहले पदों को भरें।

साधारण समस्याओं के लिए, आपके त्रिपद का पहला पद सिर्फ x. है², पहली स्थिति में शर्तें हमेशा होती हैं एक्स तथा एक्स. ये x. पद के गुणनखंड हैं² क्योंकि x गुना x = x².

• हमारा उदाहरण x² + 3x - 10 x. से शुरू², तो हम लिख सकते हैं:
• (एक्स _) (एक्स _)
• हम अगले भाग में अधिक जटिल समस्याओं पर काम करेंगे, जिसमें 6x. जैसे शब्दों से शुरू होने वाले त्रिपद शामिल हैं² या -x². इस बीच, इन नमूना प्रश्नों का पालन करें।

चरण 5. अंतिम शब्दों का अनुमान लगाने के लिए फैक्टरिंग का उपयोग करें।

यदि आप वापस जाते हैं और PLDT को गुणा करने के चरणों को पढ़ते हैं, तो आप देखेंगे कि अंतिम पदों को गुणा करने से बहुपद में अंतिम पद उत्पन्न होगा (ऐसे पद जिनमें x नहीं है)। तो गुणनखंड करने के लिए, हमें दो संख्याएँ ज्ञात करनी होंगी जिन्हें गुणा करने पर अंतिम पद प्राप्त होगा।

• हमारे उदाहरण में x² +3x - 10, अंतिम पद -10 है।
• -10 के कारक क्या हैं? किस संख्या को -10 से गुणा किया जाता है?
• कई संभावनाएं हैं: -1 गुना 10, 1 गुना -10, -2 गुना 5, या 2 गुना -5. इन जोड़ियों को याद करने के लिए कहीं लिख लें।
• अभी तक हमारे उत्तर को न बदलें। हमारा उत्तर अभी भी इस तरह दिखना चाहिए: (एक्स _) (एक्स _).

चरण 6. उन संभावनाओं का परीक्षण करें जो बाहरी और आंतरिक उत्पाद से मेल खाती हैं।

हमने अंतिम शर्तों को कुछ संभावनाओं तक सीमित कर दिया है। हर संभावना का परीक्षण करने के लिए परीक्षण प्रणाली का उपयोग करें, बाहरी और आंतरिक शब्दों को गुणा करें और उत्पाद की तुलना हमारे ट्रिनोमियल से करें। उदाहरण के लिए:

• हमारी मूल समस्या में "x" शब्द 3x था, इसलिए हमारे परीक्षा परिणाम इस शब्द से मेल खाना चाहिए।
• टेस्ट -1 और 10: (x-1)(x+10)। बाहर + अंदर = 10x - x = 9x। गलत।
• टेस्ट 1 और -10: (x+1)(x-10)। -10x + x = -9x। ये गलत है। वास्तव में, यदि आप -1 और 10 का परीक्षण करते हैं, तो आप पाएंगे कि 1 और -10 उपरोक्त उत्तर के विपरीत हैं: -9x के बजाय 9x।
• टेस्ट -2 और 5: (x-2)(x+5)। 5x - 2x = 3x। परिणाम प्रारंभिक बहुपद से मेल खाता है, इसलिए यहां सही उत्तर है: (एक्स-2)(एक्स+5).
• इस तरह के साधारण मामलों में, यदि आपके पास x. पद के सामने कोई स्थिरांक नहीं है², आप त्वरित तरीके से उपयोग कर सकते हैं: बस दो कारकों को जोड़ें और इसके पीछे एक "x" (-2+5 → 3x) लगाएं। हालांकि, यह विधि अधिक जटिल समस्याओं के लिए काम नहीं करती है, इसलिए ऊपर वर्णित "लंबा रास्ता" याद रखना बेहतर है।

विधि 2 का 3: अधिक जटिल त्रिपदों का गुणनखंड करना

चरण 1. अधिक जटिल समस्याओं को सरल बनाने के लिए सरल फैक्टरिंग का उपयोग करें।

उदाहरण के लिए, आपको कारक करना होगा 3x² + 9x - 30. एक संख्या खोजें जो सभी तीन शब्दों ("सबसे बड़ा सामान्य कारक" या जीसीएफ) का कारक हो। इस मामले में, GCF 3 है:

• 3x² = (3)(एक्स²)
• 9x = (3)(3x)
• -30 = (3)(-10)
• इस प्रकार, 3x² + 9x - 30 = (3)(x²+3x-10)। हम ऊपर दिए गए अनुभाग में दिए गए चरणों का उपयोग करके नए त्रिपद का गुणनखंड कर सकते हैं। हमारा अंतिम उत्तर होगा (3)(x-2)(x+5).

चरण 2. अधिक जटिल कारकों की तलाश करें।

कभी-कभी, फैक्टरिंग में एक चर शामिल हो सकता है, या आपको सरलतम संभव अभिव्यक्ति खोजने के लिए कई बार कारक बनाने की आवश्यकता हो सकती है। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

• 2x²वाई + 14xy + 24y = (2y)(एक्स² + 7x + 12)
• एक्स⁴ + 11x³ - 26x² = (एक्स²)(एक्स² +11x - 26)
• -एक्स² + 6x - 9 = (-1)(एक्स² - 6x + 9)
• विधि 1 में दिए चरणों का उपयोग करते हुए, नए त्रिपद को पुन: सक्रिय करना न भूलें। अपने काम की जाँच करें और इस पृष्ठ के निचले भाग के पास नमूना प्रश्नों में समान समस्याओं के उदाहरण देखें।

चरण 3. x. के सामने एक संख्या के साथ समस्याओं को हल करें².

कुछ द्विघात त्रिपदों को सरलतम प्रकार की समस्या में परिवर्तित नहीं किया जा सकता है। 3x. जैसी समस्याओं को हल करने का तरीका जानें² + १०x + ८, फिर इस पृष्ठ के नीचे नमूना प्रश्नों के साथ स्वयं अभ्यास करें:

• हमारे उत्तर को इस प्रकार सेट करें: (_ _)(_ _)
• हमारे "पहले" शब्दों में से प्रत्येक में एक x होगा, और उन्हें गुणा करने पर 3x. मिलता है². केवल एक ही संभावना है: (3x _) (एक्स _).
• 8 के गुणनखंडों की सूची बनाएं। ऑड्स 1 गुना 8 या 2 गुना 4 हैं।
• बाहरी और आंतरिक शब्दों का उपयोग करके इस संभावना का परीक्षण करें। ध्यान दें कि कारकों का क्रम बहुत महत्वपूर्ण है क्योंकि बाहरी शब्द को x के बजाय 3x से गुणा किया जाता है। जब तक आप आउट + इन = 10x (मूल समस्या से) प्राप्त नहीं कर लेते, तब तक हर संभावना का प्रयास करें:
• (3x+1)(x+8) → 24x+x = 25x नहीं
• (3x+8)(x+1) → 3x+8x = 11x नहीं
• (3x+2)(x+4) → 12x+2x=14x नहीं
• (3x+4)(x+2) → 6x+4x=10x हां. यह सही कारक है।

चरण 4. उच्च कोटि के त्रिपदों के लिए प्रतिस्थापन का प्रयोग करें।

आपकी गणित की किताब आपको उच्च शक्तियों वाले समीकरणों से चकित कर सकती है, जैसे कि x⁴, समस्या को आसान बनाने के लिए सरल फैक्टरिंग का उपयोग करने के बाद भी। एक नया चर प्रतिस्थापित करने का प्रयास करें जो इसे एक ऐसी समस्या में बदल देता है जिसे आप हल करना जानते हैं। उदाहरण के लिए:

• एक्स⁵+13x³+36x
• =(एक्स)(एक्स⁴+13x²+36)
• चलिए एक नया वेरिएबल बनाते हैं। मान लीजिए y = x² और इसमें डालें:
• (एक्स)(वाई²+13y+36)
• =(x)(y+9)(y+4). अब, इसे वापस प्रारंभिक चर में बदलें:
• =(एक्स)(एक्स²+9)(x²+4)
• = (एक्स) (एक्स ± 3) (एक्स ± 2)

विधि 3 का 3: विशेष मामलों का फैक्टरिंग

चरण 1. अभाज्य संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

यह देखने के लिए देखें कि क्या त्रिपद के पहले या तीसरे पद में स्थिरांक एक अभाज्य संख्या है। एक अभाज्य संख्या केवल स्वयं और 1 से विभाज्य होती है, इसलिए द्विपद कारकों की केवल एक संभावित जोड़ी होती है।

• उदाहरण के लिए, x. में² + 6x + 5, 5 एक अभाज्य संख्या है, इसलिए द्विपद (_ 5)(_ 1) के रूप में होना चाहिए।
• 3x. की समस्या में²+10x+8, 3 एक अभाज्य संख्या है, इसलिए द्विपद (3x _)(x _) के रूप में होना चाहिए।
• प्रश्नों के लिए 3x²+4x+1, 3 और 1 दोनों अभाज्य संख्याएँ हैं, इसलिए एकमात्र संभव समाधान (3x+1)(x+1) है। (अपने उत्तर की जांच के लिए आपको अभी भी इस संख्या को गुणा करना चाहिए क्योंकि कुछ व्यंजकों का गुणनखंड नहीं किया जा सकता है - उदाहरण के लिए, 3x²+100x+1 का कोई गुणनखंड नहीं है।)

चरण 2. ज्ञात कीजिए कि क्या त्रिपद एक पूर्ण वर्ग है।

एक पूर्ण वर्ग त्रिपद को दो समान द्विपदों में विभाजित किया जा सकता है, और कारक को आमतौर पर (x+1) के रूप में लिखा जाता है² और नहीं (x+1)(x+1)। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं जो प्रश्नों में प्रकट होते हैं:

• एक्स²+2x+1=(x+1)², और एक्स²-2x+1=(x-1)²
• एक्स²+4x+4=(x+2)², और एक्स²-4x+4=(x-2)²
• एक्स²+6x+9=(x+3)², और एक्स²-6x+9=(x-3)²
• x. के रूप में पूर्ण वर्ग त्रिपद² + बीएक्स + सी में हमेशा ए और सी शब्द होते हैं जो सकारात्मक पूर्ण वर्ग होते हैं (जैसे 1, 4, 9, 16, या 25) और एक शब्द बी (सकारात्मक या नकारात्मक) जो 2 (√a * √c) के बराबर होता है।.

चरण 3. पता करें कि क्या किसी समस्या का कोई समाधान नहीं है।

सभी त्रिपदों का गुणनखंड नहीं किया जा सकता है। यदि आप एक द्विघात त्रिपद (कुल्हाड़ी) का गुणनखंडन नहीं कर सकते हैं²+bx+c), उत्तर खोजने के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करें। यदि एकमात्र उत्तर ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल है, कोई वास्तविक संख्या समाधान नहीं है, तो समस्या का कोई गुणनखंड नहीं है।

गैर-वर्ग ट्रिनोमियल्स के लिए, आइज़ेंस्टीन मानदंड का उपयोग करें, जो कि टिप्स अनुभाग में वर्णित है।

उत्तर और नमूना प्रश्न

1. "जटिल फैक्टरिंग" प्रश्नों के उत्तर।

   ये "अधिक जटिल कारकों" चरण के प्रश्न हैं। हमने समस्याओं को आसान बना दिया है, इसलिए विधि 1 के चरणों का उपयोग करके उन्हें हल करने का प्रयास करें, फिर अपना काम यहां देखें:

   • (2y)(x² + 7x + 12) = (एक्स+3)(एक्स+4)
   • (एक्स²)(एक्स² + 11x - 26) = (एक्स+13)(एक्स-2)
   • (-1)(x² - 6x + 9) = (x-3)(x-3) = (एक्स-3)²

2. अधिक जटिल फैक्टरिंग समस्याओं का प्रयास करें।

   इन समस्याओं का प्रत्येक पद में एक ही कारक होता है जिसे पहले गुणनखंडित किया जाना चाहिए। उत्तर देखने के लिए बराबर चिह्न के बाद रिक्त स्थान को ब्लॉक करें ताकि आप अपने काम की जांच कर सकें:

   • 3x³+3x²-6x = (3x)(x+2)(x-1) उत्तर देखने के लिए रिक्त स्थान को ब्लॉक करें
   • -5x³आप²+30x²आप²-25y²एक्स = (-5xy^2)(x-5)(x-1)

3. प्रश्नों का प्रयोग करके अभ्यास करें. इन समस्याओं को आसान समीकरणों में विभाजित नहीं किया जा सकता है, इसलिए आपको परीक्षण और त्रुटि का उपयोग करके फॉर्म (_x + _)(_x + _) में उत्तर खोजना होगा:

   • 2x²उत्तर देखने के लिए +3x-5 = (2x+5)(x-1) ब्लॉक करें
   • 9x²+6x+1 = (3x+1)(3x+1)=(3x+1)² (संकेत: आप 9x के लिए एक से अधिक कारक युग्म आज़माना चाह सकते हैं।)

   टिप्स

   • यदि आप समझ नहीं पा रहे हैं कि कैसे एक द्विघात त्रिपद (कुल्हाड़ी) का गुणनखंड किया जाए²+bx+c), आप x को खोजने के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

   • जबकि आपको यह जानने की आवश्यकता नहीं है कि यह कैसे करना है, आप जल्दी से यह निर्धारित करने के लिए ईसेनस्टीन मानदंड का उपयोग कर सकते हैं कि क्या बहुपद को सरल और फैक्टर नहीं किया जा सकता है। यह मानदंड किसी भी बहुपद पर लागू होता है लेकिन ट्रिनोमियल के लिए सबसे अच्छा उपयोग किया जाता है। यदि कोई अभाज्य संख्या p है जो अंतिम दो पदों को समान रूप से विभाजित करती है और निम्नलिखित शर्तों को पूरा करती है, तो बहुपद को सरल नहीं बनाया जा सकता है:

     • स्थिर पद (बिना चर के) p के गुणज हैं लेकिन p के गुणज नहीं हैं².
     • उपसर्ग (उदाहरण के लिए, a in ax²+bx+c) p का गुणज नहीं है।
     • उदाहरण के लिए, 14x² +45x +51 को सरल नहीं बनाया जा सकता क्योंकि एक अभाज्य संख्या (3) है जो 45 और 51 दोनों से विभाज्य है, लेकिन 14 से विभाज्य नहीं है, और 51 3 से विभाज्य नहीं है².

   चेतावनी

   जबकि यह द्विघात ट्रिनोमियल्स के लिए सही है, जिस ट्रिनोमियल का गुणनखंड किया जा सकता है, वह जरूरी नहीं कि दो द्विपदों का गुणनफल हो। उदाहरण के लिए, x⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2)(x² - 5x + 23)।