स्क्वायर ग्राफ कैसे बनाएं: 10 कदम (चित्रों के साथ)

2024 लेखक: Jason Gerald | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-02-01 14:13

जब रेखांकन द्वारा निरूपित किया जाता है, तो द्विघात समीकरण का रूप होता है कुल्हाड़ी² + बीएक्स + सी या ए (एक्स - एच)² + के अक्षर U या एक उल्टा U वक्र बनाएं जिसे परवलय कहा जाता है। द्विघात समीकरण का रेखांकन शीर्ष, दिशा और अक्सर x और y प्रतिच्छेदन की तलाश में है। काफी सरल द्विघात समीकरणों के मामले में, x मानों का एक सेट दर्ज करना और परिणामी बिंदुओं के आधार पर वक्र की साजिश करना पर्याप्त हो सकता है। आरंभ करने के लिए नीचे चरण 1 देखें।

कदम

चरण 1. आपके पास द्विघात समीकरण का रूप निर्धारित करें।

द्विघात समीकरणों को तीन अलग-अलग रूपों में लिखा जा सकता है: सामान्य रूप, शीर्ष रूप और द्विघात रूप। द्विघात समीकरण को आलेखित करने के लिए आप किसी भी रूप का उपयोग कर सकते हैं; प्रत्येक ग्राफ को चित्रित करने की प्रक्रिया थोड़ी भिन्न होती है। यदि आप गृहकार्य कर रहे हैं, तो आपको आमतौर पर इन दो रूपों में से एक में प्रश्न प्राप्त होंगे - दूसरे शब्दों में, आप चयन नहीं कर पाएंगे, इसलिए दोनों को समझना सबसे अच्छा है। द्विघात समीकरण के दो रूप हैं:

• सामान्य फ़ॉर्म।

  इस रूप में, द्विघात समीकरण को इस प्रकार लिखा जाता है: f(x) = ax² + bx + c जहाँ a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं और a शून्य नहीं है।

  उदाहरण के लिए, सामान्य रूप के दो द्विघात समीकरण हैं f(x) = x² + 2x + 1 और f(x) = 9x² + 10x -8।

• चोटी का आकार।

  इस रूप में, द्विघात समीकरण इस प्रकार लिखा जाता है: f(x) = a(x - h)² + k जहाँ a, h और k वास्तविक संख्याएँ हैं और a शून्य नहीं है। इसे शीर्ष रूप कहा जाता है क्योंकि h और k आपके परवलय के शीर्ष (मध्य बिंदु) को बिंदु (h, k) पर तुरंत देंगे।

  दो शीर्ष रूप समीकरण f(x) = 9(x - 4) हैं² + 18 और -3 (एक्स - 5)² + 1

• किसी भी प्रकार के समीकरण को आलेखित करने के लिए, हमें पहले परवलय का शीर्ष ज्ञात करना होगा, जो वक्र के अंत में मध्यबिंदु (h, k) है। सामान्य रूप में चोटियों के निर्देशांक की गणना इस प्रकार की जाती है: h = -b/2a और k = f(h), जबकि शिखर रूप में, h और k समीकरण में हैं।

चरण 2. अपने चर परिभाषित करें।

द्विघात समस्या को हल करने के लिए, चर a, b, और c (या a, h, और k) को आमतौर पर परिभाषित करना पड़ता है। एक साधारण बीजगणित समस्या उपलब्ध चरों के साथ एक द्विघात समीकरण देगी, आमतौर पर सामान्य रूप में, लेकिन कभी-कभी चरम रूप में।

• उदाहरण के लिए, सामान्य रूप के समीकरण के लिए f(x) = 2x² +16x + 39, हमारे पास a = 2, b = 16, और c = 39 है।
• पीक फॉर्म समीकरण के लिए f(x) = 4(x - 5)² + 12, हमारे पास a = 4, h = 5, और k = 12 है।

चरण 3. गणना एच।

वर्टेक्स फॉर्म समीकरण में, आपका एच मान पहले से ही दिया गया है, लेकिन सामान्य रूप समीकरण में, एच मान की गणना की जानी चाहिए। याद रखें कि, सामान्य रूप के समीकरणों के लिए, h = -b/2a.

• हमारे सामान्य रूप में उदाहरण (f(x) = 2x² +16x + 39), एच = -बी/2ए = -16/2(2)। हल करने के बाद, हम पाते हैं कि h = - 4.
• हमारे शीर्ष रूप में उदाहरण (f(x) = 4(x - 5)² + 12), हम जानते हैं कि h = 5 बिना कोई गणित किए।

चरण 4. k की गणना करें।

एच की तरह, के को पहले से ही शिखर रूप के समीकरण में जाना जाता है। सामान्य रूप के समीकरणों के लिए, याद रखें कि k = f(h)। दूसरे शब्दों में, आप अपने समीकरण में सभी x मानों को आपके द्वारा अभी-अभी मिले h मानों से बदलकर k पा सकते हैं।

• हम अपने सामान्य रूप उदाहरण में पहले ही निर्धारित कर चुके हैं कि h = -4। k ज्ञात करने के लिए, हम x के स्थान पर h का मान जोड़कर समीकरण को हल करते हैं:

  • कश्मीर = 2(-4)² + 16(-4) + 39.
  • के = 2(16) - 64 + 39।

  • कश्मीर = 32 - 64 + 39 =

    चरण 7.

• हमारे चरम रूप उदाहरण में, फिर से, हम बिना किसी गणित के k (जो कि 12 है) का मान जानते हैं।

चरण 5. अपनी चोटी बनाएं।

आपके परवलय का शीर्ष बिंदु (h, k) है - h x-निर्देशांक का प्रतिनिधित्व करता है, जबकि k y-निर्देशांक का प्रतिनिधित्व करता है। शीर्ष आपके परवलय का मध्यबिंदु है - या तो U के नीचे या उल्टे U के शीर्ष पर। शीर्षों को जानना एक सटीक परवलय बनाने का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है - अक्सर, स्कूल के काम में, शीर्ष का निर्धारण एक प्रश्न में देखने का हिस्सा होता है।

• हमारे सामान्य रूप उदाहरण में, हमारा शिखर (-4, 7) है। इस प्रकार, हमारा परवलय 0 से बाईं ओर 4 कदम और ऊपर के 7 कदम (0, 0) पर समाप्त होगा। निर्देशांक को चिह्नित करना सुनिश्चित करते हुए, हमें इस बिंदु को अपने ग्राफ में चित्रित करना चाहिए।
• हमारे शीर्ष रूप उदाहरण में, हमारा शीर्ष (5, 12) है। हमें दाईं ओर 5 कदम और ऊपर 12 कदम (0, 0) एक बिंदु बनाना है।

चरण 6. परवलय की धुरी बनाएं (वैकल्पिक)।

एक परवलय की समरूपता की धुरी एक रेखा है जो इसके केंद्र से होकर गुजरती है, इसे बिल्कुल बीच में विभाजित करती है। इस अक्ष पर, परवलय का बायाँ भाग दाएँ भाग को परावर्तित करेगा। ax. के रूप में द्विघात समीकरणों के लिए² + बीएक्स + सी या ए (एक्स - एच)² + k, सममिति की धुरी वह रेखा है जो y-अक्ष के समानांतर है (दूसरे शब्दों में, बिल्कुल लंबवत) और शीर्ष से होकर गुजरती है।

हमारे सामान्य रूप उदाहरण के मामले में, अक्ष y-अक्ष के समानांतर और बिंदु (-4, 7) से गुजरने वाली रेखा है। भले ही यह परवलय का हिस्सा नहीं है, फिर भी अपने ग्राफ़ पर इस रेखा को बारीकी से चिह्नित करने से आपको परवलय के वक्र के सममित आकार को देखने में मदद मिलेगी।

चरण 7. परवलय के खुलने की दिशा ज्ञात कीजिए।

परवलय के शिखर और अक्ष को जानने के बाद, आगे हमें यह जानना होगा कि परवलय ऊपर या नीचे खुलता है या नहीं। सौभाग्य से, यह आसान है। यदि a का मान धनात्मक है, तो परवलय ऊपर की ओर खुलेगा, जबकि यदि a का मान ऋणात्मक है, तो परवलय नीचे की ओर खुलेगा (अर्थात परवलय उल्टा होगा)।

• हमारे सामान्य रूप उदाहरण के लिए (f(x) = 2x² +16x + 39), हम जानते हैं कि हमारे पास एक परवलय है जो खुलता है, क्योंकि हमारे समीकरण में, a = 2 (धनात्मक)।
• हमारे शीर्ष रूप उदाहरण के लिए (f(x) = 4(x - 5)² + 12), हम जानते हैं कि हमारे पास एक परवलय भी है जो खुलता है क्योंकि a = 4 (धनात्मक)।

चरण 8. यदि आवश्यक हो, तो x-प्रतिच्छेदन ज्ञात कीजिए और खींचिए।

अक्सर, स्कूलवर्क में, आपको परवलय में x-अवरोधन खोजने के लिए कहा जाएगा (जो एक या दो बिंदु हैं जहां परवलय x-अक्ष से मिलता है)। यदि आप एक नहीं पाते हैं, तो भी ये दो बिंदु एक सटीक परवलय बनाने के लिए बहुत महत्वपूर्ण हैं। हालांकि, सभी परवलयों में x-अवरोधन नहीं होता है। यदि आपके परवलय में एक शीर्ष खुलता है और इसका शीर्ष x-अक्ष से ऊपर है या यदि यह नीचे की ओर खुलता है और इसका शीर्ष x-अक्ष के नीचे है, परवलय का कोई x-अवरोधन नहीं होगा. अन्यथा, निम्नलिखित में से किसी एक तरीके से अपने x-प्रतिच्छेदन को हल करें:

• बस f(x) = 0 बनाएं और समीकरण को हल करें। इस पद्धति का उपयोग साधारण द्विघात समीकरणों के लिए किया जा सकता है, विशेष रूप से शिखर रूप में, लेकिन जटिल समीकरणों के लिए यह बहुत कठिन होगा। उदाहरण के लिए नीचे देखें

  • एफ (एक्स) = 4 (एक्स - 12)² - 4
  • 0 = 4(x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (एक्स - 12)²
  • 1 = (एक्स - 12)²
  • मूल (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = एक्स -12। एक्स = 11 और 13 परवलय में x-अवरोधन है।

• अपने समीकरण को फैक्टर करें। कुल्हाड़ी के रूप में कुछ समीकरण² + bx + c को आसानी से (dx + e)(fx +g) के रूप में विभाजित किया जा सकता है, जहां dx × fx = ax², (डीएक्स × जी + एफएक्स × ई) = बीएक्स, और ई × जी = सी। इस स्थिति में, आपके x-अवरोधन x मान हैं जो कोष्ठक में कोई भी पद = 0 बना देंगे। उदाहरण के लिए:

  • एक्स² + 2x + 1
  • = (एक्स + 1)(एक्स + 1)
  • इस मामले में, आपका एकमात्र एक्स-अवरोध -1 है क्योंकि x बराबर -1 बनाने से कोष्ठक में कोई भी कारक शब्द 0 के बराबर हो जाएगा।

• द्विघात सूत्र का प्रयोग करें। यदि आप आसानी से अपने एक्स-अवरोधन को हल नहीं कर सकते हैं या अपने समीकरण को कारक बना सकते हैं, तो एक विशेष समीकरण का उपयोग करें जिसे द्विघात सूत्र कहा जाता है जो इस उद्देश्य के लिए बनाया गया था। यदि यह अभी तक हल नहीं हुआ है, तो अपने समीकरण को कुल्हाड़ी के रूप में परिवर्तित करें² + bx + c, फिर a, b, और c को सूत्र में दर्ज करें x = (-b +/- sqrt(b)² - 4एसी))/2ए। ध्यान दें कि यह विधि अक्सर आपको x के मान के लिए दो उत्तर देती है, जो ठीक है - इसका सीधा सा मतलब है कि आपके परवलय में दो x-अवरोधन हैं। उदाहरण के लिए नीचे देखें:

  • -5x² + 1x + 10 को द्विघात सूत्र में इस प्रकार रखा जाता है:
  • x = (-1 +/- मूल (1.)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • एक्स = (-1 +/- रूट(1 + 200))/-10
  • एक्स = (-1 +/- रूट(201))/-10
  • एक्स = (-1 +/- 14, 18)/-10
  • एक्स = (13, 18/-10) और (-15, 18/-10)। परवलय में x-अवरोधन x =. है - 1, 318 तथा 1, 518
  • सामान्य रूप का हमारा पिछला उदाहरण, 2x² +16x+39 को द्विघात सूत्र में निम्नानुसार रखा गया है:
  • एक्स = (-16 +/- रूट (16.)² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- रूट(256 - 312))/4
  • एक्स = (-16 +/- रूट (-56)/-10
  • चूँकि ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल ज्ञात करना असंभव है, हम जानते हैं कि यह परवलय कोई x-अवरोधन नहीं है.

चरण 9. यदि आवश्यक हो, तो y-प्रतिच्छेदन ज्ञात कीजिए और आरेखित कीजिए।

हालांकि समीकरणों में y-अवरोधन की तलाश करना अक्सर आवश्यक नहीं होता है (वह बिंदु जहां परवलय y-अक्ष से होकर गुजरता है), आपको अंततः इसे ढूंढना पड़ सकता है, खासकर यदि आप स्कूल में हैं। प्रक्रिया काफी सरल है - बस x = 0 बनाएं, फिर f(x) या y के लिए अपना समीकरण हल करें, जो y का मान देता है जहां आपका परवलय y-अक्ष से होकर गुजरता है। एक्स-अवरोधन के विपरीत, एक नियमित परवलय में केवल एक y-अवरोधन हो सकता है। नोट - सामान्य रूप के समीकरणों के लिए, y-अवरोधन y = c पर होता है।

• उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि हमारा द्विघात समीकरण 2x. है² + 16x + 39 में y = 39 पर y-अवरोधन है, लेकिन इसे निम्न तरीके से भी पाया जा सकता है:

  • एफ (एक्स) = 2x² +16x+39
  • एफ (एक्स) = 2(0)² + 16(0) + 39

  • f(x) = 39. परवलय का y-प्रतिच्छेदन पर है वाई = 39.

    जैसा कि ऊपर बताया गया है, y-अवरोध y = c पर है।

• हमारे शीर्ष समीकरण का रूप 4(x - 5) है² + 12 में एक y-अवरोधन है जिसे निम्नलिखित तरीके से पाया जा सकता है:

  • एफ(एक्स) = 4(एक्स - 5)² + 12
  • एफ(एक्स) = 4(0 - 5)² + 12
  • एफ(एक्स) = 4(-5)² + 12
  • एफ(एक्स) = 4(25) + 12

  • f(x) = 112. परवलय का y-प्रतिच्छेदन पर है वाई = 112.

चरण 10. यदि आवश्यक हो, तो अतिरिक्त बिंदु बनाएं, फिर एक ग्राफ बनाएं।

अब आपके पास अपने समीकरण में शीर्ष, दिशा, x-अवरोधन, और संभवतः, y-अवरोधन है। इस स्तर पर, आप एक मार्गदर्शक के रूप में आपके पास मौजूद बिंदुओं का उपयोग करके अपने परवलय को खींचने का प्रयास कर सकते हैं, या अपने परवलय में भरने के लिए अन्य बिंदुओं की तलाश कर सकते हैं ताकि आपके द्वारा खींचा गया वक्र अधिक सटीक हो। ऐसा करने का सबसे आसान तरीका है कि आप अपने शीर्ष के किसी भी तरफ कुछ x-मान दर्ज करें, फिर आपको मिलने वाले y-मानों का उपयोग करके इन बिंदुओं को प्लॉट करें। अक्सर, शिक्षक आपको परवलय बनाने से पहले कई बिंदुओं को देखने के लिए कहते हैं।

• आइए समीकरण x. की समीक्षा करें² + 2x + 1. हम पहले से ही जानते हैं कि x-अवरोधन केवल x = -1 पर है। चूंकि वक्र केवल एक बिंदु पर x-अवरोधन को छूता है, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि शीर्ष इसका x-अवरोधन है, जिसका अर्थ है कि शीर्ष (-1, 0) है। इस परवलय के लिए हमारे पास प्रभावी रूप से केवल एक बिंदु है - एक अच्छा परवलय बनाने के लिए पर्याप्त नहीं है। आइए यह सुनिश्चित करने के लिए कुछ अन्य बिंदुओं की तलाश करें कि हम एक संपूर्ण ग्राफ बनाते हैं।

  • आइए निम्नलिखित x मानों के लिए y मान खोजें: 0, 1, -2, और -3।
  • 0 के लिए: f(x) = (0)² + 2(0) + 1 = 1. हमारी बात है (0, 1).

  • 1 के लिए: f(x) = (1)² +2(1) + 1 = 4. हमारी बात है (1, 4).

  • -2 के लिए: f(x) = (-2)² + 2(-2) + 1 = 1. हमारी बात है (-2, 1).

  • -3 के लिए: f(x) = (-3)² + 2(-3) + 1 = 4. हमारी बात है (-3, 4).

  • इन बिंदुओं को ग्राफ़ पर बनाएं और अपना U-आकार का वक्र बनाएं। ध्यान दें कि परवलय पूरी तरह से सममित है - जब परवलय के एक तरफ आपके बिंदु पूर्णांक होते हैं, तो आप आमतौर पर परवलय के दूसरी तरफ समान बिंदु खोजने के लिए समरूपता के परवलय के अक्ष पर दिए गए बिंदु को प्रतिबिंबित करने के काम को कम कर सकते हैं।.

टिप्स

• अपने बीजगणित शिक्षक के अनुरोध के अनुसार गोल संख्याएँ या भिन्नों का उपयोग करें। यह आपको द्विघात समीकरण को बेहतर ढंग से रेखांकन करने में मदद करेगा।
• ध्यान दें कि f(x) = ax. में² + बीएक्स + सी, यदि बी या सी शून्य के बराबर है, तो ये संख्याएं गायब हो जाएंगी। उदाहरण के लिए, 12x² + 0x + 6 12x. हो जाता है² + 6 क्योंकि 0x 0 है।