एक बहुपद एक गणितीय संरचना है जिसमें संख्या स्थिरांक और चर से युक्त शब्दों का एक समूह होता है। कुछ निश्चित तरीके हैं, जिनमें बहुपदों को प्रत्येक बहुपद में निहित पदों की संख्या के आधार पर गुणा किया जाना चाहिए। यहां आपको बहुपदों को गुणा करने के बारे में जानने की जरूरत है।
कदम
5 में से विधि 1: दो मोनोनोमियल्स को गुणा करना
चरण 1. समस्या की जाँच करें।
दो एकपदी वाली समस्याओं में केवल गुणन शामिल होगा। इसमें कोई जोड़ या घटाव नहीं होगा।
- एक बहुपद समस्या जिसमें दो एकपदी या दो एकल पद वाले बहुपद शामिल हैं, इस प्रकार दिखाई देंगे: (कुल्हाड़ी) * (द्वारा); या (कुल्हाड़ी) * (बीएक्स)'
- उदाहरण: 2x * 3y
-
उदाहरण: 2x * 3x
ध्यान दें कि a और b किसी संख्या के स्थिरांक या अंकों का प्रतिनिधित्व करते हैं, जबकि x और y चर का प्रतिनिधित्व करते हैं।
चरण 2. अचरों को गुणा करें।
स्थिरांक समस्या में संख्या अंकों को संदर्भित करते हैं। इन स्थिरांकों को मानक गुणन तालिका के अनुसार हमेशा की तरह गुणा किया जाता है।
- दूसरे शब्दों में, समस्या के इस भाग में, आप a और b को गुणा कर रहे हैं।
- उदाहरण: 2x * 3y = (6)(x)(y)
- उदाहरण: 2x * 3x = (6)(x)(x)
चरण 3. चरों को गुणा करें।
चर समीकरण में अक्षरों को संदर्भित करते हैं। जब आप इन चरों को गुणा करते हैं, तो विभिन्न चरों को केवल संयोजित करने की आवश्यकता होती है, जबकि समान चरों को चुकता किया जाएगा।
- ध्यान दें कि जब आप एक चर को एक समान चर से गुणा करते हैं, तो आप उस चर की शक्ति को एक से बढ़ा देते हैं।
- दूसरे शब्दों में, आप x और y या x और x को गुणा कर रहे हैं।
- उदाहरण: 2x * 3y = (6)(x)(y) = 6xy
- उदाहरण: 2x * 3x = (6)(x)(x) = 6x^2
चरण 4. अपना अंतिम उत्तर लिखें।
समस्या की सरलीकृत प्रकृति के कारण, आपके पास समान शब्द नहीं होंगे जिन्हें आपको संयोजित करने की आवश्यकता है।
- का परिणाम (कुल्हाड़ी) * (द्वारा) के साथ साथ abxy. लगभग वही, का परिणाम (कुल्हाड़ी) * (बीएक्स) के साथ साथ एबीएक्स^2.
- उदाहरण: 6xy
- उदाहरण: 6x^2
5 की विधि 2: मोनोनोमियल्स और बिनोमियल्स को गुणा करना
चरण 1. समस्या की जाँच करें।
एकपदी और द्विपद से संबंधित समस्याओं में एक बहुपद शामिल होगा जिसमें केवल एक पद होगा। दूसरे बहुपद में दो पद होंगे, जिन्हें धन या ऋण चिह्न से अलग किया जाएगा।
- एकपदी और द्विपद को शामिल करने वाली एक बहुपद समस्या इस प्रकार दिखाई देगी: (कुल्हाड़ी) * (बीएक्स + साइ)
- उदाहरण: (2x)(3x + 4y)
चरण 2. द्विपद में एकपदी को दोनों पदों में बांटिए।
समस्या को फिर से लिखें ताकि सभी पद अलग-अलग हों, एकल-अवधि बहुपद को दो-अवधि वाले बहुपद में दोनों पदों में वितरित करते हुए।
- इस चरण के बाद, नया पुनर्लेखन प्रपत्र इस तरह दिखना चाहिए: (कुल्हाड़ी * बीएक्स) + (कुल्हाड़ी * साइ)
- उदाहरण: (2x)(3x + 4y) = (2x)(3x) + (2x)(4y)
चरण 3. अचरों को गुणा करें।
स्थिरांक समस्या में संख्या अंकों को संदर्भित करते हैं। इन स्थिरांकों को मानक गुणन तालिका के अनुसार हमेशा की तरह गुणा किया जाता है।
- दूसरे शब्दों में, समस्या के इस भाग में, आप a, b, और c को गुणा कर रहे हैं।
- उदाहरण: (2x)(3x + 4y) = (2x)(3x) + (2x)(4y) = 6(x)(x) + 8(x)(y)
चरण 4. चरों को गुणा करें।
चर समीकरण में अक्षरों को संदर्भित करते हैं। जब आप इन चरों को गुणा करते हैं, तो विभिन्न चरों को केवल संयोजित करने की आवश्यकता होती है, जबकि समान चरों को चुकता किया जाएगा।
- दूसरे शब्दों में, आप समीकरण के x और y भागों को गुणा कर रहे हैं।
- उदाहरण: (2x)(3x + 4y) = (2x)(3x) + (2x)(4y) = 6(x)(x) + 8(x)(y) = 6x^2 + 8xy
चरण 5. अपना अंतिम उत्तर लिखें।
इस प्रकार की बहुपद समस्या इतनी सरल भी है कि आमतौर पर समान पदों को संयोजित करने की आवश्यकता नहीं होती है।
- परिणाम इस तरह दिखेगा: abx^2 + acxy
- उदाहरण: 6x^2 + 8xy
विधि 3 का 5: दो द्विपदों का गुणा करना
चरण 1. समस्या की जाँच करें।
दो द्विपद वाली समस्याओं में दो बहुपद शामिल होंगे, जिनमें से प्रत्येक में दो पद धन या ऋण चिह्न से अलग होंगे।
- एक बहुपद समस्या जिसमें दो द्विपद शामिल हैं, इस प्रकार दिखाई देगा: (कुल्हाड़ी + द्वारा) * (सीएक्स + डाई)
- उदाहरण: (2x + 3y) (4x + 5y)
चरण 2. शर्तों को ठीक से वितरित करने के लिए पीएलडीटी का प्रयोग करें।
पीएलडीटी एक संक्षिप्त शब्द है जिसका उपयोग जनजातियों को वितरित करने के तरीके का वर्णन करने के लिए किया जाता है। जनजातियों को वितरित करें पी सबसे पहले, जनजाति मैं बाहर, जनजाति डी प्रकृति और जनजाति टी समाप्त।
- उसके बाद, आपकी पुनर्लेखित बहुपद समस्या प्रभावी रूप से इस तरह दिखेगी: (कुल्हाड़ी) (सीएक्स) + (कुल्हाड़ी) (डीई) + (द्वारा) (सीएक्स) + (द्वारा) (डीई)
- उदाहरण: (2x + 3y)(4x + 5y) = (2x)(4x) + (2x)(5y) + (3y)(4x) + (3y)(5y)
चरण 3. अचरों को गुणा करें।
स्थिरांक समस्या में संख्या अंकों को संदर्भित करते हैं। इन स्थिरांकों को मानक गुणन तालिका के अनुसार हमेशा की तरह गुणा किया जाता है।
- दूसरे शब्दों में, समस्या के इस भाग में, आप a, b, c, और d गुणा कर रहे हैं।
- उदाहरण: (2x)(4x) + (2x)(5y) + (3y)(4x) + (3y)(5y) = 8(x)(x) + 10(x)(y) + 12(y) (एक्स) + 15 (वाई) (वाई)
चरण 4. चरों को गुणा करें।
चर समीकरण में अक्षरों को संदर्भित करते हैं। जब आप इन चरों को गुणा करते हैं, तो विभिन्न चरों को केवल संयोजित करने की आवश्यकता होती है। हालाँकि, जब आप एक चर को एक समान चर से गुणा करते हैं, तो आप उस चर की शक्ति को एक से बढ़ा देते हैं।
- दूसरे शब्दों में, आप समीकरण के x और y भागों को गुणा कर रहे हैं।
- उदाहरण: 8(x)(x) + 10(x)(y) + 12(y)(x) + 15(y)(y) = 8x^2 + 10xy + 12xy + 15y^2
चरण 5. किसी भी समान पद को मिलाइए और अपना अंतिम उत्तर लिखिए।
इस प्रकार का प्रश्न काफी जटिल है ताकि यह समान पदों का निर्माण कर सके, जिसका अर्थ दो या दो से अधिक अंतिम शब्द हैं जिनका अंतिम चर समान है। यदि ऐसा है, तो आपको अपना अंतिम उत्तर निर्धारित करने के लिए आवश्यकतानुसार समान पदों को जोड़ना या घटाना होगा।
- परिणाम इस तरह दिखेगा: acx^2 + adxy + bcxy + bdy^2 = acx^2 + abcdxy + bdy^2
- उदाहरण: 8x^2 + 22xy + 15y^2
विधि 4 का 5: मोनोनोमियल्स और थ्री-टर्म पॉलीनोमियल्स को गुणा करना
चरण 1. समस्या की जाँच करें।
तीन पदों वाले एकपदी और बहुपद से संबंधित समस्याओं में एक ऐसा बहुपद शामिल होगा जिसमें केवल एक पद हो। दूसरे बहुपद में तीन पद होंगे, जिन्हें धन या ऋण चिह्न से अलग किया जाएगा।
- एकपदी और तीन-अवधि वाले बहुपदों वाली एक बहुपद समस्या इस प्रकार दिखाई देगी: (एई) * (बीएक्स^2 + सीएक्स + डाई)
- उदाहरण: (2y)(3x^2 + 4x + 5y)
चरण 2. बहुपद में एकपदी को तीन पदों में बांटिए।
समस्या को फिर से लिखें ताकि सभी पदों को अलग किया जा सके, तीन-अवधि वाले बहुपद में सभी तीन पदों पर एकल-अवधि बहुपद को वितरित करके।
- फिर से लिखा गया, नया समीकरण काफी हद तक वैसा ही दिखना चाहिए: (ay)(bx^2) + (ay)(cx) + (ay)(dy)
- उदाहरण: (2y)(3x^2 + 4x + 5y) = (2y)(3x^2) + (2y)(4x) + (2y)(5y)
चरण 3. अचरों को गुणा करें।
स्थिरांक समस्या में संख्या अंकों को संदर्भित करते हैं। इन स्थिरांकों को मानक गुणन तालिका के अनुसार हमेशा की तरह गुणा किया जाता है।
- फिर से, इस चरण के लिए, आप a, b, c, और d गुणा कर रहे हैं।
- उदाहरण: (2y)(3x^2) + (2y)(4x) + (2y)(5y) = 6(y)(x^2) + 8(y)(x) + 10(y)(y)
चरण 4. चरों को गुणा करें।
चर समीकरण में अक्षरों को संदर्भित करते हैं। जब आप इन चरों को गुणा करते हैं, तो विभिन्न चरों को केवल संयोजित करने की आवश्यकता होती है। हालाँकि, जब आप एक चर को एक समान चर से गुणा करते हैं, तो आप उस चर की शक्ति को एक से बढ़ा देते हैं।
- तो, समीकरण के x और y भागों को गुणा करें।
- उदाहरण: 6(y)(x^2) + 8(y)(x) + 10(y)(y) = 6yx^2 + 8xy + 10y^2
चरण 5. अपना अंतिम उत्तर लिखें।
चूंकि इस समीकरण की शुरुआत में एकपदी एकल-अवधि है, इसलिए आपको समान पदों को संयोजित करने की आवश्यकता नहीं है।
- एक बार हो जाने के बाद, अंतिम उत्तर है: abyx^2 + acxy + ady^2
- स्थिरांक के लिए उदाहरण मानों के प्रतिस्थापन का उदाहरण: 6yx^2 + 8xy + 10y^2
विधि 5 का 5: दो बहुपदों का गुणा करना
चरण 1. समस्या की जाँच करें।
प्रत्येक में दो तीन-अवधि वाले बहुपद होते हैं जिनमें पदों के बीच धन या ऋण चिह्न होता है।
- दो बहुपदों वाली बहुपद समस्या इस प्रकार दिखाई देगी: (कुल्हाड़ी^2 + बीएक्स + सी) * (डीई^2 + आई + एफ)
- उदाहरण: (2x^2 + 3x + 4) (5y^2 + 6y + 7)
- ध्यान दें कि दो तीन-अवधि वाले बहुपदों को गुणा करने की समान विधियाँ चार या अधिक पदों वाले बहुपदों पर भी लागू होनी चाहिए।
चरण 2. दूसरे बहुपद को एक पद के रूप में सोचें।
दूसरा बहुपद एक इकाई में रहना चाहिए।
- दूसरा बहुपद भाग को दर्शाता है (डीई^2 + आई + एफ) समीकरण से।
- उदाहरण: (5y^2 + 6y + 7)
चरण 3. पहले बहुपद के प्रत्येक भाग को दूसरे बहुपद में बांट दें।
पहले बहुपद के प्रत्येक भाग का अनुवाद किया जाना चाहिए और दूसरे बहुपद में एक इकाई के रूप में वितरित किया जाना चाहिए।
- इस चरण में, समीकरण इस तरह दिखेगा: (ax^2)(dy^2 + ey + f) + (bx)(dy^2 + ey + f) + (c)(dy^2 + ey + f)
- उदाहरण: (2x^2)(5y^2 + 6y + 7) + (3x)(5y^2 + 6y + 7) + (4)(5y^2 + 6y + 7)
चरण 4. प्रत्येक पद को वितरित करें।
तीन-अवधि वाले बहुपद में शेष सभी पदों पर प्रत्येक नए एकल-अवधि बहुपद को वितरित करें।
- मूल रूप से, इस चरण में, समीकरण इस तरह दिखेगा: (ax^2)(dy^2) + (ax^2)(ey) + (ax^2)(f) + (bx)(dy^2) + (bx)(ey) + (bx)(f) + (सी)(dy^2) + (सी)(ey) + (सी)(एफ)
- उदाहरण: (2x^2)(5y^2) + (2x^2)(6y) + (2x^2)(7) + (3x)(5y^2) + (3x)(6y) + (3x) (7) + (4)(5y^2) + (4)(6y) + (4)(7)
चरण 5. अचरों को गुणा करें।
स्थिरांक समस्या में संख्या अंकों को संदर्भित करते हैं। इन स्थिरांकों को मानक गुणन तालिका के अनुसार हमेशा की तरह गुणा किया जाता है।
- दूसरे शब्दों में, समस्या के इस भाग में, आप भागों a, b, c, d, e और f को गुणा कर रहे हैं।
- उदाहरण: 10(x^2)(y^2) + 12(x^2)(y) + 14(x^2) + 15(x)(y^2) + 18(x)(y) + 21 (एक्स) + 20 (वाई ^ 2) + 24 (वाई) + 28
चरण 6. चरों को गुणा करें।
चर समीकरण में अक्षरों को संदर्भित करते हैं। जब आप इन चरों को गुणा करते हैं, तो विभिन्न चरों को केवल संयोजित करने की आवश्यकता होती है। हालाँकि, जब आप एक चर को एक समान चर से गुणा करते हैं, तो आप उस चर की शक्ति को एक से बढ़ा देते हैं।
- दूसरे शब्दों में, आप समीकरण के x और y भागों को गुणा कर रहे हैं।
- उदाहरण: 10x^2y^2 + 12x^2y + 14x^2 + 15xy^2 + 18xy + 21x + 20y^2 + 24y + 28
चरण 7. समान पदों को मिलाएं और अपना अंतिम उत्तर लिखें।
इस प्रकार का प्रश्न काफी जटिल है ताकि यह समान पदों का निर्माण कर सके, अर्थात् दो या दो से अधिक अंतिम शब्द जिनका अंतिम चर समान हो। यदि ऐसा है, तो आपको अपना अंतिम उत्तर निर्धारित करने के लिए आवश्यकतानुसार समान पदों को जोड़ना या घटाना होगा। अन्यथा, अतिरिक्त जोड़ या घटाव की आवश्यकता नहीं है।
