वर्गमूल की समस्याओं को कैसे हल करें (चित्रों के साथ)

2024 लेखक: Jason Gerald | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-15 08:15

हालांकि यह कई बार कठिन लग सकता है, वर्गमूल समस्या को हल करना वास्तव में उतना मुश्किल नहीं है। साधारण वर्गमूल की समस्याओं को आमतौर पर मूल गुणा और भाग की समस्याओं के रूप में आसानी से हल किया जा सकता है। अधिक जटिल प्रश्नों के लिए, यह थोड़ा अतिरिक्त प्रयास करता है। लेकिन सही दृष्टिकोण से किसी भी कठिन समस्या का समाधान किया जा सकता है। इस लेख के माध्यम से हम कुछ आसान चरणों में वर्गमूल की समस्याओं को हल करने में आपकी मदद करेंगे।

कदम

3 का भाग 1: वर्ग और वर्गमूल को समझना

चरण 1. वर्ग वह संख्या है जो स्वयं संख्या से गुणा की जाती है।

वर्गमूल को समझने के लिए पहले वर्ग का अर्थ समझना अच्छा है। सीधे शब्दों में कहें, एक वर्ग एक संख्या है जिसे संख्या से गुणा किया जाता है। उदाहरण के लिए, 3 वर्ग 3 गुना 3 = 9 है और 9 वर्ग 9 गुना 9 = 81 है। वर्ग को वर्ग संख्या के शीर्ष दाईं ओर छोटे 2 द्वारा दर्शाया गया है - इस तरह: 3², 9², 100², आदि।

इस अवधारणा का परीक्षण करने के लिए कुछ अन्य संख्याओं का वर्ग करने का प्रयास करें। याद रखें, किसी संख्या का वर्ग करना किसी संख्या को अपने आप से गुणा करना होता है। आप ऋणात्मक संख्याओं का वर्ग भी कर सकते हैं। परिणाम हमेशा एक सकारात्मक संख्या होगी। उदाहरण के लिए, -8² = -8 × -8 = 64.

चरण 2. वर्गमूल वर्ग का व्युत्क्रम है।

वर्गमूल के लिए प्रतीक (√, जिसे "कट्टरपंथी" प्रतीक के रूप में भी जाना जाता है) अनिवार्य रूप से प्रतीक के विपरीत है ². जब आप एक मूलांक पाते हैं, तो अपने आप से पूछें: कौन सी संख्या, यदि चुकता हो, तो मूलांक के अंदर की संख्या का परिणाम होगा? उदाहरण के लिए, यदि आप (9) को देखते हैं, तो वह संख्या ज्ञात कीजिए जिसका वर्ग होने पर नौ हो। इस प्रकार, उत्तर "तीन" है, क्योंकि 3² = 9.

एक अन्य उदाहरण के रूप में, आइए 25 (√(25)) का वर्गमूल निकालने का प्रयास करें। यानी हम एक ऐसी संख्या की तलाश कर रहे हैं जिसका चुकता करने पर परिणाम 25 हो। क्योंकि 5² = ५ × ५ = २५, तब (२५) =

चरण 5..
वर्गमूल को वर्ग को "पूर्ववत करना" भी माना जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि हम (६४), ६४ का वर्गमूल निकालना चाहते हैं, तो ६४ को ८. मान लें². चूँकि वर्गमूल चिन्ह अनिवार्य रूप से वर्ग चिन्ह को "नकार" करता है, इसलिए (64) = (8.)²) =

चरण 8..

चरण 3. पूर्ण और अपूर्ण वर्गों के बीच का अंतर जानें।

अब तक, हमारे वर्गमूल की गणना के परिणाम पूर्ण संख्याएँ थे। बाद में आपके सामने आने वाले प्रश्न इतने आसान नहीं होंगे, अल्पविराम के पीछे कुछ अंकों के साथ दशमलव संख्या के उत्तर वाले प्रश्न होंगे। वे संख्याएँ जिन्हें वर्ग करने के बाद पूर्णांकित किया जाता है (अर्थात भिन्नात्मक या दशमलव संख्याएँ नहीं) उन्हें "पूर्ण वर्ग" भी कहा जाता है। पिछले सभी उदाहरण (9, 25, और 64) पूर्ण वर्ग हैं क्योंकि यदि वे वर्ग हैं, तो परिणाम एक पूर्ण संख्या (3, 5, और 8) है।

दूसरी ओर, जो संख्याएँ चुकता होने के बाद गोल नहीं होती हैं, वे "अपूर्ण वर्ग" हैं। आमतौर पर, परिणाम का वर्ग करने के बाद एक भिन्नात्मक या दशमलव संख्या होती है। कभी-कभी संख्याएँ भी बहुत जटिल लगती हैं, जैसे (13) = 3, 605551275464…

चरण 4. संख्याओं 1-12 का वर्ग याद करें।

जैसा कि आप पहले से ही जानते हैं, एक पूर्ण वर्ग संख्या का वर्ग करना बहुत आसान है। 1-12 संख्याओं के वर्गों को याद रखना बहुत उपयोगी हो सकता है क्योंकि ये संख्याएँ समस्या में बहुत अधिक दिखाई देंगी। इस प्रकार, आप प्रश्नों पर काम करते हुए समय की बचत करेंगे। पहले 12 वर्ग संख्याएँ हैं::

1² = 1 × 1 =

चरण 1।
2² = 2 × 2 =

चरण 4।
3² = 3 × 3 =

चरण 9.
4² = 4 × 4 =

चरण 16.
5² = 5 × 5 =

चरण 25।
6² = 6 × 6 = 36
7² = 7 × 7 = 49
8² = 8 × 8 = 64
9² = 9 × 9 = 81
10² = 10 × 10 = 100
11² = 11 × 11 = 121
12² = 12 × 12 = 144

चरण 5. पूर्ण वर्गों को हटाकर वर्गमूल को सरल कीजिए।

एक अपूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल ज्ञात करना मुश्किल हो सकता है, खासकर यदि आप कैलकुलेटर का उपयोग नहीं करते हैं। हालांकि, चुकता की जाने वाली संख्या को गणना करना आसान बनाने के लिए सरल बनाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, बस मूलांक के अंदर की संख्या को कई कारकों में विभाजित करें, फिर पूर्ण वर्ग संख्याओं का वर्गमूल निकालें और मूलांक के बाहर उत्तर लिखें। इस विधि को करना काफी आसान है - आपको बेहतर ढंग से समझने के लिए, यहां और स्पष्टीकरण दिया गया है:

मान लीजिए कि हम 900 के वर्गमूल की गणना करना चाहते हैं। तो, बस 900 को उसके गुणनखंडों में विभाजित करें। "कारक" वे संख्याएँ हैं जिन्हें एक साथ गुणा करके दूसरी संख्या प्राप्त की जा सकती है। उदाहरण के लिए, संख्या ६ को गुणा करके और १ × ६ और २ × ३ से प्राप्त किया जा सकता है, इसलिए ६ के गुणनखंड १, २, ३ और ६ हैं।
उस सिद्धांत को ध्यान में रखते हुए, आइए 900 को उसके गुणनखंडों में विभाजित करें। शुरू करने के लिए, हम 900 को 9 × 100 के रूप में लिखते हैं। चूंकि 9 एक पूर्ण वर्ग है, इसलिए हम 100 का वर्गमूल अलग से ले सकते हैं। (९ × १००) = (९) × (१००) = ३ × (१००)। दूसरे शब्दों में, (900) = 3√(100).
हम 100 को इसके गुणनखंडों, 25 और 4 में विभाजित करके इसे और सरल बना सकते हैं। (100) = (25 × 4) = (25) × (4) = 5 × 2 = 10. इसलिए, गणना की जा सकती है (900) = ३(१०) =

चरण 30..

चरण 6. एक ऋणात्मक संख्या के वर्गमूल के लिए एक काल्पनिक संख्या का प्रयोग करें।

सोचिए, यदि परिणाम -16 का वर्ग किया जाए तो कौन सी संख्या होगी? उत्तर, नहीं। सभी संख्याओं का चुकता परिणाम हमेशा धनात्मक होता है, क्योंकि यह ऋणात्मक (-) होता है, जब ऋणात्मक से गुणा करने पर परिणाम धनात्मक (+) होता है। इसलिए, एक ऋणात्मक संख्या का वर्ग करने के लिए, हमें ऋणात्मक संख्या को एक काल्पनिक संख्या (आमतौर पर अक्षरों या प्रतीकों के रूप में) से बदलना होगा। उदाहरण के लिए, चर "i" आमतौर पर -1 के वर्गमूल के लिए उपयोग किया जाता है। एक काल्पनिक संख्या हमेशा ऋणात्मक संख्या के वर्गमूल पर होती है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यद्यपि काल्पनिक संख्याओं को कभी भी संख्याओं द्वारा नहीं दर्शाया जाता है, फिर भी उन्हें विभिन्न तरीकों से संख्याओं के रूप में माना जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल वर्गमूल निकालने के लिए चुकता किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, मैं² = - 1

3 का भाग 2: लॉन्ग डिवीजन स्टाइल एल्गोरिथम का उपयोग करें

चरण 1. वर्गमूल की समस्याओं को हल करें जैसे दीर्घ विभाजन की समस्याएँ।

हालांकि समय लेने वाली, कठिन वर्गमूल समस्याओं को कैलकुलेटर के बिना हल किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम लंबे स्टैक डिवीजन के समान एक विधि (या एल्गोरिदम) का उपयोग करेंगे।

वर्गमूल समस्या को लिखकर प्रारंभ करें क्योंकि आप एक लंबी विभाजन समस्या होगी। एक उदाहरण समस्या के रूप में, 6, 45 का मूल ज्ञात कीजिए, जो एक पूर्ण संख्या नहीं है। पहले हम मूल चिन्ह (√) लिखते हैं, फिर उसके नीचे हम वह संख्या लिखते हैं जिसका हम वर्ग लेना चाहते हैं। फिर संख्याओं के ऊपर एक रेखा खींचिए, ठीक वैसे ही जैसे लॉन्ग स्टैकिंग डिवीजन। अब, "√" प्रतीक ऐसा दिखता है जैसे कि नीचे 6.45 संख्या के साथ एक पूंछ है।
हम समस्या के ऊपर संख्याएँ लिखेंगे, इसलिए सुनिश्चित करें कि आप कुछ रिक्त स्थान छोड़ दें।

चरण 2. संख्या के अंकों को जोड़े में समूहित करें।

सबसे पहले, दशमलव बिंदु से शुरू करते हुए, मूलांक के तहत संख्या के अंकों को जोड़े में समूहित करें। आसान ट्रैकिंग के लिए जोड़े के बीच किसी प्रकार का मार्कर (अवधि, अल्पविराम, रेखा, आदि) बनाएं।

उदाहरण समस्या में, 6, 45 को में विभाजित किया जाएगा 6-, 45-00. याद रखें कि बाईं ओर "शेष" अंक हैं - यह कोई समस्या नहीं है।

चरण 3. वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिसका वर्ग मान पहले समूह से कम या उसके बराबर हो।

बाईं ओर समूह में पहले नंबर से शुरू करें। वह सबसे बड़ी संख्या चुनें जिसका वर्ग मान समूह में कम या बराबर हो। उदाहरण के लिए, यदि समूह 37 है, तो 6 चुनें क्योंकि 6² = ३६ <३७ लेकिन ७² = 49 > 37. इस संख्या को पहले समूह के ऊपर लिखिए। यह संख्या आपके उत्तर का पहला अंक है।

उदाहरण समस्या में, 6-, 45-00 का पहला समूह 6 है। सबसे बड़ी संख्या जो चुकता होने पर 6 से कम या उसके बराबर है, वह है

चरण 2। - 2² = ४. ६ के ऊपर संख्या "2" लिखें और टेल एक रेडिकल है।

चरण 4। जो संख्या आपने अभी लिखी है उसे गुणा करें, फिर उसे नीचे करें और फिर घटाएं।

अपने उत्तर का पहला अंक लें (मूलांक के ऊपर लिखा हुआ) और इसे गुणा करें। पहले समूह के नीचे उत्तर लिखें और अंतर ज्ञात करने के लिए घटाएं। अगले समूह को उस अंतर के दाईं ओर छोड़ दें जिसकी आपने अभी गणना की है। अंत में, बाईं ओर अपने उत्तर के पहले अंक को गुणा करने का अंतिम अंक लिखें और दाईं ओर एक रिक्त स्थान छोड़ दें।

उदाहरण समस्या में, जो संख्या दोगुनी हो जाती है वह 2 है (पिछले उत्तर का पहला अंक)। 2 × 2 = 4। फिर, 4 को 6 से घटाएं (पहले समूह से)। 6 - 4 परिणाम 2 है। अगला, अगले समूह (45) को नीचे लाएं और हमें 245 मिलते हैं। अंत में, संख्या 4 को फिर से बाईं ओर लिखें और दाईं ओर थोड़ी सी जगह छोड़ दें, इस तरह: 4_।

चरण 5. रिक्त स्थान को भरें।

बाईं ओर आपके द्वारा लिखी गई संख्या के दाईं ओर के अंकों को जोड़ें। वह अंक चुनें जो इस नई संख्या से गुणा करने पर सबसे बड़ा मान देता है, लेकिन फिर भी "व्युत्पन्न संख्या" से कम या उसके बराबर है। उदाहरण के लिए, यदि "व्युत्पन्न संख्या" 1700 है और आपके बाईं ओर की संख्या 40_ है, तो जो संख्या दर्ज की जानी चाहिए वह "4" है क्योंकि 404 × 4 = 1616 <1700, जबकि 405 × 5 = 2025। में पाई गई संख्या यह चरण आपके उत्तर का दूसरा अंक है, इसलिए इसे मूल चिह्न के ऊपर लिखें।

उदाहरण समस्या में, हम 4_ × _ के आगे की संख्या की तलाश करेंगे जिसका उत्तर सबसे बड़ी संख्या है लेकिन 245 से कम या उसके बराबर है। उत्तर है

चरण 5.. 45 × 5 = 225, जबकि 46 × 6 = 276।

चरण 6. अपना उत्तर खोजने के लिए "रिक्त स्थान" संख्याओं का उपयोग करना जारी रखें।

लंबे स्टैकिंग डिवीजन पैटर्न को तब तक जारी रखें जब तक कि व्युत्पन्न संख्याओं के घटाव के बीच का अंतर शून्य न हो, या काफी सटीक संख्या प्राप्त न हो जाए। जब आप काम पूरा कर लें, तो प्रत्येक चरण में रिक्त स्थान भरने के लिए आपके द्वारा उपयोग की जाने वाली संख्याएँ (साथ ही आपके द्वारा उपयोग की जाने वाली पहली संख्या) आपके उत्तर के प्रत्येक अंक को बनाती हैं।

उदाहरण समस्या में, 20 प्राप्त करने के लिए 245 को 220 से घटाएं। इसके बाद, हम अंकों के अगले समूह को कम करेंगे, 00, और 2000 प्राप्त करेंगे। रेडिकल प्रतीक के ऊपर की संख्या को गुणा करें, और हमें 25 × 2 = 50 मिलता है। भरने के लिए ५०_ × _ =/< २, ००० पर रिक्त स्थान में, हमें संख्या मिलती है

चरण 3।. अब, हमारे पास मूल चिह्न के ऊपर "253" है - इस प्रक्रिया को फिर से दोहराएं, और अगले अंक में 9 प्राप्त करें।

चरण 7. दशमलव चिह्न को मूल बिंदु से हटा दें।

अंतिम उत्तर पाने के लिए, दशमलव बिंदु को सही स्थिति में रखें। यह आसान है - बस दशमलव बिंदु को मूल चिह्न के नीचे दशमलव बिंदु के अनुरूप रखें। उदाहरण के लिए, मूलांक के नीचे की संख्या 49, 8 है, इसलिए 8 और 9 से ऊपर की संख्याओं के बीच एक दशमलव बिंदु रखें।

उदाहरण समस्या में, यदि मूलांक के नीचे की संख्या 6, 45 है, तो दशमलव बिंदु अंक 2 और 5 के बीच की पंक्ति में होगा। इसका अर्थ है कि अंतिम उत्तर है 2, 539.

3 का भाग 3: अपूर्ण वर्गों का शीघ्रता से आकलन करें

चरण 1. सन्निकटन का उपयोग करके अपूर्ण वर्ग ज्ञात कीजिए।

एक बार जब आप पूर्ण वर्ग याद कर लेते हैं, तो अपूर्ण वर्ग खोजना बहुत आसान हो जाएगा। तरकीब यह है कि आप जिस नंबर की तलाश कर रहे हैं, उसके पहले और बाद में एक पूर्ण वर्ग खोजें। फिर, निर्धारित करें कि आप जो संख्या खोज रहे हैं, उनमें से कौन सा दो पूर्ण वर्ग निकटतम है।

उदाहरण के लिए, हम 40 का वर्गमूल निकालना चाहते हैं। 40 के पहले और बाद में पूर्ण वर्ग संख्या 6. है² और 7², जो ३६ और ४९ है। चूँकि ४०, ३६ से बड़ा और ४९ से कम है, ४० का वर्गमूल ६ और ७ के बीच होना चाहिए। ४० की संख्या ४९ से ३६ के करीब है, इसलिए ४० का वर्गमूल ६ के करीब है।. सटीक उत्तर खोजने के लिए यहां कुछ चरण दिए गए हैं।

चरण 2. अल्पविराम के बाद एक अंक के वर्गमूल का अनुमान लगाएं।

जब आप जिस संख्या की तलाश कर रहे हैं, उसके पहले और बाद में दो पूर्ण वर्ग संख्याएँ निर्धारित कर लेते हैं, तो शेष अल्पविराम के पीछे की संख्या को खोजने की प्रक्रिया है जो उत्तर के सबसे निकट है। अल्पविराम के बाद अनुमानित एक अंकों की संख्या से शुरू करें। यह प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती रहेगी जब तक आपको वांछित सटीकता के साथ उत्तर नहीं मिल जाता।

उदाहरण समस्या में, 40 के वर्गमूल का उचित सन्निकटन है 6, 4, क्योंकि उत्तर 7 से 6 के करीब होने की सबसे अधिक संभावना है।

चरण 3. अपनी अनुमानित संख्या को संख्या से ही गुणा करें।

दूसरे शब्दों में, अपनी अनुमानित संख्या का वर्ग करें। यदि आप भाग्यशाली हैं, तो परिणाम समस्या में नंबर होगा। यदि नहीं, तो अल्पविराम के बाद की संख्याओं को तब तक जोड़ते या घटाते रहें जब तक कि आपको समस्या में संख्या के सबसे निकट का वर्ग न मिल जाए।

६, ४ को ६, ४ से गुणा करके ६, ४ × ६, ४ =. प्राप्त करें 40, 96, जो 40 से थोड़ा ऊपर है।
चूंकि प्रारंभिक प्रयोग बेमानी था, इसलिए अपने सन्निकटन को एक दशमलव स्थान से घटाएं, जो कि 6, 3 × 6, 3 = है। 39, 69. यह परिणाम समस्या की संख्या से थोड़ा नीचे है। इसका मतलब है कि 40 का वर्गमूल 6, 3 और 6, 4 के बीच है। फिर, चूंकि 39.69, 40 के करीब है, 40 का वर्गमूल भी 6, 3 के करीब है।

चरण 4. आवश्यकतानुसार आगे का पूर्वानुमान।

अपने उत्तर का प्रयोग करें यदि आपको लगता है कि यह काफी सटीक है। लेकिन यदि नहीं, तो ऊपर दिए गए अनुमानित पैटर्न को तब तक जारी रखें जब तक आपको अल्पविराम के बाद तीन या चार अंकों के साथ कोई उत्तर न मिल जाए - वैसे भी, जब तक आप अपनी इच्छित सटीकता के स्तर तक नहीं पहुंच जाते।