डोमेन और कार्यों की श्रेणी कैसे खोजें: 14 कदम (चित्रों के साथ)

2024 लेखक: Jason Gerald | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-16 11:13

प्रत्येक फ़ंक्शन में दो चर होते हैं, अर्थात् स्वतंत्र चर और आश्रित चर। वस्तुतः आश्रित चर का मान स्वतंत्र चर पर "निर्भर" होता है। उदाहरण के लिए, फलन y = f(x) = 2 x + y में, x स्वतंत्र चर है और y आश्रित चर है (दूसरे शब्दों में, y x का एक फलन है)। ज्ञात चर x के लिए मान्य मान "मूल के डोमेन" कहलाते हैं। ज्ञात y चर के लिए मान्य मानों को "परिणाम श्रेणी" कहा जाता है।

कदम

3 का भाग 1: किसी फ़ंक्शन का डोमेन ढूँढना

चरण 1. तय करें कि आप किस प्रकार का कार्य करने जा रहे हैं।

फ़ंक्शन का डोमेन सभी x-मान (क्षैतिज अक्ष) है जो मान्य y-मान लौटाएगा। फ़ंक्शन का समीकरण एक द्विघात, एक भिन्न या एक मूल हो सकता है। फ़ंक्शन के डोमेन की गणना करने के लिए, आपको सबसे पहले समीकरण में चरों की जांच करनी होगी।

एक द्विघात फलन का रूप ax. होता है² + बीएक्स + सी: एफ (एक्स) = 2x² + 3x + 4
भिन्नों वाले फलनों के उदाहरणों में शामिल हैं: f(x) = (¹/_एक्स), एफ (एक्स) = ^{(एक्स+1)}/_{(एक्स - 1)}, और दूसरे।
ऐसे फलन जिनके मूल हैं: f(x) = x, f(x) = (x.)² + 1), f(x) = -x, इत्यादि।

चरण 2. डोमेन को उचित नोटेशन के साथ लिखें।

किसी फ़ंक्शन के डोमेन को लिखने में वर्ग कोष्ठक [,] के साथ-साथ कोष्ठक (,) का उपयोग करना शामिल है। यदि संख्या डोमेन से संबंधित है तो वर्गाकार कोष्ठक [,] का उपयोग करें और यदि डोमेन में संख्या शामिल नहीं है तो कोष्ठक (,) का उपयोग करें। अक्षर U एक ऐसे संघ को दर्शाता है जो डोमेन के उन हिस्सों को जोड़ता है जिन्हें दूरी से अलग किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, [-2, 10) U (10, 2] के डोमेन में -2 और 2 शामिल हैं, लेकिन इसमें संख्या 10 शामिल नहीं है।
यदि आप अनंत चिह्न का उपयोग कर रहे हैं, तो हमेशा कोष्ठक () का उपयोग करें।

चरण 3. द्विघात समीकरण का आलेख खींचिए।

द्विघात समीकरण एक परवलयिक ग्राफ उत्पन्न करते हैं जो ऊपर या नीचे खुलता है। यह देखते हुए कि परवलय x-अक्ष पर अनंतता जारी रखेगा, अधिकांश द्विघात समीकरणों का क्षेत्र सभी वास्तविक संख्याएँ हैं। दूसरे शब्दों में कहें, एक द्विघात समीकरण में संख्या रेखा पर सभी x-मान शामिल होते हैं, जो डोमेन देते हैं आर (सभी वास्तविक संख्याओं के लिए प्रतीक)।

फ़ंक्शन को हल करने के लिए, कोई भी x-मान चुनें और इसे फ़ंक्शन में दर्ज करें। किसी फ़ंक्शन को x-मान के साथ हल करने पर y-मान वापस आ जाएगा। x और y के मान फ़ंक्शन के ग्राफ़ के (x, y) निर्देशांक हैं।
इन निर्देशांकों को एक ग्राफ पर प्लॉट करें और इस प्रक्रिया को दूसरे x-मान के साथ दोहराएं।
इस मॉडल में कुछ मानों को प्लॉट करने से आपको द्विघात फलन के आकार का अवलोकन मिलेगा।

चरण 4. यदि फलन का समीकरण एक भिन्न है, तो हर को शून्य के बराबर करें।

भिन्नों के साथ काम करते समय, आप कभी भी शून्य से विभाजित नहीं कर सकते। हर को शून्य के बराबर बनाकर और x का मान ज्ञात करके, आप फ़ंक्शन से निकालने के लिए मानों की गणना कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए: फलन f(x) =. का प्रांत निर्धारित करें ^{(एक्स+1)}/_{(एक्स - 1)}.
फलन का हर (x - 1) है।
हर को शून्य के बराबर करें और x: x - 1 = 0, x = 1 के मान की गणना करें।
डोमेन लिखें: फ़ंक्शन के डोमेन में 1 शामिल नहीं है, लेकिन 1 को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएं शामिल हैं; इसलिए, प्रांत (-∞, 1) U(1,) है।
(-∞, 1) U (1,) को 1 को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं के संग्रह के रूप में पढ़ा जा सकता है। अनंत का प्रतीक, सभी वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करता है। इस स्थिति में, 1 से अधिक और 1 से कम सभी वास्तविक संख्याएँ डोमेन में शामिल हैं।

चरण 5. यदि समीकरण एक मूल फलन है, तो मूल चरों को शून्य से बड़ा या उसके बराबर करें।

आप ऋणात्मक संख्या के वर्गमूल का उपयोग नहीं कर सकते; इसलिए, कोई भी x-मान जो ऋणात्मक संख्या की ओर ले जाता है उसे फ़ंक्शन के डोमेन से हटा दिया जाना चाहिए।

उदाहरण के लिए: फलन f(x) = (x + 3) का प्रांत ज्ञात कीजिए।
जड़ में चर हैं (x + 3)।
मान को शून्य से बड़ा या उसके बराबर करें: (x + 3) 0.
x: x -3 के लिए मान की गणना करें। x: x -3 के लिए हल करें।
फ़ंक्शन के डोमेन में -3 से अधिक या उसके बराबर सभी वास्तविक संख्याएँ शामिल होती हैं; इसलिए, डोमेन [-3,) है।

3 का भाग 2: द्विघात समीकरण का परिसर ज्ञात करना

चरण 1. सुनिश्चित करें कि आपके पास द्विघात कार्य है।

द्विघात फलन का रूप है ax² + बीएक्स + सी: एफ (एक्स) = 2x² + 3x + 4. द्विघात फलन का आलेख एक परवलय है जो ऊपर या नीचे खुलता है। आप जिस प्रकार के फ़ंक्शन पर काम कर रहे हैं, उसके आधार पर फ़ंक्शन की श्रेणी की गणना करने के विभिन्न तरीके हैं।

अन्य कार्यों की सीमा निर्धारित करने का सबसे आसान तरीका, जैसे कि रूट फ़ंक्शन या अंश फ़ंक्शन, ग्राफ़िंग कैलकुलेटर का उपयोग करके फ़ंक्शन को ग्राफ़ करना है।

चरण 2. फलन के शीर्ष का x-मान ज्ञात कीजिए।

द्विघात फलन का शीर्ष परवलय का शीर्ष होता है। याद रखें, द्विघात फलन का रूप है ax² + बीएक्स + सी। x-निर्देशांक ज्ञात करने के लिए समीकरण x = -b/2a का प्रयोग करें। समीकरण एक बुनियादी द्विघात फलन का व्युत्पन्न है जो एक शून्य ढलान/ढलान के साथ एक समीकरण का प्रतिनिधित्व करता है (ग्राफ के शीर्ष पर, फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट शून्य है)।

उदाहरण के लिए, 3x. का परिसर ज्ञात कीजिए² + 6x -2।
शीर्ष के x-निर्देशांक की गणना करें: x = -b/2a = -6/(2*3) = -1

चरण 3. फ़ंक्शन के शीर्ष के y-मान की गणना करें।

शीर्ष के संगत y-मान की गणना करने के लिए x-निर्देशांक को फ़ंक्शन में प्लग करें। यह y-मान फ़ंक्शन की सीमा की सीमा को इंगित करता है।

y-निर्देशांक की गणना करें: y = 3x² + 6x - 2 = 3(-1)² + 6(-1) -2 = -5.
इस फ़ंक्शन का शीर्ष (-1, -5) है।

चरण 4. कम से कम एक और x-मान लगाकर परवलय की दिशा निर्धारित करें।

कोई अन्य x-मान चुनें और उपयुक्त y-मान की गणना करने के लिए इसे फ़ंक्शन में प्लग करें। यदि y-मान शीर्ष से ऊपर है, तो परवलय +∞ पर बना रहता है। यदि y-मान शीर्ष के नीचे है, तो परवलय -∞ तक जारी रहेगा।

x-मान -2 का प्रयोग करें: y = 3x² + 6x - 2 = y = 3(-2)² + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
यह गणना निर्देशांक (-2, -2) लौटाती है।
ये निर्देशांक आपको दिखाते हैं कि परवलय शीर्ष के ऊपर बना रहता है (-1, -5); इसलिए, श्रेणी में -5 से ऊपर के सभी y-मान शामिल हैं।
इस फ़ंक्शन की सीमा [-5,) है।

चरण 5. उचित अंकन के साथ श्रेणी लिखें।

डोमेन की तरह, श्रेणियां एक ही अंकन के साथ लिखी जाती हैं। यदि संख्या श्रेणी में है तो वर्गाकार कोष्ठक [,] का प्रयोग करें और यदि श्रेणी में संख्या शामिल न हो तो कोष्ठक (,) का प्रयोग करें। अक्षर U एक ऐसे संघ को इंगित करता है जो सीमा के उन हिस्सों को जोड़ता है जिन्हें दूरी से अलग किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, [-2, 10) U (10, 2] की श्रेणी में -2 और 2 शामिल हैं, लेकिन इसमें संख्या 10 शामिल नहीं है।
यदि आप अनंत चिह्न का उपयोग करते हैं, तो हमेशा कोष्ठक का उपयोग करें।

भाग ३ का ३: किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ से रेंज ढूँढना

चरण 1. फ़ंक्शन ड्रा करें।

अक्सर, किसी फ़ंक्शन की सीमा निर्धारित करने का सबसे आसान तरीका इसे ग्राफ़ करना है। कई रूट फ़ंक्शंस में एक श्रेणी (-∞, 0] या [0, +∞) होती है क्योंकि क्षैतिज परवलय (बग़ल में परवलय) का शीर्ष क्षैतिज x अक्ष पर होता है। इस मामले में, फ़ंक्शन में सभी सकारात्मक y-मान शामिल हैं यदि परवलय खुलता है, या सभी नकारात्मक y-मान यदि परवलय नीचे की ओर खुलता है। भिन्नात्मक कार्यों में स्पर्शोन्मुख (ऐसी रेखाएँ जो कभी भी एक सीधी रेखा / वक्र द्वारा नहीं काटी जाती हैं, लेकिन अनंत तक पहुँचती हैं) जो फ़ंक्शन की सीमा को परिभाषित करती हैं।

कुछ मूल कार्य x-अक्ष के ऊपर या नीचे प्रारंभ होंगे। इस मामले में, सीमा उस संख्या से निर्धारित होती है जहां रूट फ़ंक्शन शुरू होता है। यदि परवलय y = -4 से शुरू होता है और ऊपर जाता है तो परास [-4, +∞) होता है।
किसी फ़ंक्शन को ड्रा करने का सबसे आसान तरीका ग्राफ़िंग प्रोग्राम या ग्राफ़िंग कैलकुलेटर का उपयोग करना है।
यदि आपके पास रेखांकन कैलकुलेटर नहीं है, तो आप फ़ंक्शन में x-मान को प्लग करके और उपयुक्त y-मान प्राप्त करके ग्राफ़ का एक मोटा स्केच बना सकते हैं। ग्राफ़ कैसा दिखता है, इसका अंदाजा लगाने के लिए इन निर्देशांकों को ग्राफ़ पर प्लॉट करें।

चरण 2. फ़ंक्शन का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

फ़ंक्शन को आरेखित करने के तुरंत बाद, आपको ग्राफ़ के निम्नतम बिंदु को स्पष्ट रूप से देखने में सक्षम होना चाहिए। यदि कोई स्पष्ट न्यूनतम मान नहीं है, तो जान लें कि कुछ फ़ंक्शन -∞ (अनंत) पर जारी रहेंगे।

एक भिन्न फलन में स्पर्शोन्मुख बिंदुओं को छोड़कर सभी बिंदु शामिल होंगे। फ़ंक्शन की एक सीमा होती है जैसे (-∞, 6) U (6,)।

चरण 3. फ़ंक्शन का अधिकतम मान निर्धारित करें।

फिर से, ग्राफ खींचने के बाद, आपको फ़ंक्शन के अधिकतम बिंदु की पहचान करने में सक्षम होना चाहिए। कुछ फ़ंक्शन +∞ पर जारी रहेंगे और इसलिए, उनका न्यूनतम मान नहीं होगा।

चरण 4. उचित अंकन के साथ श्रेणी लिखें।

उदाहरण के लिए, [-2, 10) U (10, 2] की श्रेणी में -2 और 2 शामिल हैं, लेकिन इसमें संख्या 10 शामिल नहीं है।
यदि आप अनंत चिह्न का उपयोग करते हैं, तो हमेशा कोष्ठक का उपयोग करें।