वर्गमूलों को सरल बनाने के 3 तरीके

2024 लेखक: Jason Gerald | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-16 11:13

वर्गमूल को सरल बनाना उतना मुश्किल नहीं है जितना लगता है। वर्गमूल को सरल बनाने के लिए, आपको बस संख्या का गुणनखंड करना है और वर्गमूल के नीचे जो भी पूर्ण वर्ग है उसका वर्गमूल लेना है। यदि आपको आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले पूर्ण वर्ग याद हैं और आप संख्याओं का गुणनखंड करना जानते हैं, तो आप वर्गमूल को बहुत अच्छी तरह से सरल बना पाएंगे।

कदम

विधि 1 में से 3: गुणनखंड द्वारा वर्गमूलों को सरल बनाना

चरण 1. कारकों के बारे में समझें।

वर्गमूलों को सरल बनाने का लक्ष्य उन्हें ऐसे रूप में लिखना है जो समझने में आसान हो और गणित की समस्याओं में उपयोग हो। फैक्टरिंग द्वारा, एक बड़ी संख्या को दो या दो से अधिक छोटी "कारक" संख्याओं में विभाजित किया जाता है, उदाहरण के लिए 9 से 3 x 3 को बदलना। एक बार जब हम इस कारक को ढूंढ लेते हैं, तो हम वर्गमूल को सरल रूप में फिर से लिख सकते हैं, कभी-कभी इसे बदल भी सकते हैं। एक नियमित पूर्णांक। उदाहरण के लिए, 9 = (3x3) = 3. अधिक जटिल वर्गमूलों में इस प्रक्रिया के बारे में जानने के लिए इन चरणों का पालन करें।

चरण 2. संख्या को सबसे छोटी संभव अभाज्य संख्या से विभाजित करें।

यदि वर्गमूल के नीचे की संख्या एक सम संख्या है, तो 2 से विभाजित करें। यदि आपकी संख्या विषम है, तो 5 से विभाजित करने का प्रयास करें। यदि इनमें से कोई भी विभाजन आपको पूर्णांक नहीं देता है, तो नीचे दी गई सूची में से प्रत्येक को विभाजित करके अगली संख्या का प्रयास करें। संख्या। अभाज्य परिणाम के रूप में एक पूर्णांक प्राप्त करने के लिए। आपको केवल अभाज्य संख्याओं के लिए परीक्षण करने की आवश्यकता है, क्योंकि अन्य सभी संख्याओं में अभाज्य संख्याएँ कारक के रूप में होती हैं। उदाहरण के लिए, आपको संख्या 4 के साथ परीक्षण करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि सभी संख्याएं जो 4 से विभाज्य हैं, वे भी 2 से विभाज्य हैं, जिन्हें आपने पहले आजमाया है।

चरण 3. वर्गमूल को गुणन समस्या के रूप में फिर से लिखिए।

इस गुणन को वर्गमूल के नीचे लिखते रहें और दोनों गुणनखंडों को शामिल करना न भूलें। उदाहरण के लिए, यदि आप 98 को सरल बनाने का प्रयास कर रहे हैं, तो 98 2 = 49, इसलिए 98 = 2 x 49 खोजने के लिए ऊपर दिए गए चरणों का पालन करें। इस जानकारी का उपयोग करके "98" को उसके मूल वर्गमूल में फिर से लिखें: 98 = (2 x 49)।

चरण 4. शेष संख्याओं में से एक पर दोहराएं।

इससे पहले कि हम वर्गमूल को सरल बना सकें, हमें इसका गुणनखंडन तब तक करते रहना होगा जब तक कि यह दो बिल्कुल समान संख्याएँ न बन जाए। यह समझ में आता है यदि आपको याद है कि वर्गमूल का क्या अर्थ है: संख्या (2 x 2) का अर्थ है "एक संख्या जिसे आप स्वयं से गुणा कर सकते हैं 2 x 2 के बराबर होती है।" बेशक, जवाब 2 है! इसे ध्यान में रखते हुए, हमारी उदाहरण समस्या (2 x 49) को हल करने के लिए उपरोक्त चरणों को दोहराएं:

2 को यथासंभव छोटा किया गया है। (दूसरे शब्दों में, यह संख्या ऊपर सूचीबद्ध अभाज्य संख्याओं में से एक है)। हम अभी के लिए इस संख्या को अनदेखा करेंगे और पहले 49 से विभाजित करने का प्रयास करेंगे।
49 को 2, या 3, या 5 से पूरी तरह से विभाजित नहीं किया जा सकता है। आप कैलकुलेटर का उपयोग करके या लंबे विभाजन का उपयोग करके स्वयं इसका परीक्षण कर सकते हैं। चूंकि यह भाग पूर्ण संख्या नहीं देता है, हम इसे अनदेखा कर देंगे और अगली संख्या का प्रयास करेंगे।
४९, ७ से पूर्णतः विभाज्य है। ४९ ७ = ७, अतः ४९ = ७ x ७।
ऊपर दिए गए प्रश्न को फिर से लिखिए: (2 x 49) = (2 x 7 x 7)।

चरण 5. एक पूर्णांक को "निकालकर" हल करें।

एक बार जब आप समस्या को दो बिल्कुल समान कारकों में हल कर लेते हैं, तो आप इसे वर्गमूल के बाहर एक नियमित पूर्णांक में बदल सकते हैं। शेष गुणनखंडों को वर्गमूल में रहने दें। उदाहरण के लिए, (2 x 7 x 7) = (2)√(7 x 7) = (2) x 7 = 7√(2)।

यहां तक कि अगर आप और अधिक कारक कर सकते हैं, तो आपको दो कारकों का मिलान करने के बाद फिर से ऐसा करने की आवश्यकता नहीं होगी। उदाहरण के लिए, (१६) = (४ x ४) = ४। यदि हम गुणनखंड करते रहें, तो हमें वही उत्तर मिलेगा, लेकिन लंबे समय में: (१६) = (४ x ४) = (२ x २ x २ x २) = (2 x 2)√ (2 x 2) = 2 x 2 = 4

चरण 6. यदि एक से अधिक पूर्णांक हों तो सभी पूर्णांकों का गुणा कीजिए।

कुछ बड़े वर्गमूल संख्याओं के लिए, आप एक से अधिक बार सरलीकृत कर सकते हैं। यदि ऐसा है, तो अंतिम उत्तर प्राप्त करने के लिए प्राप्त होने वाले पूर्णांक को गुणा करें। यहाँ एक उदाहरण है:

१८० = (2 x ९०)
180 = (2 x 2 x 45)
180 = 2√45, लेकिन इस मान को और सरल बनाया जा सकता है।
१८० = २√(३ x १५)
१८० = २√(३ x ३ x ५)
√180 = (2)(3√5)
√180 = 6√5

चरण 7. यदि कोई दो गुणनखंड समान नहीं हैं, तो "सरलीकृत नहीं किया जा सकता" लिखें।

कुछ वर्गमूल संख्याएँ पहले से ही अपने सरलतम रूप में होती हैं। यदि आप तब तक फैक्टरिंग करते रहते हैं जब तक कि वे सभी अभाज्य संख्याएँ न हों (जैसा कि ऊपर चरण में सूचीबद्ध है), और कोई भी जोड़ा समान नहीं है, तो आप कुछ भी नहीं कर सकते। आपको एक जाल प्रश्न दिया जा सकता है! उदाहरण के लिए, 70 को सरल बनाने का प्रयास करें:

70 = 35 x 2, इसलिए 70 = (35 x 2)
35 = 7 x 5, इसलिए (35 x 2) = (7 x 5 x 2)
यहाँ सभी तीन संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ हैं, इसलिए उन्हें और आगे नहीं बढ़ाया जा सकता है। तीन संख्याएँ भिन्न हैं, इसलिए एक पूर्णांक उत्पन्न करना असंभव है। 70 को सरल नहीं बनाया जा सकता।

विधि २ का ३: पूर्ण वर्गों को पहचानना

चरण 1. कुछ पूर्ण वर्ग याद रखें।

किसी संख्या का वर्ग करना, या उस संख्या से ही गुणा करना, एक पूर्ण वर्ग बनाता है। उदाहरण के लिए, 25 एक पूर्ण वर्ग है, क्योंकि 5 x 5, या 5², 25 के बराबर है। पूर्ण वर्गमूलों को पहचानने और सरल बनाने में आपकी सहायता के लिए कम से कम पहले दस पूर्ण वर्ग याद रखें। यहाँ पहली दस पूर्ण वर्ग संख्याएँ हैं:

1² = 1
2² = 4
3² = 9
4² = 16
5² = 25
6² = 36
7² = 49
8² = 64
9² = 81
10² = 100

चरण 2. पूर्ण वर्ग का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।

यदि आप वर्गमूल के नीचे एक पूर्ण वर्ग को पहचानते हैं, तो आप इसे तुरंत एक वर्गमूल में बदल सकते हैं और इसे चिह्न (√) से हटा सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप वर्गमूल के नीचे 25 की संख्या देखते हैं, तो आप पहले से ही जानते हैं कि उत्तर 5 है, क्योंकि 25 एक पूर्ण वर्ग है। सूची ऊपर की तरह ही है, वर्गमूल से उत्तर तक:

√1 = 1
√4 = 2
√9 = 3
√16 = 4
√25 = 5
√36 = 6
√49 = 7
√64 = 8
√81 = 9
√100 = 10

चरण 3. संख्या को एक पूर्ण वर्ग में विभाजित करें।

वर्गमूलों को सरल बनाने की कारक विधि को जारी रखते हुए पूर्ण वर्गों का लाभ उठाएं। यदि आप एक पूर्ण वर्ग के गुणनखंडों से अवगत हैं, तो आप समस्याओं को हल करने में तेज़ और आसान होंगे। यहां कुछ युक्तियां दी गई हैं जिनका आप उपयोग कर सकते हैं:

50 = (25 x 2) = 5√2। यदि किसी संख्या के अंतिम दो अंक 25, 50 या 75 पर समाप्त होते हैं, तो आप हमेशा उस संख्या का 25 का गुणनखंड कर सकते हैं।
१७०० = (१०० x १७) = १०√१७। यदि अंतिम दो संख्याएँ 00 पर समाप्त होती हैं, तो आप हमेशा उस संख्या का 100 का गुणनखंड कर सकते हैं।
72 = (9 x 8) = 3√8। आपके लिए इसे आसान बनाने के लिए नौ के गुणन को जानें। उन्हें पहचानने के लिए यहां एक युक्ति दी गई है: यदि किसी संख्या में "सभी" का योग नौ हो जाता है, तो नौ एक गुणनखंड है।
12 = (4 x 3) = 2√3। यहां कोई विशेष सुझाव नहीं दिया गया है, लेकिन आमतौर पर यह जांचना आसान होता है कि कोई छोटी संख्या 4 से विभाज्य है या नहीं। अन्य कारकों की तलाश में इसे ध्यान में रखें।

चरण 4. एक से अधिक पूर्ण वर्ग वाली संख्या का गुणनखंड करें।

यदि किसी संख्या के गुणनखंडों में एक से अधिक पूर्ण वर्ग हैं, तो उन सभी को वर्गमूल से निकाल दें। यदि आपको वर्गमूल को सरल बनाने की प्रक्रिया में कई पूर्ण वर्ग मिलते हैं, तो सभी वर्गमूलों को चिह्न से बाहर ले जाएँ और उन सभी को एक साथ गुणा करें। उदाहरण के लिए, 72 को सरल बनाने का प्रयास करें:

72 = (9 x 8)
72 = (9 x 4 x 2)
72 = (9) x (4) x (2)
72 = 3 x 2 x 2
√72 = 6√2

विधि 3 में से 3: शर्तों को समझना

चरण 1. जान लें कि वर्गमूल चिह्न (√) वर्गमूल चिह्न है।

उदाहरण के लिए, समस्या 25 में, "√" मूल चिन्ह है।

चरण 2. जानें कि मूल चिह्न के अंदर मूलांक है।

यह वह संख्या है जिसका वर्गमूल आपको निकालना है। उदाहरण के लिए, 25 के प्रश्न में, "25" वर्गमूल है।

चरण 3. जान लें कि गुणांक वर्गमूल के बाहर की एक संख्या है।

यह संख्या गुणक का वर्गमूल है; यह संख्या मूल चिह्न के बाईं ओर है। उदाहरण के लिए, समस्या 7√2, "7" में गुणांक का मान है।

चरण 4. जान लें कि गुणनखंड वह संख्या है जो किसी संख्या से पूर्णतः विभाजित होती है।

उदाहरण के लिए, 2 8 का एक गुणनखंड है क्योंकि 8 4 = 2 है, लेकिन 3 8 का गुणनखंड नहीं है क्योंकि 8÷3 एक पूर्ण संख्या नहीं देता है। अन्य उदाहरणों की तरह, 5 भी 25 का एक गुणनखंड है क्योंकि 5 x 5 = 25.

चरण 5. वर्गमूल के सरलीकरण का अर्थ समझें।

वर्गमूल को सरल बनाने का सीधा सा अर्थ है वर्गमूल के पूर्ण वर्ग का गुणनखंड करना, इसे मूल चिह्न के बाईं ओर हटा देना, और शेष गुणनखंडों को मूल चिह्न के नीचे छोड़ देना। यदि कोई संख्या पूर्ण वर्ग है तो जब आप मूल लिखेंगे तो वर्गमूल गायब हो जाएगा। उदाहरण के लिए, 98 को 7√2 तक सरल बनाया जा सकता है।

टिप्स

एक पूर्ण वर्ग को खोजने का एक तरीका जिसे किसी संख्या में विभाजित किया जा सकता है, वह है पूर्ण वर्गों की एक सूची को देखना, जो आपके वर्गमूल से कम से शुरू हो, या वर्गमूल के नीचे की संख्या के साथ। उदाहरण के लिए, जब एक पूर्ण वर्ग की तलाश करते हैं जो 27 से अधिक नहीं है, तो 25 से शुरू करें और 16 तक नीचे जाएं और "9 पर रुकें", जब आपको 27 को विभाजित करने वाला एक पूर्ण वर्ग मिल जाए।

चेतावनी

सरलीकरण मूल्य की गणना के समान नहीं है। इस प्रक्रिया के किसी भी चरण में आपको दशमलव के साथ एक संख्या प्राप्त करने की आवश्यकता नहीं है।
कैलकुलेटर बड़ी संख्या के लिए सहायक हो सकते हैं, लेकिन जितना अधिक आप स्वयं अभ्यास करेंगे, वर्गमूलों को सरल बनाना उतना ही आसान होगा।