पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कैसे करें: 12 कदम (चित्रों के साथ)

2024 लेखक: Jason Gerald | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-16 19:30

पाइथागोरस प्रमेय एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई को सुरुचिपूर्ण और व्यावहारिक तरीके से वर्णित करता है, इसलिए इस प्रमेय का आज भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यह प्रमेय बताता है कि किसी भी समकोण त्रिभुज के लिए, गैर-कोण वाली भुजाओं के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर होता है। दूसरे शब्दों में, लंबवत भुजाओं a और b और कर्ण c वाले समकोण त्रिभुज के लिए, ए² + बी² = सी².

पाइथागोरस प्रमेय प्राथमिक ज्यामिति के बुनियादी स्तंभों में से एक है। इस प्रमेय का उपयोग करने वाले अनगिनत अनुप्रयोग हैं, उदाहरण के लिए, एक समन्वय तल पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी को खोजना आसान बनाने के लिए।

कदम

विधि 1 में से 2: एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात करना

चरण 1. सुनिश्चित करें कि आपका त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

पाइथागोरस प्रमेय केवल समकोण त्रिभुजों पर लागू होता है, इसलिए, आगे बढ़ने से पहले, यह सुनिश्चित करना बहुत महत्वपूर्ण है कि आपके त्रिभुज समकोण त्रिभुजों के गुणों के अनुरूप हैं। सौभाग्य से, एक कारक है जो यह संकेत दे सकता है कि आपका त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है। आपके त्रिभुज में एक 90 डिग्री का कोण होना चाहिए।

एक संकेत के रूप में, समकोण त्रिभुजों को अक्सर 90-डिग्री कोणों को चिह्नित करने के लिए छोटे वर्गों के साथ चिह्नित किया जाता है, घुमावदार "वक्र" का उपयोग नहीं किया जाता है। अपने त्रिभुज के कोने में इस विशेष चिह्न को देखें।

चरण 2. अपने त्रिभुज की भुजाओं के लिए चर a, b और c दें।

पाइथागोरस प्रमेय में, चर a और b समकोण त्रिभुज पर मिलने वाली भुजाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, जबकि चर c कर्ण का प्रतिनिधित्व करता है - समकोण के विपरीत लंबी भुजा। इसलिए, आरंभ करने के लिए, अपने त्रिभुज की छोटी भुजाओं को चर a और b से चिह्नित करें (इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप उन्हें स्वैप करते हैं), और चर c के साथ कर्ण को चिह्नित करें।

चरण 3. तय करें कि आप त्रिभुज की किस भुजा को हल करना चाहते हैं।

पाइथागोरस प्रमेय गणितज्ञों को एक समकोण त्रिभुज की किसी भी भुजा की लंबाई तब तक ज्ञात करने की अनुमति देता है जब तक कि वे अन्य दो भुजाओं की लंबाई जानते हैं। निर्धारित करें कि कौन सा पक्ष अज्ञात है - a, b, और/या c । यदि आपके किसी एक भुजा की लंबाई अज्ञात है, तो आप आगे बढ़ने के लिए तैयार हैं।

उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि एक त्रिभुज के कर्ण की लंबाई 5 है और दूसरी भुजा की लंबाई 3 है, लेकिन हम तीसरी भुजा की लंबाई के बारे में सुनिश्चित नहीं हैं। इस मामले में, हम जानते हैं कि हम तीसरे पक्ष की लंबाई की तलाश कर रहे हैं, और चूंकि हम अन्य दो की लंबाई जानते हैं, हम इसे हल कर सकते हैं! हम इस समस्या पर निम्न चरणों के साथ काम करेंगे।
यदि आप दो भुजाओं की लंबाई नहीं जानते हैं, तो आपको पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने में सक्षम होने के लिए किसी एक भुजा को जानना होगा। यदि आप किसी त्रिभुज की एक भुजा जानते हैं जो तिरछी नहीं है, तो मूल त्रिकोणमितीय फलन आपकी सहायता कर सकते हैं।

चरण 4। समीकरण में उन दो-तरफा मूल्यों को प्लग करें जिन्हें आप पहले से जानते हैं।

अपने त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई को समीकरण a. में जोड़ें² + बी² = सी². याद रखें कि ए और बी गैर-ढलान पक्ष हैं, जबकि सी कर्ण है।

हमारे उदाहरण में, हम एक भुजा और कर्ण (3 और 5) की लंबाई जानते हैं, इसलिए समीकरण बन जाता है 3² + बी² = 5²

चरण 5. वर्ग।

अपने समीकरण को हल करने के लिए, ज्ञात पक्षों को वर्ग करके प्रारंभ करें। वैकल्पिक रूप से, यदि आपको यह आसान लगता है, तो आप अपनी भुजाओं की लंबाई को वर्गाकार छोड़ सकते हैं, और बाद में उन्हें वर्गाकार कर सकते हैं।

हमारे उदाहरण में, हम 3 और 5 का वर्ग करेंगे ताकि हम प्राप्त करें

चरण 9. दास

चरण २५.. हम समीकरण को 9 + b² = 25 के रूप में लिख सकते हैं।

चरण 6. अज्ञात चर को समीकरण के दूसरी ओर ले जाएँ।

यदि आवश्यक हो, तो अज्ञात चर को समीकरण के दूसरी तरफ और अन्य दो चरों के वर्ग को दूसरी तरफ ले जाने के लिए बुनियादी बीजीय संक्रियाओं का उपयोग करें। यदि आप कर्ण की लंबाई ज्ञात करना चाहते हैं, तो c पहले से ही समीकरण के दूसरी तरफ है, इसलिए आपको इसे स्थानांतरित करने के लिए कुछ भी करने की आवश्यकता नहीं है।

हमारे उदाहरण में, वर्तमान समीकरण 9 + b² = 25 है। b² को स्थानांतरित करने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को 9 से घटाएं, इसलिए परिणाम b² = 16 है।

चरण 7. समीकरण के दोनों पक्षों का वर्गमूल।

अब केवल एक चर को एक तरफ और दूसरी तरफ संख्या का वर्ग किया जाता है। अज्ञात भुजा की लंबाई ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का वर्गमूल।

हमारे उदाहरण में, b² = 16, दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर b = 4 प्राप्त होता है। इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि त्रिभुज की अज्ञात भुजा की लंबाई है

चरण 4।.

चरण 8. एक सच्चे समकोण त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करें।

पाइथागोरस प्रमेय का आज व्यापक रूप से उपयोग होने का कारण यह है कि इसे अनगिनत व्यावहारिक स्थितियों पर लागू किया जा सकता है। वास्तविक जीवन में समकोण त्रिभुजों को जानना सीखें - ऐसी किसी भी स्थिति में जहाँ दो वस्तुएँ या सीधी रेखाएँ एक समकोण से मिलती हैं और तीसरी वस्तु या रेखा दो वस्तुओं या रेखाओं को तिरछे जोड़ती है, तो आप पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके भुजा की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं। दूसरा, यदि अन्य दो भुजाओं की लंबाई ज्ञात हो।

आइए एक वास्तविक उदाहरण का प्रयास करें जो थोड़ा अधिक कठिन है। एक सीढ़ी एक इमारत के खिलाफ झुक जाती है। सीढ़ियों के नीचे से दीवार तक की दूरी 5 मीटर है। सीढ़ियों की ऊंचाई 20 मीटर तक पहुंचती है। सीढ़ी कितनी लंबी है?
- दीवार से 5 मीटर और 20 मीटर ऊंचा हमें त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई बताता है। चूंकि दीवार और जमीन (माना जाता है) एक समकोण बनाते हैं और सीढ़ी दीवार के खिलाफ तिरछे टिकी हुई है, इस व्यवस्था को एक समकोण त्रिभुज माना जा सकता है जिसकी भुजाओं की लंबाई a = 5 और b = 20 है। सीढ़ी की लंबाई कर्ण है।, इसलिए c का मान ज्ञात नहीं है। आइए पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करें:
  - ए² + बी² = सी²
  - (५)² + (20)² = c²
  - 25 + 400 = सी²
  - ४२५ = सी²
  - रूट (425) = सी
  - सी = 20.6। सीढ़ी की अनुमानित लंबाई है 20.6 मीटर.

विधि २ का २: एक्स-वाई में दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करना

चरण 1. X-Y तल में दो बिंदु ज्ञात कीजिए।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग एक्स-वाई विमान में दो बिंदुओं के बीच सीधी रेखा की दूरी की गणना के लिए आसानी से किया जा सकता है। आपको केवल दो बिंदुओं के x और y निर्देशांक जानने की आवश्यकता है। आमतौर पर, ये निर्देशांक एक साथ (x, y) रूप में लिखे जाते हैं।

इन दो बिंदुओं के बीच की दूरी का पता लगाने के लिए, हम प्रत्येक बिंदु को एक समकोण त्रिभुज के गैर-समकोणों में से एक मानेंगे। ऐसा करने से पक्षों a और b की लंबाई ज्ञात करना आसान हो जाएगा, और फिर कर्ण c की गणना करें, जो कि दो बिंदुओं के बीच की दूरी है।

चरण 2. छवि में अपने दो बिंदु बनाएं।

एक नियमित X-Y तल में, प्रत्येक बिंदु (x, y), x एक क्षैतिज निर्देशांक का प्रतिनिधित्व करता है और y एक ऊर्ध्वाधर निर्देशांक का प्रतिनिधित्व करता है। आप दो बिंदुओं के बीच की दूरी को आरेखित किए बिना पा सकते हैं, लेकिन ऐसा करने से आपको एक दृश्य छवि मिलेगी जिसका उपयोग आप यह देखने के लिए कर सकते हैं कि आपका उत्तर सही है या नहीं।

चरण 3. अपने त्रिभुज की गैर-ढलान वाली भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

दो बिंदुओं को कर्ण से सटे त्रिभुज के कोणों के रूप में उपयोग करते हुए, त्रिभुज की भुजाओं a और b की लंबाई ज्ञात कीजिए। आप इसे एक छवि का उपयोग करके या सूत्र का उपयोग करके कर सकते हैं |x₁ - एक्स₂| क्षैतिज पक्ष के लिए और |y₁ - आप₂| ऊर्ध्वाधर पक्ष के लिए, (x.) के साथ₁, आप₁) पहले बिंदु के रूप में और (x.)₂, आप₂) दूसरे बिंदु के रूप में।

मान लीजिए कि हमारे दो बिंदु (6, 1) और (3, 5) हैं। हमारे त्रिभुज की क्षैतिज भुजा की लंबाई है:
- |x₁ - एक्स₂|
- |3 - 6|
- | -3 | =
  
  चरण 3।
ऊर्ध्वाधर पक्ष की लंबाई है:
- |y₁ - आप₂|
- |1 - 5|
- | -4 | =
  
  चरण 4।
तो, हमारे समकोण त्रिभुज में भुजा a = 3 और भुजा b = 4 है।

चरण 4. कर्ण की लंबाई ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करें।

दो बिंदुओं के बीच की दूरी उस त्रिभुज के कर्ण की लंबाई है जिसकी दो भुजाएँ आपने अभी-अभी पाई हैं। कर्ण को खोजने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें, जहाँ a पहली भुजा की लंबाई है और b दूसरी भुजा की लंबाई है।

हमारे उदाहरण में, हम उन बिंदुओं (3, 5) और (6, 1) का उपयोग कर रहे हैं, जिनकी भुजाओं की लंबाई 3 और 4 है, इसलिए हम कर्ण को निम्नानुसार पा सकते हैं:
- (3)²+(4)²= सी²
  
  सी = रूट (9+16)
  
  सी = रूट(25)
  
  c= 5. (3, 5) और (6, 1) के बीच की दूरी है
  
  चरण 5..

टिप्स

कर्ण हमेशा होता है:
- समकोण के विपरीत (समकोण को छुए बिना)
- एक समकोण त्रिभुज में सबसे लंबी भुजा
- पाइथागोरस प्रमेय में c कहा जाता है
मूल (x) का अर्थ है x का वर्गमूल।
हमेशा अपने उत्तरों की जांच करना याद रखें। यदि आपका उत्तर गलत लगता है, तो पुनः प्रयास करें और पुनः प्रयास करें।
यदि त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज नहीं है, तो आपको अतिरिक्त जानकारी की आवश्यकता है, न कि केवल अन्य दो भुजाओं की लंबाई की।
जाँच करने का दूसरा तरीका - सबसे बड़ी भुजा सबसे बड़े कोण के विपरीत है और सबसे छोटी भुजा सबसे छोटे कोण के विपरीत है।
आंकड़े ए, बी और सी के लिए सही मान लिखने की कुंजी हैं। यदि आप कहानी की समस्या पर काम कर रहे हैं, तो पहले समस्या को चित्र के रूप में लिखना सुनिश्चित करें।
यदि आप केवल एक भुजा की लंबाई जानते हैं, तो पाइथागोरस प्रमेय काम नहीं करता है। त्रिकोणमिति (sin, cos, tan) या 30-60-90 / 45-45-90 अनुपात का उपयोग करने का प्रयास करें।