बीजीय व्यंजकों को सरल बनाने के 3 तरीके

2024 लेखक: Jason Gerald | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-15 08:15

बीजगणितीय व्यंजकों को सरल बनाना सीखना मूल बीजगणित में महारत हासिल करने की कुंजी है और किसी भी गणितज्ञ के लिए सबसे उपयोगी उपकरण है। सरलीकरण गणितज्ञों को जटिल, लंबी और/या विषम अभिव्यक्तियों को सरल या आसान समकक्ष अभिव्यक्तियों में बदलने की अनुमति देता है। बुनियादी सरलीकरण कौशल सीखना बहुत आसान है - गणित से नफरत करने वालों के लिए भी। कुछ सरल चरणों का पालन करके, गणित के किसी विशेष ज्ञान का उपयोग किए बिना, सबसे अधिक बार उपयोग किए जाने वाले बीजीय व्यंजकों को सरल बनाना संभव है। आरंभ करने के लिए चरण 1 देखें!

कदम

महत्वपूर्ण अवधारणाओं को समझना

चरण 1. समान पदों को उनके चर और शक्तियों के अनुसार समूहित करें।

बीजगणित में, समान पदों में समान शक्ति के साथ समान चर विन्यास होते हैं। दूसरे शब्दों में, दो पदों के बराबर होने के लिए, उनके पास एक ही चर होना चाहिए, या बिल्कुल भी कोई चर नहीं होना चाहिए, और प्रत्येक चर में समान शक्ति या कोई घातांक नहीं होना चाहिए। शब्दों में चरों का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है।

उदाहरण के लिए, 3x² और 4x² समान पद हैं क्योंकि इन दोनों में वर्ग की घात के साथ एक चर x है। हालांकि, एक्स और एक्स² समान पद नहीं हैं क्योंकि प्रत्येक पद में भिन्न घात के साथ चर x है। लगभग समान, -3yx और 5xz समान पद नहीं हैं क्योंकि प्रत्येक पद का एक भिन्न चर होता है।

चरण 2. संख्या को दो कारकों के गुणनफल के रूप में लिखकर गुणनखंड करें।

फैक्टरिंग किसी दी गई संख्या को दो कारकों के गुणन के गुणनफल के रूप में लिखने की अवधारणा है। संख्याओं के एक से अधिक गुणनखंड हो सकते हैं - उदाहरण के लिए, 12 को 1 × 12, 2 × 6, और 3 × 4 से प्राप्त किया जा सकता है, इसलिए हम कह सकते हैं कि 1, 2, 3, 4, 6 और 12 गुणनखंड हैं। की कल्पना करने का दूसरा तरीका यह है कि किसी संख्या के गुणनखंड वे संख्याएँ होती हैं जो पूर्ण संख्या को विभाजित करती हैं।

• उदाहरण के लिए, यदि हम 20 का गुणनखंड करना चाहते हैं, तो हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं 4 × 5.
• ध्यान दें कि परिवर्तनशील शब्दों को भी गुणनखंडित किया जा सकता है। -20x, उदाहरण के लिए, के रूप में लिखा जा सकता है 4(5x).
• अभाज्य संख्याओं का गुणनखंड नहीं किया जा सकता क्योंकि उन्हें केवल स्वयं से विभाजित किया जा सकता है और 1.

चरण 3. संचालन के क्रम को याद रखने के लिए संक्षिप्त नाम KaPaK BoTaK का उपयोग करें।

कभी-कभी, किसी व्यंजक को सरल बनाना समीकरण में ऑपरेशन को तब तक हल करता है जब तक कि यह अब काम करने योग्य न हो। इन मामलों में, संचालन के क्रम को याद रखना बहुत महत्वपूर्ण है ताकि कोई अंकगणितीय त्रुटि न हो। संक्षिप्त नाम KaPaK BoTaK आपको संचालन के क्रम को याद रखने में मदद करेगा - अक्षर इंगित करते हैं कि आपको किस प्रकार के ऑपरेशन करने चाहिए, क्रम में:

• क विफल
• पी उठाना
• क अली
• बी फिर
• टी जोड़ें
• क झींगा

विधि 1 में से 3: समान-शर्तों को मिलाएं

चरण 1. अपना समीकरण लिखिए।

सबसे सरल बीजगणितीय समीकरण, जिसमें पूर्णांक गुणांक वाले केवल कुछ चर शब्द शामिल होते हैं और कोई अंश, मूल आदि नहीं होते हैं, को अक्सर कुछ ही चरणों में हल किया जा सकता है। अधिकांश गणित की समस्याओं के लिए, अपने समीकरण को सरल बनाने के लिए पहला कदम इसे लिखना है!

एक उदाहरण समस्या के रूप में, अगले कुछ चरणों के लिए, हम व्यंजक का उपयोग करते हैं 1 + 2x - 3 + 4x.

चरण 2. समान जनजातियों की पहचान करें।

इसके बाद, अपने समीकरण में समान पदों की तलाश करें। याद रखें कि समान पदों में समान चर और घातांक होते हैं।

उदाहरण के लिए, आइए हमारे समीकरण 1 + 2x - 3 + 4x में समान पदों की पहचान करें। 2x और 4x दोनों में समान घात के साथ एक ही चर है (इस मामले में, x का कोई घातांक नहीं है)। साथ ही, 1 और -3 समान पद हैं क्योंकि उनके कोई चर नहीं हैं। तो हमारे समीकरण में, 2x और 4x तथा 1 और -3 समान जनजाति हैं।

चरण 3. समान पदों को मिलाएं।

अब जब आपने समान पदों की पहचान कर ली है, तो आप अपने समीकरण को सरल बनाने के लिए उन्हें जोड़ सकते हैं। समान चर और घातांक वाले पदों के समुच्चय को एक समान पद तक कम करने के लिए पदों को जोड़ें (या ऋणात्मक पदों के मामले में घटाएं)।

• आइए हमारे उदाहरण में समान शब्द जोड़ें।

  • 2x + 4x = 6x
  • 1 + -3 = - 2

चरण 4. सरलीकृत पदों से एक सरल समीकरण बनाएँ।

अपने समान पदों को मिलाने के बाद, नए, छोटे शब्दों के समूह से एक समीकरण बनाएं। आपको एक सरल समीकरण मिलेगा, जिसमें मूल समीकरण में चर और शक्तियों के विभिन्न सेटों के लिए एक शब्द है। यह नया समीकरण मूल समीकरण के बराबर है।

हमारे उदाहरण में, हमारे सरलीकृत पद 6x और -2 हैं, इसलिए हमारा नया समीकरण है 6x - 2. यह सरल समीकरण मूल (1 + 2x - 3 + 4x) के बराबर है, लेकिन इसके साथ काम करने में छोटा और आसान है। कारक बनाना भी आसान है, जिसे हम नीचे देखेंगे, जो एक और महत्वपूर्ण सरलीकरण कौशल है।

चरण 5. समान पदों को मिलाते समय संक्रियाओं के क्रम का पालन करें।

बहुत ही सरल समीकरणों में जैसे हमने ऊपर उदाहरण समस्या में काम किया है, समान पदों की पहचान करना आसान है। हालांकि, अधिक जटिल समीकरणों में, जैसे कि मूल शब्दों, अंशों और जड़ों से जुड़े भाव, संयुक्त किए जा सकने वाले शब्द स्पष्ट रूप से दिखाई नहीं दे सकते हैं। इन मामलों में, संचालन के क्रम का पालन करें, अपनी अभिव्यक्ति में शर्तों पर संचालन करना, जब तक कि जोड़ और घटाव संचालन शेष न हो जाए।

• उदाहरण के लिए, आइए समीकरण 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x का उपयोग करें। तुरंत 3x और 2x को समान पदों के रूप में मान लेना और उन्हें संयोजित करना गलत होगा क्योंकि व्यंजक में कोष्ठक इंगित करते हैं कि हमें पहले अन्य संक्रियाएँ करनी हैं। सबसे पहले, हम उन शब्दों को प्राप्त करने के लिए संचालन के क्रम में अभिव्यक्ति पर अंकगणितीय संचालन करते हैं जिनका हम उपयोग कर सकते हैं। निम्नलिखित देखें:

  • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x² + 8 - 3x। अब, चूंकि केवल शेष संक्रियाएं जोड़ और घटाव हैं, हम समान पदों को जोड़ सकते हैं।
  • एक्स² + (15x - 3x) + (8 - 5)
  • एक्स² + 12x + 3

विधि 2 का 3: फैक्टरिंग

चरण 1. व्यंजक में सबसे बड़े उभयनिष्ठ गुणनखंड को पहचानें।

गुणनखंडन, व्यंजक के सभी समान पदों में समान गुणनखंडों को हटाकर व्यंजक को सरल बनाने का एक तरीका है। शुरू करने के लिए, सबसे बड़ा सामान्य कारक खोजें जो सभी शब्दों में है - दूसरे शब्दों में, वह सबसे बड़ी संख्या जो सभी शब्दों को पूरे व्यंजक में विभाजित करती है।

• आइए 9x समीकरण का प्रयोग करें² + 27x - 3. ध्यान दें कि इस समीकरण का प्रत्येक पद 3 से विभाज्य है। चूँकि पद किसी बड़ी संख्या से विभाज्य नहीं हैं, इसलिए हम कह सकते हैं कि

  चरण 3। हमारा सबसे बड़ा सामान्य कारक है।

चरण 2. व्यंजक के पदों को सबसे बड़े उभयनिष्ठ गुणनखंड से विभाजित करें।

इसके बाद, अपने समीकरण में प्रत्येक पद को आपके द्वारा अभी-अभी मिले सबसे बड़े सामान्य कारक से विभाजित करें। भागफल पदों में मूल समीकरण की तुलना में एक छोटा गुणांक होगा।

• आइए हमारे समीकरण को उसके सबसे बड़े सामान्य गुणनखंड, 3 से गुणनखंड करें। ऐसा करने के लिए, हम प्रत्येक पद को 3 से विभाजित करेंगे।

  • 9x²/3 = 3x²
  • 27x/3 = 9x
  • -3/3 = -1
  • इस प्रकार, हमारी नई अभिव्यक्ति है 3x² + 9x - 1.

चरण 3. अपने व्यंजक को शेष पदों से गुणा करने पर सबसे बड़े उभयनिष्ठ गुणनफल के रूप में लिखिए।

आपकी नई अभिव्यक्ति आपकी मूल अभिव्यक्ति के बराबर नहीं है, इसलिए यह कहना गलत होगा कि अभिव्यक्ति को सरल बनाया गया है। अपनी नई अभिव्यक्ति को मूल के बराबर बनाने के लिए, हमें इस तथ्य को शामिल करना चाहिए कि हमारी अभिव्यक्ति को सबसे बड़े सामान्य कारक से विभाजित किया गया है। कोष्ठकों में अपना नया व्यंजक संलग्न करें और मूल समीकरण का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ गुणनखंड कोष्ठक में व्यंजक गुणांक के रूप में लिखें।

हमारे उदाहरण समीकरण के लिए, 3x² + 9x -1, हम व्यंजक को कोष्ठक में संलग्न कर सकते हैं और इसे प्राप्त करने के लिए मूल समीकरण के सबसे बड़े सामान्य कारक से गुणा कर सकते हैं 3(3x² + 9x - 1). यह समीकरण मूल समीकरण के तुल्य है, 9x² +27x - 3.

चरण 4. भिन्नों को सरल बनाने के लिए फैक्टरिंग का उपयोग करें।

अब आप सोच रहे होंगे कि फैक्टरिंग का उपयोग क्यों किया जाता है, अगर सबसे बड़े सामान्य कारक को हटाने के बाद भी, नए व्यंजक को उस कारक से फिर से गुणा करना पड़ता है। वास्तव में, फैक्टरिंग गणितज्ञों को अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के लिए विभिन्न चालें करने की अनुमति देता है। उनकी सबसे आसान चालों में से एक इस तथ्य का लाभ उठाती है कि एक भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा करने पर समान भिन्न उत्पन्न हो सकते हैं। निम्नलिखित देखें:

• हमारी प्रारंभिक उदाहरण अभिव्यक्ति कहें, 9x² + २७x - ३, बड़ी भिन्न का परिमाणक है जिसमें अंश ३ है। भिन्न इस तरह दिखेगा: (9x² + 27x - 3)/3। हम भिन्नों को सरल बनाने के लिए फैक्टरिंग का उपयोग कर सकते हैं।

  • आइए अंश में व्यंजक के लिए हमारे मूल व्यंजक के गुणनखंड रूप को प्रतिस्थापित करें: (3(3x.)² + 9x - 1))/3
  • ध्यान दें कि अब, अंश और हर दोनों का गुणांक 3 है। अंश और हर को 3 से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: (3x)² + 9x - 1)/1.
  • चूँकि 1 के हर वाला कोई भी अंश अंश के पदों के बराबर होता है, हम कह सकते हैं कि हमारे प्रारंभिक अंश को सरल बनाया जा सकता है 3x² + 9x - 1.

विधि 3 का 3: अतिरिक्त सरलीकरण कौशल लागू करना

चरण 1. समान गुणनखंडों से भाग देकर भिन्नों को सरल कीजिए।

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, यदि किसी समीकरण के अंश और हर के गुणनखंड समान हों, तो भिन्न में इन कारकों को पूरी तरह से हटाया जा सकता है। कभी-कभी, इसके लिए अंश, हर, या दोनों (जैसा कि ऊपर उदाहरण समस्या में मामला है) में फैक्टरिंग की आवश्यकता होगी, जबकि कभी-कभी समान कारक अक्सर स्पष्ट होते हैं। ध्यान दें कि साधारण व्यंजक प्राप्त करने के लिए हर में समीकरण द्वारा अंश के पदों को एक-एक करके विभाजित करना भी संभव है।

• आइए एक ऐसे उदाहरण पर काम करें जिसमें फ़ैक्टरिंग आउट की आवश्यकता नहीं है। भिन्नों के लिए (5x² + 10x + 20)/10, हम अंश के प्रत्येक पद को सरल बनाने के लिए 10 से विभाजित कर सकते हैं, भले ही 5x में गुणांक 5 हो² 10 से बड़ा नहीं है और इस प्रकार 10 एक कारक नहीं है।

  यदि हम करते हैं, तो हम प्राप्त करेंगे ((5x.)²)/10) + x + 2. यदि हम चाहें तो पहले पद को (1/2)x. के रूप में फिर से लिख सकते हैं² तो हमें मिलता है (1/2)x² +x+2.

चरण 2. मूलों को सरल बनाने के लिए वर्ग गुणनखंडों का उपयोग करें।

मूल चिह्न के नीचे के व्यंजक को मूल व्यंजक कहते हैं। इस व्यंजक को वर्गमूल गुणनखंडों (कारक जो पूर्णांकों के वर्ग हैं) की पहचान करके और वर्गमूल चिह्न के नीचे से उन्हें निकालने के लिए अलग से वर्गमूल संक्रिया करके सरल बनाया जा सकता है।

• आइए एक सरल उदाहरण करते हैं - (90)। यदि हम ९० को इसके दो गुणनखंडों, ९ और १० का गुणनफल मानते हैं, तो हम ९ का वर्गमूल ले सकते हैं जो पूर्णांक ३ है और इसे मूल चिह्न से हटा दें। दूसरे शब्दों में:

  • √(90)
  • √(9 × 10)
  • (√(9) × √(10))
  • 3 × √(10)
  • 3√(10)

चरण 3. दो घातांकों को गुणा करते समय घातांक जोड़ें; विभाजित करते समय घटाना।

कुछ बीजीय व्यंजकों के लिए घात पदों के गुणा या भाग की आवश्यकता होती है। प्रत्येक घातांक को मैन्युअल रूप से गणना या विभाजित करने के बजाय, गुणा करते समय घातांक जोड़ें और समय बचाने के लिए विभाजित करते समय घटाएं। इस अवधारणा का उपयोग चर अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के लिए भी किया जा सकता है।

• उदाहरण के लिए, आइए व्यंजक 6x. का प्रयोग करें³ × 8x⁴ + (एक्स¹⁷/एक्स¹⁵) किसी भी घटना में जहां घातांकों के गुणन या विभाजन की आवश्यकता होती है, हम सरल पद को शीघ्रता से खोजने के लिए क्रमशः घातांक घटाएंगे या जोड़ेंगे। निम्नलिखित देखें:

  • 6x³ × 8x⁴ + (एक्स¹⁷/एक्स¹⁵)
  • (6 × 8)x^{3 + 4} + (एक्स^{17 - 15})
  • 48x⁷ +x²

• यह कैसे काम करता है, इसकी व्याख्या के लिए नीचे देखें:

  • घातांक में पदों को गुणा करना वास्तव में दीर्घ घातांक में नहीं पदों को गुणा करने जैसा है। उदाहरण के लिए, क्योंकि x³ = एक्स × एक्स × एक्स और एक्स ⁵ = एक्स × एक्स × एक्स × एक्स × एक्स, एक्स³ × x⁵ = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), या x⁸.
  • लगभग समान, विभाजित करने वाले घातांक विभाजित करने वाले पदों के समान हैं, दीर्घ घातांक नहीं। एक्स⁵/एक्स³ = (x × x × x × x × x)/(x × x × x)। चूँकि अंश के प्रत्येक पद को हर में समान पद ज्ञात करके क्रास किया जा सकता है, अंश में केवल दो x बचे हैं और नीचे कुछ भी नहीं बचा है, उत्तर x².

टिप्स

• हमेशा याद रखें कि आपको इन संख्याओं की कल्पना सकारात्मक और नकारात्मक संकेतों के रूप में करनी है। बहुत से लोग यह सोचने के लिए रुक जाते हैं कि मुझे यहाँ कौन सा चिन्ह लगाना चाहिए?
• अगर आप की जरूरत है तो मदद के लिए पूछें!
• बीजीय व्यंजकों को सरल बनाना आसान नहीं है, लेकिन एक बार जब आप इसे समझ लेते हैं, तो आप इसे जीवन भर उपयोग करेंगे।

चेतावनी

• हमेशा समान जनजातियों की तलाश करें और रैंक के आधार पर मूर्ख न बनें।
• सुनिश्चित करें कि आप संख्याएं, शक्तियां या संचालन नहीं जोड़ते हैं जो अनजाने में नहीं होने चाहिए।