दो पंक्तियों के समानांतर जानने के 3 तरीके

2024 लेखक: Jason Gerald | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-16 11:13

एक समानांतर रेखा एक समतल में दो रेखाएँ होती हैं जो कभी नहीं मिलेंगी (अर्थात दो रेखाएँ एक दूसरे को नहीं काटेंगी, भले ही उन्हें अनिश्चित काल तक बढ़ाया जाए)। समानांतर रेखाओं की प्रमुख विशेषता यह है कि उनका ढलान बिल्कुल समान होता है। एक रेखा के ढलान को एक रेखा के क्षैतिज वृद्धि (X अक्ष के निर्देशांक में परिवर्तन) के लिए ऊर्ध्वाधर वृद्धि (Y निर्देशांक में परिवर्तन) के रूप में परिभाषित किया जाता है, दूसरे शब्दों में, ढलान एक रेखा का ढलान है। समानांतर रेखाओं को अक्सर दो लंबवत रेखाओं (ll) द्वारा दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, ABCCD दर्शाता है कि रेखा AB, CD के समानांतर है।

कदम

विधि 1 का 3: प्रत्येक पंक्ति के ढलान की तुलना करना

चरण 1. ढलान सूत्र निर्धारित करें।

एक रेखा की ढलान को (Y.) के रूप में परिभाषित किया गया है₂ - यू₁)/(एक्स₂ - एक्स₁), एक्स और वाई रेखा पर बिंदु के लंबवत और क्षैतिज निर्देशांक हैं। इस सूत्र से गणना करने के लिए आपको दो बिंदुओं को परिभाषित करना होगा। रेखा के नीचे का बिंदु है (X.)₁, यू₁) और रेखा पर पहले बिंदु के ऊपर उच्च बिंदु, (X.) है₂, यू₂).

• इस सूत्र को क्षैतिज वृद्धि बनाम लंबवत वृद्धि के रूप में बहाल किया जा सकता है। वृद्धि क्षैतिज निर्देशांक, या एक रेखा के ढलान में परिवर्तन के लिए ऊर्ध्वाधर निर्देशांक में परिवर्तन है।
• यदि कोई रेखा दाईं ओर झुकी हुई है, तो ढलान धनात्मक है।
• यदि कोई रेखा नीचे दाईं ओर ढलती है, तो ढलान ऋणात्मक होती है।

चरण 2. प्रत्येक रेखा पर दो बिंदुओं के X और Y निर्देशांकों को पहचानें।

रेखा पर स्थित बिंदु के निर्देशांक (X, Y) हैं, X क्षैतिज अक्ष पर बिंदु की स्थिति है और Y ऊर्ध्वाधर अक्ष पर इसकी स्थिति है। ढलान की गणना करने के लिए, आपको प्रत्येक रेखा पर दो बिंदुओं की पहचान करनी चाहिए जिनकी समानताएं पहचानी जाती हैं।

• रेखा पर बिंदुओं को निर्धारित करना आसान है कि रेखा ग्राफ पेपर पर खींची गई है या नहीं।
• एक बिंदु निर्धारित करने के लिए, क्षैतिज अक्ष पर एक बिंदीदार रेखा खींचें जब तक कि वह रेखा के अक्ष को काट न दे। वह स्थिति जहाँ आप क्षैतिज अक्ष पर एक रेखा खींचना शुरू करते हैं, X निर्देशांक है, जबकि Y निर्देशांक वह है जहाँ बिंदीदार रेखा ऊर्ध्वाधर अक्ष को काटती है।
• उदाहरण के लिए: रेखा l में बिंदु (1, 5) और (-2, 4) हैं, जबकि रेखा r में निर्देशांक बिंदु (3, 3) और (1, -4) हैं।

चरण 3. ढलान सूत्र में प्रत्येक पंक्ति के निर्देशांक दर्ज करें।

सही ढलान की गणना करने के लिए, बस संख्या दर्ज करें, घटाएं और फिर विभाजित करें। सुनिश्चित करें कि आपने सूत्र में उपयुक्त X और Y समन्वय मान दर्ज किए हैं।

• रेखा की ढलान की गणना करने के लिए l: ढलान = (5 – (-4))/(1 – (-2))
• घटाना: ढलान = 9/3
• विभाजित करें: ढलान = 3
• रेखा r का ढलान है: ढलान = (3 - (-4))/(3 - 1) = 7/2

चरण 4. प्रत्येक पंक्ति के ढलान की तुलना करें।

याद रखें, दो रेखाएँ केवल समानांतर होती हैं यदि उनका ढलान समान हो। कागज पर खींची गई रेखाएं समानांतर या समानांतर के बहुत करीब दिखाई दे सकती हैं, लेकिन यदि ढलान बिल्कुल समान नहीं हैं, तो दोनों रेखाएं समानांतर नहीं हैं।

इस उदाहरण में, 3, 7/2 के बराबर नहीं है, इसलिए ये दो रेखाएँ समानांतर नहीं हैं।

विधि 2 का 3: ढलान प्रतिच्छेदन सूत्र का उपयोग करना

चरण 1. एक रेखा के ढलानों के प्रतिच्छेदन के लिए सूत्र को परिभाषित करें।

ढलान चौराहे के रूप में एक रेखा के लिए सूत्र y = mx + b है, m ढलान है, b y-अवरोधन है, जबकि x और y रेखा के निर्देशांक का प्रतिनिधित्व करते हैं। सामान्य तौर पर, x और y को अभी भी सूत्र में x और y के रूप में लिखा जाएगा। इस रूप में, आप आसानी से रेखा के ढलान को चर "m" के रूप में परिभाषित कर सकते हैं।

उदाहरण के तौर पे। 4y - 12x = 20 और y = 3x -1 को फिर से लिखें। समीकरण 4y - 12x = 20 को बीजगणित का उपयोग करके फिर से लिखा जाना चाहिए, जबकि y = 3x -1 पहले से ही एक ढलान चौराहे के रूप में है और इसे फिर से लिखने की आवश्यकता नहीं है।

चरण 2. रेखा के समीकरण को ढलानों के प्रतिच्छेदन के रूप में फिर से लिखिए।

अक्सर, आपको एक रेखा का समीकरण मिलता है जो ढलान को नहीं काटती है। चर को ढलान चौराहे के आकार में फिट करने के लिए केवल थोड़ा सा गणितीय ज्ञान होता है।

• उदाहरण के लिए: रेखा 4y-12x=20 को ढलान प्रतिच्छेदन के रूप में फिर से लिखें।
• समीकरण के दोनों पक्षों में 12x जोड़ें: 4y - 12x + 12x = 20 + 12x
• प्रत्येक पक्ष को 4 से विभाजित करें ताकि y अकेला खड़ा हो: 4y/4 = 12x/4 +20/4
• ढलान प्रतिच्छेदन समीकरण का रूप: y = 3x + 5।

चरण 3. प्रत्येक पंक्ति के ढलान की तुलना करें।

याद रखें, दो समानांतर रेखाओं का ढलान बिल्कुल समान होता है। समीकरण y = mx + b का उपयोग करके, जहाँ m रेखा का ढलान है, आप दो रेखाओं के ढलानों की पहचान और तुलना कर सकते हैं।

• ऊपर के उदाहरण में, पहली पंक्ति में समीकरण y = 3x + 5 है, इसलिए ढलान 3 है। दूसरी पंक्ति में समीकरण y = 3x - 1 है, जिसका ढलान भी 3 है। चूंकि ढलान समान हैं, इसलिए दो रेखाएँ समानांतर हैं।
• ध्यान दें कि दोनों समीकरणों का y-अवरोधन समान है, वे एक ही रेखा हैं, समानांतर रेखाएँ नहीं हैं।

विधि 3 का 3: बिंदु के ढलान के समीकरण के साथ समांतर रेखाओं को परिभाषित करना

चरण 1. बिंदु के ढलान समीकरण को परिभाषित करें।

बिंदु (x, y) का ढलान रूप आपको उस रेखा का समीकरण लिखने की अनुमति देता है जिसका ढलान ज्ञात है और जिसमें (x, y) निर्देशांक हैं। आप इस सूत्र का उपयोग एक परिभाषित ढलान वाली मौजूदा रेखा के समानांतर दूसरी को परिभाषित करने के लिए करेंगे। सूत्र y - y. है₁= एम (एक्स - एक्स₁), इस स्थिति में m रेखा का ढलान है, x₁ रेखा पर बिंदु के निर्देशांक हैं और y₁ बिंदु का y-निर्देशांक है। जैसा कि चौराहे के ढलान के समीकरण में, x और y चर हैं जो रेखा के निर्देशांक को इंगित करते हैं, समीकरण में वे अभी भी x और y के रूप में प्रदर्शित होंगे।

इस उदाहरण के साथ निम्नलिखित चरणों का उपयोग किया जा सकता है: बिंदु (1, -2) से होकर जाने वाली रेखा y = -4x + 3 के समांतर रेखा का समीकरण लिखिए।

चरण 2. पहली पंक्ति का ढलान निर्धारित करें।

नई रेखा के लिए समीकरण लिखते समय, आपको पहले उस रेखा के ढलान की पहचान करनी चाहिए जिसे आप समानांतर बनाना चाहते हैं। सुनिश्चित करें कि प्रारंभिक रेखा का समीकरण चौराहे और ढलान के रूप में है, जिसका अर्थ है कि आप ढलान (एम) जानते हैं।

हम y = -4x + 3 के समानांतर एक रेखा खींचने जा रहे हैं। इस समीकरण में, -4 चर m का प्रतिनिधित्व करता है, इसलिए यह रेखा का ढलान है।

चरण 3. नई रेखा पर एक बिंदु की पहचान करें।

यह समीकरण तभी काम करता है जब नई रेखा से गुजरने वाले निर्देशांक ज्ञात हों। सुनिश्चित करें कि आप मौजूदा लाइन निर्देशांक का चयन नहीं करते हैं। यदि अंतिम समीकरणों में समान y-प्रतिच्छेदन है, तो रेखाएं समानांतर नहीं हैं, लेकिन एक ही रेखा हैं।

इस उदाहरण में बिंदु के निर्देशांक (1, -2) हैं।

चरण 4. नई रेखा के समीकरण को बिंदु के ढलान के रूप में लिखिए।

याद रखें कि सूत्र y - y. है₁= एम (एक्स - एक्स₁) पहली पंक्ति के समानांतर एक नई रेखा के समीकरण में ढलान मान और बिंदु निर्देशांक प्लग करें।

ढलान के साथ हमारे उदाहरण में (एम) -4 और निर्देशांक (एक्स, वाई) हैं (1, -2): वाई - (-2) = -4 (एक्स -1)

चरण 5. समीकरण को सरल कीजिए।

संख्याओं को जोड़ने के बाद, समीकरण को ढलान चौराहे के अधिक सामान्य रूप में सरल बनाया जा सकता है। यदि इस समीकरण की रेखा एक निर्देशांक तल पर खींची जाती है, तो रेखा मौजूदा समीकरण के समानांतर होगी।

• उदाहरण के लिए: y - (-2) = -4 (x - 1)
• दो नकारात्मक संकेत सकारात्मक में बदल जाते हैं: y + 2 = -4(x -1)
• -4 को x और -1 में बांटें: y + 2 = -4x + 4।
• दोनों पक्षों को -2 से घटाएं: y + 2 - 2 = -4x + 4 - 2
• सरलीकृत समीकरण: y = -4x + 2