कई गणितीय कार्य हैं जो कोने का उपयोग करते हैं। एक ज्यामितीय आकृति में कई शीर्ष होते हैं, असमानताओं की एक प्रणाली में एक या अधिक शीर्ष होते हैं, और एक परवलय या द्विघात समीकरण में भी शीर्ष होते हैं। शीर्षों का पता कैसे लगाएं यह स्थिति पर निर्भर करता है, लेकिन यहां कुछ चीजें हैं जिन्हें आपको प्रत्येक परिदृश्य में शीर्ष खोजने के बारे में पता होना चाहिए।
कदम
5 में से विधि 1 एक आकृति में शीर्षों की संख्या ज्ञात करना
चरण 1. यूलर का सूत्र सीखें।
यूलर का सूत्र, जैसा कि ज्यामिति या रेखांकन में संदर्भित है, कहता है कि किसी भी आकृति के लिए जो स्वयं के लिए स्पर्शरेखा नहीं है, किनारों की संख्या प्लस शिखर की संख्या, किनारों की संख्या घटाकर, हमेशा दो के बराबर होगी।
-
यदि समीकरण के रूप में लिखा जाता है, तो सूत्र इस तरह दिखता है: एफ + वी - ई = 2
- एफ पक्षों की संख्या को संदर्भित करता है।
- V, शीर्षों, या शीर्षों की संख्या को संदर्भित करता है
- ई पसलियों की संख्या को संदर्भित करता है
चरण 2. शीर्षों की संख्या ज्ञात करने के लिए सूत्र बदलें।
यदि आप किसी आकृति की भुजाओं और किनारों की संख्या जानते हैं, तो आप यूलर के सूत्र का उपयोग करके शीर्षों की संख्या की शीघ्रता से गणना कर सकते हैं। समीकरण के दोनों पक्षों से F घटाएं और दोनों पक्षों में E जोड़ें, V को एक तरफ छोड़ दें।
वी = 2 - एफ + ई
चरण 3. ज्ञात संख्याएँ दर्ज करें और हल करें।
इस बिंदु पर आपको केवल सामान्य रूप से जोड़ने या घटाने से पहले पक्षों और किनारों की संख्या को समीकरण में प्लग करना है। आपको जो उत्तर मिलता है वह शिखर की संख्या है और इस प्रकार समस्या हल करता है।
-
उदाहरण: एक आयत के लिए जिसमें ६ भुजाएँ और १२ किनारे हैं…
- वी = 2 - एफ + ई
- वी = 2 - 6 + 12
- वी = -4 + 12
- वी = 8
5 की विधि 2: रैखिक असमानता की प्रणाली में शीर्षों का पता लगाना
चरण 1. रैखिक असमानताओं के निकाय का हल खींचिए।
कुछ उदाहरणों में, सिस्टम में सभी असमानताओं के समाधान निकालने से कुछ, या यहां तक कि सभी शिखर भी दिखाई दे सकते हैं। हालाँकि, यदि आप नहीं कर सकते हैं, तो आपको शीर्ष को बीजगणितीय रूप से खोजने की आवश्यकता है।
यदि आप असमानता को आकर्षित करने के लिए एक रेखांकन कैलकुलेटर का उपयोग कर रहे हैं, तो आप स्क्रीन पर शीर्ष बिंदु तक स्वाइप कर सकते हैं और इसके निर्देशांक इस तरह से ढूंढ सकते हैं।
चरण 2. असमानता को एक समीकरण में बदल दें।
असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने के लिए, आपको अस्थायी रूप से असमानताओं को समीकरणों में बदलने की आवश्यकता है ताकि इसका मान ज्ञात किया जा सके। एक्स तथा आप.
-
उदाहरण: असमानताओं की प्रणाली के लिए:
- वाई <एक्स
- वाई> -एक्स + 4
-
असमानता को इसमें बदलें:
- वाई = एक्स
- वाई> -एक्स + 4
चरण 3. एक चर का दूसरे चर में प्रतिस्थापन।
हालांकि हल करने के और भी तरीके हैं एक्स तथा आप, प्रतिस्थापन अक्सर सबसे आसान तरीका होता है। मान दर्ज करें आप एक समीकरण से दूसरे समीकरण में, जिसका अर्थ है "प्रतिस्थापन" आप के मान के साथ दूसरे समीकरण में एक्स.
-
उदाहरण: यदि:
- वाई = एक्स
- वाई = -एक्स + 4
-
इसलिए वाई = -एक्स + 4 के रूप में लिखा जा सकता है:
एक्स = -एक्स + 4
चरण 4. पहले चर के लिए हल करें।
अब जब आपके पास समीकरण में केवल एक चर है, तो आप चर के लिए आसानी से हल कर सकते हैं, एक्स, जैसा कि अन्य समीकरणों में होता है: जोड़ना, घटाना, भाग देना और गुणा करना।
-
उदाहरण: x = -x + 4
- एक्स + एक्स = -एक्स + एक्स + 4
- 2x = 4
- २x / २ = ४ / २
- एक्स = 2
चरण 5. शेष चरों को हल करें।
के लिए एक नया मान दर्ज करें एक्स का मान ज्ञात करने के लिए मूल समीकरण में आप.
-
उदाहरण: वाई = एक्स
वाई = 2
चरण 6. शीर्षों को परिभाषित कीजिए।
शीर्ष निर्देशांक है जिसमें मान होता है एक्स तथा आप जो आपने अभी खोजा है।
उदाहरण: (2, 2)
विधि 3 का 5: सममिति के अक्ष का उपयोग करके परवलय पर शीर्ष का पता लगाना
चरण 1. समीकरण का गुणनखंड करें।
द्विघात समीकरण को गुणनखंड के रूप में फिर से लिखिए। द्विघात समीकरण को फ़ैक्टर करने के कई तरीके हैं, लेकिन जब आप पूरा कर लेंगे, तो आपके पास ब्रैकेट में दो समूह होंगे, जब आप उन्हें एक साथ गुणा करेंगे, तो आपको मूल समीकरण मिलेगा।
-
उदाहरण: (पार्सिंग का उपयोग करके)
- 3x2 - 6x - 45
- एक ही कारक आउटपुट: 3 (x2 - 2x - 15)
- गुणनफल a और c: 1 * -15 = -15
- दो संख्याएँ ढूँढता है जो गुणा करने पर -15 के बराबर होती हैं और जिनका योग मान b, -2 के बराबर होता है; 3 * -5 = -15; 3 - 5 = -2
- दो मानों को समीकरण 'ax2 + kx + hx + c: 3(x2 + 3x - 5x - 15) में रखें।
- समूहन द्वारा फैक्टरिंग: f(x) = 3 * (x + 3) * (x - 5)
चरण 2. समीकरण का x-प्रतिच्छेदन ज्ञात कीजिए।
जब फलन x, f(x), 0 के बराबर होता है, तो परवलय x-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है। यह तब होगा जब कोई गुणनखंड 0 के बराबर होगा।
-
उदाहरण: 3 * (x + 3) * (x - 5) = 0
- +3 = 0
- - 5 = 0
- = -3; = 5
- तो, मूल हैं: (-3, 0) और (5, 0)
चरण 3. मध्यबिंदु ज्ञात कीजिए।
समीकरण की सममिति का अक्ष, समीकरण के दो मूलों के ठीक बीच में स्थित होगा। आपको सममिति की धुरी को जानना होगा क्योंकि शीर्ष वहीं स्थित हैं।
उदाहरण: एक्स = 1; यह मान बिल्कुल -3 और 5. के बीच में है
चरण 4. x के मान को मूल समीकरण में जोड़ें।
समरूपता के अक्ष के x मान को परवलय के समीकरण में प्लग करें। y मान शीर्ष का y मान होगा।
उदाहरण: y = 3x2 - 6x - 45 = 3(1)2 - 6(1) - 45 = -48
चरण 5. शीर्ष बिंदुओं को लिखिए।
इस बिंदु तक, x और y के अंतिम परिकलित मान शीर्ष के निर्देशांक देंगे।
उदाहरण: (1, -48)
विधि 4 में से 5: वर्गों को पूरा करके एक परवलय पर शीर्ष ढूँढना
चरण 1. मूल समीकरण को शीर्ष रूप में फिर से लिखिए।
"वर्टेक्स" फॉर्म फॉर्म में लिखा गया एक समीकरण है वाई = ए (एक्स - एच) ^ 2 + के, और शीर्ष बिंदु है (एच, के). मूल द्विघात समीकरण को इस रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए, और उसके लिए आपको वर्ग पूरा करना होगा।
उदाहरण: y = -x^2 - 8x - 15
चरण 2. गुणांक a प्राप्त करें।
समीकरण के पहले दो गुणांकों में से पहला गुणांक, a निकालें। इस बिंदु पर अंतिम गुणांक c छोड़ दें।
उदाहरण: -1 (x^2 + 8x) - 15
चरण 3. कोष्ठक के अंदर तीसरा स्थिरांक ज्ञात कीजिए।
तीसरे स्थिरांक को कोष्ठकों में संलग्न किया जाना चाहिए ताकि कोष्ठक में मान एक पूर्ण वर्ग बना सकें। यह नया स्थिरांक मध्य में आधे गुणांक के वर्ग के बराबर है।
-
उदाहरण: 8/2 = 4; ४ * ४ = १६; ताकि,
- -1(x^2 + 8x + 16)
- याद रखें कि कोष्ठक के अंदर की जाने वाली प्रक्रियाओं को कोष्ठक के बाहर भी किया जाना चाहिए:
- y = -1(x^2 + 8x + 16) - 15 + 16
चरण 4. समीकरण को सरल कीजिए।
चूंकि कोष्ठक के अंदर की आकृति अब एक पूर्ण वर्ग है, आप कोष्ठक के अंदर की आकृति को गुणनखंडित रूप में सरल बना सकते हैं। साथ ही, आप कोष्ठक के बाहर मान जोड़ या घटा सकते हैं।
उदाहरण: y = -1(x + 4)^2 + 1
चरण 5. शीर्ष समीकरण के आधार पर निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
याद रखें कि समीकरण का शीर्ष रूप है वाई = ए (एक्स - एच) ^ 2 + के, साथ (एच, के) जो शीर्ष के निर्देशांक हैं। अब आपके पास h और k में मान दर्ज करने और समस्या को हल करने की पूरी जानकारी है।
- कश्मीर = 1
- एच = -4
- फिर, समीकरण का शीर्ष यहां पाया जा सकता है: (-4, 1)
विधि 5 का 5: एक साधारण सूत्र का उपयोग करके परवलय पर शीर्ष का पता लगाना
चरण 1. शीर्ष का x मान सीधे ज्ञात कीजिए।
जब परवलय के समीकरण को रूप में लिखा जाता है वाई = कुल्हाड़ी^2 + बीएक्स + सी, शीर्ष का x सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है एक्स = -बी / 2a. x को खोजने के लिए समीकरण से a और b मानों को सूत्र में प्लग करें।
- उदाहरण: y = -x^2 - 8x - 15
- x = -b / 2a = -(-8)/(2*(-1)) = 8/(-2) = -4
- एक्स = -4
चरण 2. इस मान को मूल समीकरण में प्लग करें।
x के मान को समीकरण में जोड़ने पर, आप y प्राप्त कर सकते हैं। y मान शीर्ष निर्देशांक का y मान होगा।
-
उदाहरण: y = -x^2 - 8x - 15 = -(-4)^2 - 8(-4) - 15 = -(16) - (-32) - 15 = -16 + 32 - 15 = 1
वाई = 1
चरण 3. शीर्षों के निर्देशांक लिखिए।
आपको प्राप्त होने वाले x और y मान शीर्ष बिंदु के निर्देशांक हैं।
