परिमेय व्यंजकों को समान सरल कारकों तक सरल बनाया जाना चाहिए। यह एक काफी आसान प्रक्रिया है यदि एक ही कारक एकल-अवधि कारक है, लेकिन यदि कारक में कई शब्द शामिल हैं तो प्रक्रिया थोड़ी अधिक विस्तृत हो जाती है। यहां बताया गया है कि आपको क्या करना चाहिए, यह इस बात पर निर्भर करता है कि आप किस प्रकार की तर्कसंगत अभिव्यक्ति के साथ काम कर रहे हैं।
कदम
विधि 1 में से 3: मोनोनोमियल परिमेय व्यंजक (एकल पद)
चरण 1. समस्या की जाँच करें।
परिमेय व्यंजक जिनमें केवल एकपदी (एकल पद) होते हैं, सरल बनाने के लिए सबसे आसान व्यंजक हैं। यदि व्यंजक के दोनों पदों में केवल एक ही पद है, तो आपको केवल अंश और हर को समान न्यूनतम पदों तक सरल करना है।
- ध्यान दें कि इस संदर्भ में मोनो का अर्थ "एक" या "एकल" है।
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उदाहरण:
4x/8x^2
चरण 2. किसी भी चर को हटा दें जो समान हैं।
अभिव्यक्ति में अक्षर चर देखें। यदि अंश और हर दोनों में एक ही चर दिखाई देता है, तो आप इस चर को उतनी बार छोड़ सकते हैं, जितनी बार वह व्यंजक के दोनों भागों में दिखाई देता है।
- दूसरे शब्दों में, यदि चर अंश में व्यंजक में केवल एक बार और हर में एक बार आता है, तो चर को पूरी तरह से छोड़ा जा सकता है: x/x = 1/1 = 1
- हालाँकि, यदि एक चर अंश और हर दोनों में कई बार आता है, लेकिन व्यंजक के दूसरे भाग में कम से कम एक बार आता है, तो उस घातांक को घटाएँ जो चर के व्यंजक के छोटे भाग में चर के घातांक से है। बड़ा हिस्सा: x^4/ x^2 = x^2/1
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उदाहरण:
एक्स/एक्स^2 = 1/एक्स
चरण 3. अचरों को उनके सरलतम पदों तक सरल कीजिए।
यदि किसी संख्या के अचरों के गुणनखंड समान हों, तो अंश को उसके सरलतम रूप में सरल बनाने के लिए अंश में स्थिरांक और हर में स्थिरांक को एक ही गुणनखंड से विभाजित करें: 8/12 = 2/3
- यदि एक परिमेय व्यंजक के अचरों के गुणनखंड समान नहीं हैं, तो उन्हें सरल नहीं बनाया जा सकता: 7/5
- यदि एक अचर दूसरे अचर से विभाज्य हो, तो उसे एक समान गुणनखंड माना जाता है: 3/6 = 1/2
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उदाहरण:
4/8 = 1/2
चरण 4. अपना अंतिम उत्तर लिखें।
अपना अंतिम उत्तर निर्धारित करने के लिए, आपको सरलीकृत चर और सरलीकृत स्थिरांक को फिर से जोड़ना होगा।
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उदाहरण:
4x/8x^2 = 1/2x
विधि 2 का 3: द्विपद और बहुपद परिमेय व्यंजक मोनोनोमियल कारकों के साथ (एकल पद)
चरण 1. समस्या की जाँच करें।
यदि परिमेय व्यंजक का एक भाग एकपदी (एक पद) है, लेकिन दूसरा भाग एक द्विपद या बहुपद है, तो आपको एक एकपदी (एक पद) गुणनखंड निर्दिष्ट करके व्यंजक को सरल बनाने की आवश्यकता हो सकती है जिसे अंश और दोनों पर लागू किया जा सकता है। हर।
- इस संदर्भ में, मोनो का अर्थ है "एक" या "एकल", द्वि का अर्थ है "दो", और पॉली का अर्थ है "कई"।
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उदाहरण:
(3x)/(3x + 6x^2)
चरण २। किसी भी चर को फैलाएं जो समान हैं।
यदि कोई अक्षर चर समीकरण के सभी पदों में प्रकट होता है, तो आप उस चर को गुणनखंडित पद के भाग के रूप में शामिल कर सकते हैं।
- यह केवल तभी लागू होता है जब चर समीकरण के सभी पदों में होता है: x/x^3 - x^2 + x = (x)(x^2 - x + 1)
- यदि समीकरण के किसी एक पद में यह चर नहीं है, तो आप इसका गुणनखंड नहीं कर सकते: x/x^2 + 1
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उदाहरण:
x/(x + x^2) = [(x)(1)] / [(x)(1 + x)]
चरण 3. किसी भी स्थिरांक को फैलाएं जो समान हों।
यदि सभी पदों में अंकीय स्थिरांक के गुणनखंड समान हों, तो अंश और हर को सरल बनाने के लिए प्रत्येक स्थिरांक को पदों में समान गुणनखंड से विभाजित करें।
- यदि एक अचर दूसरे अचर से विभाज्य हो, तो उसे एक समान गुणनखंड माना जाता है: 2 / (2 + 4) = 2 * [1 / (1 + 2)]
- ध्यान दें कि यह केवल तभी लागू होता है जब व्यंजक के सभी पदों में कम से कम एक गुणनखंड समान हो: 9 / (6 - 12) = 3 * [3 / (2 - 4)]
- यह तब लागू नहीं होता जब व्यंजक के किसी भी पद का गुणनखंड समान न हो: 5 / (7 + 3)
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उदाहरण:
3/(3 + 6) = [(3)(1)] / [(3)(1 + 2)]
चरण 4. समान तत्वों का गुणनखंड करें।
एक ही कारक को निर्धारित करने के लिए सरलीकृत चर और सरलीकृत स्थिरांक को पुनः संयोजित करें। इस गुणनखंड को व्यंजक से हटा दें, ऐसे चरों और अचरों को छोड़ दें जो सभी पदों में समान नहीं हैं।
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उदाहरण:
(3x)/(3x + 6x^2) = [(3x)(1)] / [(3x)(1 + 2x)]
चरण 5. अपना अंतिम उत्तर लिखें।
अंतिम उत्तर का निर्धारण करने के लिए, व्यंजक से उभयनिष्ठ गुणनखंडों को हटा दें।
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उदाहरण:
[(3x)(1)] / [(3x)(1 + 2x)] = 1/(1 + 2x)
विधि 3 का 3: द्विपद या बहुपद परिमेय व्यंजक द्विपद कारकों के साथ
चरण 1. समस्या की जाँच करें।
यदि परिमेय व्यंजक में कोई एकपदी (एक पद) नहीं है, तो आपको अंश और भिन्न को द्विपद गुणनखंडों में तोड़ना चाहिए।
- इस संदर्भ में, मोनो का अर्थ है "एक" या "एकल", द्वि का अर्थ है "दो", और पॉली का अर्थ है "कई"।
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उदाहरण:
(x^2 - 4) / (x^2 - 2x - 8)
चरण 2. अंश को उसके द्विपद गुणनखंडों में तोड़ें।
अंश को उसके गुणनखंडों में विभाजित करने के लिए, आपको अपने चर, x के संभावित हल ज्ञात करने होंगे।
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उदाहरण:
(x^2 - 4) = (x - 2) * (x + 2)
- x का मान ज्ञात करने के लिए, आपको अचर को एक ओर और चर को दूसरी ओर ले जाना होगा: एक्स^2 = 4
- दोनों पक्षों का वर्गमूल ज्ञात करके x की घात को सरल कीजिए: एक्स^2 = 4
- याद रखें कि किसी भी संख्या का वर्गमूल धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है। इस प्रकार, x के संभावित उत्तर हैं: - 2, +2
- इस प्रकार, वर्णन करते समय (एक्स^2 - 4) कारक होने के नाते, कारक हैं: (एक्स - 2) * (एक्स + 2)
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अपने कारकों को गुणा करके दोबारा जांचें। यदि आप सुनिश्चित नहीं हैं कि आपने इस परिमेय व्यंजक के भाग का गुणनखंडन किया है या नहीं, तो आप यह सुनिश्चित करने के लिए इन कारकों को गुणा कर सकते हैं कि परिणाम मूल व्यंजक के समान है। उपयोग करना याद रखें पीएलडीटी यदि उपयोग करने के लिए उपयुक्त हो: पी प्रथम, मैं बाहर, डी प्राकृतिक, टी समाप्त।
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उदाहरण:
(x - 2) * (x + 2) = x^2 + 2x - 2x - 4 = x^2 - 4
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चरण 3. हर को उसके द्विपद गुणनखंडों में तोड़ें।
हर को उसके गुणनखंडों में विभाजित करने के लिए, आपको अपने चर, x के संभावित हल निर्धारित करने होंगे।
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उदाहरण:
(x^2 - 2x - 8) = (x + 2) * (x - 4)
- x का मान ज्ञात करने के लिए, आपको अचर को एक ओर ले जाना होगा और चरों सहित सभी पदों को दूसरी ओर ले जाना होगा: x^2 2x = 8
- x पद के गुणांकों के वर्ग को पूरा करें और दोनों पक्षों में मान जोड़ें: x^2 2x + 1 = 8 + 1
- दाईं ओर को सरल कीजिए और दाईं ओर पूर्ण वर्ग लिखिए: (एक्स 1)^2 = 9
- दोनों पक्षों का वर्गमूल ज्ञात कीजिए: एक्स 1 = ±√9
- एक्स का मान ज्ञात करें: एक्स = 1 ±√9
- किसी भी द्विघात समीकरण की तरह, x के भी दो संभावित हल हैं।
- एक्स = 1 - 3 = -2
- एक्स = 1 + 3 = 4
- इसलिए, (x^2 - 2x - 8) में विभाजित (एक्स + 2) * (एक्स - 4)
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अपने कारकों को गुणा करके दोबारा जांचें। यदि आप सुनिश्चित नहीं हैं कि आपने इस परिमेय व्यंजक के भाग का गुणनखंडन किया है या नहीं, तो आप यह सुनिश्चित करने के लिए इन कारकों को गुणा कर सकते हैं कि परिणाम मूल व्यंजक के समान है। उपयोग करना याद रखें पीएलडीटी यदि उपयोग करने के लिए उपयुक्त हो: पी प्रथम, मैं बाहर, डी प्राकृतिक, टी समाप्त।
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उदाहरण:
(x + 2) * (x - 4) = x^2 - 4x + 2x - 8 = x^2 - 2x - 8
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चरण 4. समान कारकों को हटा दें।
द्विपद गुणनखंड ज्ञात कीजिए, यदि कोई हो, जो अंश और हर दोनों में समान हो। द्विपद गुणनखंडों को असमान छोड़ते हुए, इस गुणनखंड को व्यंजक से हटा दें।
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उदाहरण:
[(x - 2)(x + 2)] / [(x + 2)(x – 4)] = (x + 2) * [(x – 2) / (x – 4)]
चरण 5. अपना अंतिम उत्तर लिखें।
अंतिम उत्तर का निर्धारण करने के लिए, व्यंजक से उभयनिष्ठ गुणनखंडों को हटा दें।
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उदाहरण:
(एक्स + 2) * [(एक्स - 2) / (एक्स - 4)] = (एक्स - 2) / (एक्स - 4)
