जटिल भिन्नों को सरल कैसे करें: 9 कदम (चित्रों के साथ)

2024 लेखक: Jason Gerald | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-15 08:15

सम्मिश्र भिन्न वह भिन्न होती है जिसमें अंश, हर या दोनों में भी भिन्न होती है। इस कारण से जटिल भिन्नों को कभी-कभी "स्टैक्ड भिन्न" कहा जाता है। अंश और हर में कितनी संख्याएँ हैं, इस पर निर्भर करता है कि संख्याओं में से एक चर है, या चर संख्या की जटिलता के आधार पर जटिल अंशों को सरल बनाना आसान या कठिन हो सकता है। आरंभ करने के लिए नीचे चरण 1 देखें!

कदम

विधि 1 में से 2: व्युत्क्रम गुणन के साथ जटिल भिन्नों को सरल बनाना

चरण 1. यदि आवश्यक हो तो अंश और हर को एक भिन्न में सरल करें।

जटिल अंशों को हल करना हमेशा मुश्किल नहीं होता है। वास्तव में, जटिल अंश जिनके अंश और हर में एक ही अंश होता है, आमतौर पर हल करना काफी आसान होता है। इसलिए, यदि किसी सम्मिश्र भिन्न के अंश या हर (या दोनों) में अनेक भिन्न या भिन्न और एक पूर्णांक है, तो अंश और हर दोनों में एकल भिन्न प्राप्त करने के लिए इसे सरल करें। दो या दो से अधिक भिन्नों का अल्पतम समापवर्तक (LCM) ज्ञात कीजिए।

• उदाहरण के लिए, मान लें कि हम एक जटिल भिन्न (3/5 + 2/15)/(5/7 - 3/10) को सरल बनाना चाहते हैं। सबसे पहले, हम किसी सम्मिश्र भिन्न के अंश और हर दोनों को एक भिन्न में सरल करेंगे।

  • अंश को सरल बनाने के लिए, 3/5 को और 3/3 से गुणा करके प्राप्त एलसीएम 15 का उपयोग करें। अंश 9/15 + 2/15 होगा, जो 11/15 के बराबर होगा।
  • हर को सरल बनाने के लिए, हम 70 के एलसीएम परिणाम का उपयोग करेंगे जो कि 5/7 को 10/10 और 3/10 को 7/7 से गुणा करके प्राप्त किया जाता है। भाजक 50/70 - 21/70 होगा, जो 29/70 के बराबर होगा।
  • इस प्रकार, नया सम्मिश्र भिन्न है (11/15)/(29/70).

चरण 2. हर को उल्टा करके उसका व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए।

परिभाषा के अनुसार, एक संख्या को दूसरी संख्या से विभाजित करना पहली संख्या को दूसरी संख्या के व्युत्क्रम से गुणा करने के समान है। अब जबकि हमारे पास अंश और हर दोनों में एक भिन्न के साथ एक सम्मिश्र भिन्न है, हम इस विभाजन का उपयोग सम्मिश्र भिन्न को सरल बनाने के लिए करेंगे। सबसे पहले, सम्मिश्र भिन्न के तल पर भिन्न का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए। भिन्न को "उलटा" करके ऐसा करें - अंश को हर के स्थान पर और इसके विपरीत में रखें।

• हमारे उदाहरण में, सम्मिश्र भिन्न (11/15)/(29/70) के हर में भिन्न 29/70 है। व्युत्क्रम खोजने के लिए, हम इसे "उलटा" करते हैं ताकि हम प्राप्त करें 70/29.

  ध्यान दें कि यदि किसी सम्मिश्र भिन्न के हर में एक पूर्णांक है, तो हम इसे भिन्न के रूप में मान सकते हैं और इसका व्युत्क्रम ज्ञात कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि सम्मिश्र भिन्न (11/15)/(29) है, तो हम हर को 29/1 बना सकते हैं, जिसका अर्थ है कि व्युत्क्रम है 1/29.

चरण 3. सम्मिश्र भिन्न के अंश को हर के व्युत्क्रम से गुणा करें।

अब जब हमें सम्मिश्र भिन्न के हर का व्युत्क्रम मिल गया है, तो एक साधारण भिन्न प्राप्त करने के लिए इसे अंश से गुणा करें। याद रखें कि दो भिन्नों को गुणा करने के लिए, हम केवल गुणा को पार करते हैं - नए अंश का अंश दो पुराने अंशों के अंश के साथ-साथ हर की संख्या है।

हमारे उदाहरण में, हम 11/15 × 70/29 गुणा करेंगे। ७० × ११ = ७७० और १५ × २९ = ४३५। तो, नया सरल अंश है 770/435.

चरण 4. सबसे बड़ा समापवर्तक ज्ञात करके नई भिन्न को सरल कीजिए।

हमारे पास पहले से ही एक साधारण भिन्न है, इसलिए हमें बस इतना करना है कि सबसे सरल संख्या ज्ञात करें। अंश और हर का सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड (GCF) ज्ञात करें और इसे सरल बनाने के लिए दोनों को इस संख्या से विभाजित करें।

770 और 435 के सामान्य कारकों में से एक 5 है। इसलिए, यदि हम भिन्न के अंश और हर को 5 से विभाजित करते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं 154/87. 154 और 87 में कोई समान गुणनखंड नहीं है, इसलिए यह अंतिम उत्तर है!

विधि २ का २: परिवर्तनीय संख्याओं वाले जटिल भिन्नों को सरल बनाना

चरण 1. यदि संभव हो, तो ऊपर दिए गए विपरीत गुणन विधि का उपयोग करें।

स्पष्ट होने के लिए, लगभग सभी जटिल अंशों को अंश और हर को एक अंश से घटाकर और अंश को हर के व्युत्क्रम से गुणा करके सरल बनाया जा सकता है। वेरिएबल वाले कॉम्प्लेक्स फ्रैक्शंस को भी शामिल किया गया है, हालांकि कॉम्प्लेक्स फ्रैक्शंस में वेरिएबल की अभिव्यक्ति जितनी अधिक जटिल होगी, रिवर्स गुणा का उपयोग करना उतना ही कठिन और समय लेने वाला होगा। चर वाले "आसान" जटिल अंशों के लिए, उलटा गुणन एक अच्छा विकल्प है, लेकिन अंश और हर में कई चर संख्याओं वाले जटिल अंशों को नीचे वर्णित वैकल्पिक तरीके से सरल बनाना आसान हो सकता है।

• उदाहरण के लिए, (1/x)/(x/6) व्युत्क्रम गुणन द्वारा सरल बनाना आसान है। 1/x × 6/x = 6/x². यहां वैकल्पिक तरीकों का उपयोग करने की कोई आवश्यकता नहीं है।
• हालांकि, (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))) को व्युत्क्रम गुणन द्वारा सरल बनाना अधिक कठिन है। जटिल भिन्नों के अंश और हर को एकल भिन्न में कम करना, व्युत्क्रम से गुणा करना और परिणाम को सरलतम संख्याओं तक कम करना एक जटिल प्रक्रिया हो सकती है। इस मामले में, नीचे दी गई वैकल्पिक विधि आसान हो सकती है।

चरण 2. यदि विपरीत गुणन व्यावहारिक नहीं है, तो सम्मिश्र भिन्न में भिन्नात्मक संख्या का LCM ज्ञात करके प्रारंभ करें।

पहला कदम एक जटिल भिन्न में सभी भिन्नात्मक संख्याओं का एलसीएम खोजना है - अंश और हर दोनों में। आमतौर पर, यदि एक या अधिक भिन्नात्मक संख्याओं में हर में एक संख्या होती है, तो LCM हर में वह संख्या होती है।

इसे एक उदाहरण से समझना आसान है। आइए ऊपर वर्णित जटिल भिन्नों को सरल बनाने का प्रयास करें, (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5)))। इस सम्मिश्र भिन्न में भिन्नात्मक संख्याएँ (1)/(x+3) और (1)/(x-5) हैं। दो भिन्नों का LCM हर में संख्या है: (एक्स+3)(एक्स-5).

चरण 3. सम्मिश्र भिन्न के अंश को नए पाए गए LCM से गुणा करें।

इसके बाद, हमें जटिल भिन्न की संख्या को भिन्नात्मक संख्या के LCM से गुणा करना होगा। दूसरे शब्दों में, हम सभी सम्मिश्र भिन्नों को (KPK)/(KPK) से गुणा करेंगे। हम इसे स्वतंत्र रूप से कर सकते हैं क्योंकि (KPK)/(KPK) 1 के बराबर है। सबसे पहले, अंशों को स्वयं गुणा करें।

• हमारे उदाहरण में, हम सम्मिश्र भिन्न को गुणा करेंगे, (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))), अर्थात ((x+ 3)(x-5))/((x+3)(x-5))। हमें सम्मिश्र भिन्न के अंश और हर से गुणा करना है, प्रत्येक संख्या को (x + 3) (x-5) से गुणा करना है।

  • सबसे पहले, अंकों को गुणा करते हैं: (((1)/(x+3)) + x - 10) × (x+3)(x-5)

    • = (((x+3)(x-5)/(x+3)) + x((x+3)(x-5)) - 10((x+3)(x-5))
    • = (एक्स -5) + (एक्स (एक्स।)² - 2x - 15)) - (10(x.)² - 2x - 15))
    • = (एक्स-5) + (एक्स.)³ - 2x² - 15x) - (10x.)² - 20x - 150)
    • = (एक्स -5) + एक्स³ - 12x² + 5x + 150
    • = एक्स³ - 12x² +6x +145

चरण 4. सम्मिश्र भिन्न के हर को एलसीएम से गुणा करें जैसा कि आप अंश के साथ करेंगे।

हर के लिए आगे बढ़ते हुए जटिल अंश को एलसीएम से गुणा करना जारी रखें। सभी को गुणा करें, प्रत्येक संख्या को एलसीएम से गुणा करें।

• हमारे सम्मिश्र भिन्न का हर, (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))) है, x +4 +((१)//(एक्स-५))। हम इसे पाए गए एलसीएम (x+3)(x-5) से गुणा करेंगे।

  • (x +4 +((1)/(x - 5))) × (x+3)(x-5)
  • = x((x+3)(x-5)) + 4((x+3)(x-5)) + (1/(x-5))(x+3)(x-5)।
  • = एक्स (एक्स² - 2x - 15) + 4(x.)² - 2x - 15) + ((x+3)(x-5))/(x-5)
  • = एक्स³ - 2x² - 15x + 4x² - 8x - 60 + (x+3)
  • = एक्स³ + 2x² - 23x - 60 + (x+3)
  • = एक्स³ + 2x² - 22x - 57

चरण 5. नए पाए गए अंश और हर से एक नया और सरलीकृत भिन्न बनाएं।

भिन्न को (KPK)/(KPK) से गुणा करने और संख्याओं को मिलाकर सरल बनाने के बाद, परिणाम एक साधारण भिन्न होता है जिसमें भिन्नात्मक संख्या नहीं होती है। ध्यान दें कि मूल सम्मिश्र भिन्न में भिन्नात्मक संख्या के LCM से गुणा करने पर, इस भिन्न का हर समाप्त हो जाएगा और उत्तर के अंश और हर में चर संख्या और पूर्ण संख्या को बिना किसी भिन्न के छोड़ दिया जाएगा।

ऊपर दिए गए अंश और हर के साथ, हम एक भिन्न का निर्माण कर सकते हैं जो मूल जटिल अंश के समान है, लेकिन इसमें भिन्नात्मक संख्या नहीं है। प्राप्त किया गया अंश x. है³ - 12x² + 6x + 145 और हमें जो हर मिला, वह था x³ + 2x² - 22x - 57, अतः नया भिन्न बन जाता है (एक्स³ - 12x² + 6x + 145)/(x³ + 2x² - 22x - 57)

टिप्स

• नौकरी के हर चरण को दिखाएं। अगर कदम बहुत तेजी से गिन रहे हैं या इसे दिल से करने की कोशिश कर रहे हैं तो भिन्न भ्रमित हो सकते हैं।
• इंटरनेट पर या किताबों में जटिल भिन्नों के उदाहरण खोजें। प्रत्येक चरण का पालन करें जब तक कि इसमें महारत हासिल न हो जाए।