सदिशों को जोड़ने या घटाने के 3 तरीके

2024 लेखक: Jason Gerald | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-15 08:15

एक सदिश एक भौतिक मात्रा है जिसमें परिमाण और दिशा (जैसे वेग, त्वरण और विस्थापन) दोनों होते हैं, एक अदिश के विपरीत जिसमें केवल परिमाण (जैसे गति, दूरी या ऊर्जा) होता है। यदि परिमाण जोड़कर स्केलर जोड़े जा सकते हैं (उदाहरण के लिए 5 kJ कार्य प्लस 6 kJ कार्य 11 kJ कार्य के बराबर है), तो सदिशों को जोड़ना या घटाना थोड़ा मुश्किल है। सदिशों को जोड़ने या घटाने के कुछ तरीके जानने के लिए नीचे चरण 1 देखें।

कदम

विधि 1 का 3: वेक्टरों को जोड़ना और घटाना जिनके घटक ज्ञात हैं

चरण 1. सदिश संकेतन में सदिश के विमीय घटकों को लिखिए।

चूंकि वैक्टर में परिमाण और दिशा होती है, इसलिए उन्हें आमतौर पर x, y और/या z आयामों के आधार पर भागों में तोड़ा जा सकता है। इन आयामों को आमतौर पर एक समन्वय प्रणाली (जैसे और अन्य) में एक बिंदु का वर्णन करने के लिए एक समान संकेतन में लिखा जाता है। यदि आप इस भाग को जानते हैं, तो सदिशों को जोड़ना या घटाना बहुत आसान है, बस उनके x, y, और z निर्देशांकों को जोड़ें या घटाएं।

• ध्यान दें कि वेक्टर के आयाम 1, 2, या 3 हैं। इस प्रकार, वेक्टर में घटक x, x और y, या x, y, और z हो सकते हैं। हमारा निम्नलिखित उदाहरण 3-आयामी वेक्टर का उपयोग करता है, लेकिन प्रक्रिया 1- या 2-आयामी वेक्टर की तरह है।
• मान लीजिए कि हमारे पास दो त्रि-आयामी वेक्टर हैं, वेक्टर ए और वेक्टर बी। हम वेक्टर नोटेशन का उपयोग करके इन वैक्टरों को लिख सकते हैं जैसे ए = और बी =, जहां ए 1 और ए 2 एक्स घटक हैं, बी 1 और बी 2 वाई घटक हैं, और सी 1 और सी 2 घटक z हैं।

चरण 2. दो वैक्टर जोड़ने के लिए, उनके घटकों को जोड़ें।

यदि किसी सदिश के दो घटक ज्ञात हैं, तो आप प्रत्येक के घटकों को जोड़कर सदिश जोड़ सकते हैं। दूसरे शब्दों में, पहले वेक्टर के x-घटक को दूसरे वेक्टर के x-घटक में जोड़ें, और y और z के लिए भी ऐसा ही करें। उन वैक्टर के x, y, और z घटकों को जोड़ने से आपको जो उत्तर मिलता है, वह आपके नए वेक्टर के x, y और z घटक हैं।

• आम तोर पे, ए+बी =.
• आइए दो वैक्टर ए और बी जोड़ें। ए = और बी =। ए + बी =, या।

चरण 3. दोनों सदिशों को घटाने के लिए उनके घटकों को घटाएं।

जैसा कि हम बाद में चर्चा करेंगे, एक सदिश को दूसरे से घटाना, इसके पारस्परिक सदिशों को जोड़ने के रूप में माना जा सकता है। यदि दोनों वैक्टर के घटक ज्ञात हैं, तो दूसरे घटक से पहले घटक को घटाकर (या दोनों के नकारात्मक घटकों को जोड़कर) एक वेक्टर को दूसरे से घटाना संभव है।

• आम तोर पे, ए-बी =
• आइए दो वैक्टर ए और बी घटाएं। ए = और बी =। ए - बी =, या।

विधि 2 का 3: सिर और पूंछ विधि का उपयोग करके चित्रों के साथ जोड़ना और घटाना

चरण 1. सदिश को चित और पूंछ की सहायता से खींचकर उसका प्रतीक चिन्ह बनाएं।

चूँकि सदिशों में परिमाण और दिशा दोनों होते हैं, इसलिए हम कह सकते हैं कि उनके पास एक पट और एक चित है। दूसरे शब्दों में, एक वेक्टर का एक प्रारंभिक बिंदु और एक अंत बिंदु होता है जो उस वेक्टर की दिशा को इंगित करता है जिसकी प्रारंभिक बिंदु से दूरी वेक्टर के परिमाण के बराबर होती है। जब खींचा जाता है, तो वेक्टर एक तीर का आकार लेता है। तीर की नोक वेक्टर का सिरा है और वेक्टर लाइन का अंत पूंछ है।

यदि आप आयामों के साथ एक सदिश चित्र बना रहे हैं, तो आपको सभी कोनों को सटीक रूप से मापने और खींचने की आवश्यकता होगी। जब इस पद्धति का उपयोग करके दो वैक्टर जोड़े या घटाए जाते हैं तो छवि का गलत कोण परिणामी परिणाम को प्रभावित करेगा।

चरण 2. दूसरे वेक्टर को जोड़ने, खींचने या स्थानांतरित करने के लिए ताकि पूंछ पहले वेक्टर के सिर से मिल जाए।

इसे हेड टू टेल वैक्टर का संयोजन कहा जाता है। यदि आप केवल दो वैक्टर जोड़ रहे हैं, तो परिणामी वेक्टर खोजने से पहले आपको यहां क्या करना होगा।

ध्यान दें कि जिस क्रम में आप वैक्टर जोड़ते हैं, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता, यह मानते हुए कि आप उसी शुरुआती बिंदु का उपयोग करते हैं। वेक्टर ए + वेक्टर बी = वेक्टर बी + वेल्टर ए।

चरण 3. घटाने के लिए, सदिश में ऋणात्मक चिह्न जोड़ें।

छवियों का उपयोग करके वैक्टर को कम करना बहुत आसान है। सदिश दिशा को उलट दें, लेकिन परिमाण समान रखें और हमेशा की तरह अपने वेक्टर सिर और पूंछ को जोड़ें। दूसरे शब्दों में, किसी सदिश को घटाने के लिए, सदिश को घुमाएँ 180^हे और जोड़ो।

चरण 4. यदि आप दो से अधिक सदिशों को जोड़ते या घटाते हैं, तो सभी सदिशों को एक शीर्ष-से-पूंछ क्रम में संयोजित करें।

विलय का क्रम कोई मायने नहीं रखता। वैक्टर की संख्या की परवाह किए बिना इस पद्धति का उपयोग किया जा सकता है।

चरण 5. पहले वेक्टर की पूंछ से अंतिम वेक्टर के शीर्ष तक एक नया वेक्टर बनाएं।

चाहे आप दो वैक्टर या सौ जोड़ रहे हों या घटा रहे हों, वेक्टर जो आपके प्रारंभिक प्रारंभिक बिंदु (पहले वेक्टर की पूंछ) से आपके अंतिम वेक्टर (आपके अंतिम वेक्टर का सिर) के अंतिम बिंदु तक फैला हुआ है, परिणामी वेक्टर है या आपके सभी वैक्टरों का योग। ध्यान दें कि यह वेक्टर बिल्कुल वैसा ही है जैसा कि सभी x, y, और/या z घटकों को जोड़कर प्राप्त वेक्टर है।

• यदि आप अपने सभी सदिशों को आकार में खींचते हैं, तो सभी कोणों को सही ढंग से मापकर, आप लंबाई को मापकर परिणामी वेक्टर का परिमाण निर्धारित कर सकते हैं। आप परिणामी और किसी सदिश के बीच के कोण को क्षैतिज या लंबवत रूप से मापकर उसकी दिशा निर्धारित कर सकते हैं।
• यदि आप अपने सभी सदिशों को आकार में नहीं खींचते हैं, तो आपको त्रिकोणमिति का उपयोग करके परिणामी के परिमाण की गणना करनी पड़ सकती है। शायद साइन और कोसाइन नियम मदद करेंगे। यदि आप दो से अधिक वैक्टर जोड़ते हैं, तो पहले वेक्टर को दूसरे से जोड़ना मददगार होता है, फिर दूसरे के परिणामी को तीसरे में जोड़ना, और इसी तरह। अधिक जानकारी के लिए निम्न अनुभाग देखें।

चरण 6. इसके परिमाण और दिशा का उपयोग करते हुए अपना परिणामी सदिश बनाइए।

एक वेक्टर को उसकी लंबाई और दिशा से परिभाषित किया जाता है। ऊपर के रूप में, यह मानते हुए कि आपने अपने वेक्टर को सटीक रूप से खींचा है, आपके नए वेक्टर का परिमाण इसकी लंबाई है और इसकी दिशा लंबवत या क्षैतिज दिशा के सापेक्ष कोण है। अपने परिणामी वेक्टर के परिमाण के लिए इकाइयों को निर्धारित करने के लिए आप जो इकाई वैक्टर जोड़ते हैं या घटाते हैं उसका उपयोग करें।

उदाहरण के लिए, यदि जोड़े गए वैक्टर ms. में वेग का प्रतिनिधित्व करते हैं^-1, तो परिणामी वेक्टर को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है "गति x एमएस^-1 आपके खिलाफ ^हे क्षैतिज दिशा के लिए.

विधि 3 का 3: वेक्टर आयामी घटकों को निर्दिष्ट करके वेक्टर जोड़ना और घटाना

चरण 1. एक वेक्टर के घटकों को निर्धारित करने के लिए त्रिकोणमिति का प्रयोग करें।

एक वेक्टर के घटकों को खोजने के लिए, आपको आमतौर पर क्षैतिज या ऊर्ध्वाधर दिशा के सापेक्ष इसकी परिमाण और दिशा जानने और त्रिकोणमिति को समझने की आवश्यकता होती है। 2-आयामी वेक्टर मानते हुए, पहले, अपने वेक्टर को एक समकोण त्रिभुज के कर्ण के रूप में सोचें, जिसकी दो भुजाएँ x और y दिशाओं के समानांतर हों। इन दोनों पक्षों को सिर से पूंछ तक वेक्टर के घटकों के रूप में माना जा सकता है जो आपके वेक्टर बनाने के लिए जुड़ते हैं।

• दोनों पक्षों की लंबाई आपके वेक्टर के x और y घटकों के बराबर है और त्रिकोणमिति का उपयोग करके इसकी गणना की जा सकती है। यदि x एक सदिश परिमाण है, तो सदिश कोण से सटी भुजा (क्षैतिज, ऊर्ध्वाधर और अन्य दिशाओं के सापेक्ष) है xcos(θ), जबकि विपरीत पक्ष है xsin(θ).
• अपने घटकों की दिशा को नोट करना भी बहुत महत्वपूर्ण है। यदि घटक एक नकारात्मक निर्देशांक को इंगित करता है, तो इसे एक नकारात्मक संकेत दिया जाता है। उदाहरण के लिए, 2-आयामी विमान में, यदि कोई घटक बाईं या नीचे की ओर इशारा कर रहा है, तो यह ऋणात्मक है।
• उदाहरण के लिए, मान लें कि हमारे पास परिमाण 3 और दिशा 135. वाला एक वेक्टर है^हे क्षैतिज के सापेक्ष। इस जानकारी से, हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि x घटक 3cos(135) =. है - 2, 12 और y घटक 3sin(135) =. है 2, 12

चरण 2. दो या अधिक संबंधित सदिशों को जोड़ें या घटाएं।

एक बार जब आप अपने सभी वैक्टर के घटकों को ढूंढ लेते हैं, तो उन्हें अपने परिणामी वेक्टर के घटकों को खोजने के लिए जोड़ें। सबसे पहले, क्षैतिज घटकों (जो x-दिशा के समानांतर हैं) के सभी परिमाणों को जोड़ें। अलग-अलग, ऊर्ध्वाधर घटकों के सभी परिमाणों को जोड़ें (जो y-दिशा के समानांतर हैं)। यदि कोई घटक ऋणात्मक (-) है, तो उसका परिमाण घटाया जाता है, जोड़ा नहीं जाता। आपको जो उत्तर मिलता है वह आपके परिणामी वेक्टर का घटक है।

उदाहरण के लिए, पिछले चरण से सदिश, सदिश में जोड़ा जाता है। इस मामले में, परिणामी वेक्टर या बन जाता है।

चरण 3. पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके परिणामी वेक्टर के परिमाण की गणना करें।

पाइथागोरस प्रमेय c²=ए²+बी², एक समकोण त्रिभुज की भुजा की लंबाई ज्ञात करने के लिए प्रयोग किया जाता है। चूँकि हमारे परिणामी सदिश और उसके घटकों द्वारा निर्मित त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है, हम इसका उपयोग सदिश की लंबाई और परिमाण ज्ञात करने के लिए कर सकते हैं। सी के साथ परिणामी वेक्टर की परिमाण के रूप में, जिसे आप ढूंढ रहे हैं, मान लीजिए कि एक्स घटक का परिमाण है और बी वाई घटक का परिमाण है। बीजगणित का उपयोग करके हल करें।

• सदिश का परिमाण ज्ञात करने के लिए जिसके घटकों को हम पिछले चरण में खोज रहे हैं, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें। इस प्रकार हल करें:

  • सी²=(3, 66)²+(-6, 88)²
  • सी²=13, 40+47, 33
  • सी=√60, 73 = 7, 79

चरण 4. स्पर्शरेखा फ़ंक्शन का उपयोग करके परिणामी दिशा की गणना करें।

अंत में, दिशा का परिणामी सदिश ज्ञात कीजिए। सूत्र का प्रयोग करें = तन^-1(बी/ए), एक्स या क्षैतिज दिशा में बने कोण का आकार कहां है, बी वाई घटक का आकार है, और एक्स घटक का आकार है।

• हमारे सदिश की दिशा ज्ञात करने के लिए =tan. का प्रयोग करें^-1(बी 0 ए 0)।

  • =तन^-1(-6, 88/3, 66)
  • =तन^-1(-1, 88)
  • =-६१, ९९^हे

चरण 5. अपना परिणामी सदिश इसके परिमाण और दिशा के अनुसार खींचिए।

जैसा कि ऊपर लिखा गया है, सदिशों को उनके परिमाण और दिशा से परिभाषित किया जाता है। अपने वेक्टर आकार के लिए उपयुक्त इकाइयों का उपयोग करना सुनिश्चित करें।

उदाहरण के लिए, यदि हमारा वेक्टर उदाहरण एक बल (न्यूटन में) का प्रतिनिधित्व करता है, तो हम इसे लिख सकते हैं "बल 7.79 एन बाय -61.99 ^हे क्षैतिज करने के लिए".

टिप्स

• वेक्टर बड़े से अलग है।
• समान दिशा वाले सदिशों को उनके परिमाणों को जोड़कर या घटाकर जोड़ा या घटाया जा सकता है। अगर तुम अंदाज़ करना दो वैक्टर जो विपरीत हैं, उनके परिमाण घटाए जाते हैं, जोड़े नहीं जाते।
• x i + y j + z k के रूप में निरूपित सदिशों को तीन इकाई सदिशों के गुणांकों को जोड़कर या घटाकर जोड़ा या घटाया जा सकता है। इसका उत्तर i, j और k के रूप में भी है।
• आप सूत्र a. का उपयोग करके त्रि-आयामी वेक्टर का आकार पा सकते हैं²=बी²+सी²+डी² जहाँ a वेक्टर का परिमाण है, और b, c और d प्रत्येक दिशा के घटक हैं।
• कॉलम वैक्टर को प्रत्येक पंक्ति के मूल्यों को जोड़कर या घटाकर जोड़ा और घटाया जा सकता है।