भिन्नों को संतुलित करने के 5 तरीके

2024 लेखक: Jason Gerald | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-15 08:15

दो भिन्न समतुल्य हैं यदि उनका मान समान है। भिन्नों को उनके समकक्ष रूपों में कैसे बदलना है, यह जानना एक अत्यंत महत्वपूर्ण गणित कौशल है, जो गणित के सभी रूपों के लिए आवश्यक है, मूल बीजगणित से लेकर उन्नत कलन तक। यह लेख मूल गुणन और विभाजन से समतुल्य भिन्नों की गणना करने के लिए कई तरीके प्रदान करेगा जो समान भिन्नात्मक समीकरणों को हल करने के अधिक जटिल तरीके हैं।

कदम

5 में से विधि 1: समतुल्य भिन्नों को व्यवस्थित करना

चरण 1. अंश और हर को समान संख्या से गुणा करें।

परिभाषा के अनुसार, दो भिन्न लेकिन समतुल्य भिन्नों में एक अंश और हर होता है जो एक दूसरे के गुणज होते हैं। दूसरे शब्दों में, किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा करने पर तुल्य भिन्न उत्पन्न होते हैं। हालाँकि नए भिन्न में संख्याएँ भिन्न होंगी, भिन्नों का मान समान होगा।

• उदाहरण के लिए, यदि हम भिन्न 4/8 लेते हैं और अंश और हर को 2 से गुणा करते हैं, तो हमें (4×2)/(8×2) = 8/16 प्राप्त होता है। ये दोनों अंश समतुल्य हैं।
• (4×2)/(8×2) वास्तव में 4/8×2/2 के समान है। याद रखें कि दो भिन्नों को गुणा करते समय, हम सीधे गुणा कर रहे हैं, अर्थात् अंश से अंश और हर से हर।
• ध्यान दें कि यदि आप भाग करते हैं तो 2/2 1 के बराबर होता है। इस प्रकार, यह समझना आसान है कि 4/8 और 8/16 बराबर क्यों हैं क्योंकि 4/8 × (2/2) का गुणा करना = 4/8 रहता है। उसी तरह, यह 4/8 = 8/16 कहने जैसा ही है।
• किसी दिए गए भिन्न में तुल्य भिन्नों की अनंत संख्या होती है। बराबर भिन्न प्राप्त करने के लिए आप अंश और हर दोनों को किसी भी पूर्णांक से गुणा कर सकते हैं, चाहे आकार या छोटा कुछ भी हो।

चरण 2. अंश और हर को समान संख्या से विभाजित करें।

गुणन की तरह, विभाजन का उपयोग एक नया अंश खोजने के लिए भी किया जा सकता है जो आपके मूल अंश के बराबर हो। एक भिन्न के अंश और हर को समान संख्या से विभाजित करके समान भिन्न प्राप्त करें। इस प्रक्रिया में एक खामी है- अंतिम अंश में अंश और हर दोनों में पूर्णांक होना चाहिए।

उदाहरण के लिए, आइए 4/8 पर वापस देखें। यदि, गुणा करने के बजाय, हम अंश और हर दोनों को 2 से विभाजित करते हैं, तो हमें (4 2)/(8 2) = 2/4 मिलता है। 2 और 4 पूर्णांक हैं, इसलिए ये तुल्य भिन्न सत्य हैं।

विधि 2 का 5: समानता निर्धारित करने के लिए मूल गुणन का उपयोग करना

चरण 1. वह संख्या ज्ञात कीजिए जिसे बड़ा हर प्राप्त करने के लिए छोटे हर से गुणा किया जाना चाहिए।

भिन्नों के बारे में कई समस्याओं में यह निर्धारित करना शामिल है कि क्या दो भिन्न समतुल्य हैं। इस संख्या की गणना करके, आप समानता निर्धारित करने के लिए भिन्नात्मक शब्दों की बराबरी करना शुरू कर सकते हैं।

• उदाहरण के लिए, भिन्नों 4/8 और 8/16 का पुन: उपयोग करें। छोटा हर 8 है और बड़ा हर प्राप्त करने के लिए हमें संख्या को 2 से गुणा करना होगा, जो कि 16 है। तो इस मामले में संख्या 2 है।
• अधिक कठिन संख्याओं के लिए, आप बड़े हर को छोटे हर से विभाजित कर सकते हैं। इस मामले में, 16 को 8 से विभाजित किया जाता है, जो अभी भी 2 प्राप्त करता है।
• संख्या हमेशा एक पूर्णांक नहीं होती है। उदाहरण के लिए, यदि हर 2 और 7 हैं, तो संख्या 3, 5 है।

चरण 2. भिन्न के अंश और हर को पहले चरण की संख्या से गुणा करें।

परिभाषा के अनुसार, दो भिन्न लेकिन तुल्य भिन्न हैं, अंश और हर जो एक दूसरे के गुणज हैं. दूसरे शब्दों में, किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा करने पर एक समान भिन्न उत्पन्न होगी। हालाँकि इस नए भिन्न में संख्याएँ भिन्न होंगी, लेकिन इन भिन्नों का मान समान होगा।

उदाहरण के लिए, यदि हम पहले चरण से भिन्न 4/8 का उपयोग करते हैं और अंश और हर को पहले परिभाषित संख्या से गुणा करते हैं, जो कि 2 है, तो हमें (4×2)/(8×2) = 8/16. यह परिणाम सिद्ध करता है कि ये दोनों भिन्न तुल्य हैं।

विधि 3 का 5: समानता निर्धारित करने के लिए मूल विभाजन का उपयोग करना

चरण 1. प्रत्येक भिन्न को दशमलव संख्या के रूप में गिनें।

बिना चर के साधारण भिन्नों के लिए, आप समानता निर्धारित करने के लिए प्रत्येक भिन्न को दशमलव संख्या के रूप में प्रस्तुत कर सकते हैं। चूँकि प्रत्येक भिन्न वास्तव में एक विभाजन समस्या है, यह समानता निर्धारित करने का सबसे सरल तरीका है।

• उदाहरण के लिए, पहले इस्तेमाल किए गए भिन्न का उपयोग करें, 4/8। भिन्न 4/8, 4 को 8 से विभाजित करने के बराबर है, जो कि 4/8 = 0.5 है। आप दूसरे उदाहरण को भी हल कर सकते हैं, जो कि 8/16 = 0.5 है। भिन्न में कोई भी शब्द नहीं है, भिन्न समतुल्य है यदि दशमलव में दर्शाए जाने पर दोनों संख्याएँ समान हों।
• ध्यान रखें कि समानता स्पष्ट होने से पहले दशमलव अभिव्यक्तियों में कई अंक हो सकते हैं। एक बुनियादी उदाहरण के रूप में, 1/3 = 0.333 दोहराता है जबकि 3/10 = 0.3। एक से अधिक अंकों का उपयोग करते हुए, हम देखते हैं कि ये दो भिन्न समान नहीं हैं।

चरण 2. एक भिन्न के अंश और हर को समान संख्या से विभाजित करके एक समान भिन्न प्राप्त करें।

अधिक जटिल भिन्नों के लिए, विभाजन विधि के लिए अतिरिक्त चरणों की आवश्यकता होती है। जबकि गुणन के साथ, आप एक भिन्न के अंश और हर को समान संख्या से विभाजित करके एक समान भिन्न प्राप्त कर सकते हैं। इस प्रक्रिया में एक खामी है। अंतिम भिन्न में अंश और हर दोनों में पूर्णांक होने चाहिए ताकि सत्य हो।

उदाहरण के लिए, आइए 4/8 पर वापस देखें। यदि, गुणा करने के बजाय, हम अंश और हर को 2 से विभाजित करते हैं, तो हमें प्राप्त होता है (4 2)/(8 2) = 2/4. 2 और 4 पूर्णांक हैं, इसलिए ये तुल्य भिन्न सत्य हैं।

चरण 3. भिन्नों को उनके सरलतम पदों में सरल कीजिए।

अधिकांश भिन्न आमतौर पर उनके सरल शब्दों में लिखे जाते हैं, और आप सबसे बड़े सामान्य कारक (GCF) से विभाजित करके भिन्नों को उनके सरलतम रूप में परिवर्तित कर सकते हैं। यह चरण उसी तर्क में किया जाता है जैसे समतुल्य भिन्नों को लिखना, उन्हें एक ही हर में परिवर्तित करना, लेकिन यह विधि प्रत्येक अंश को उसके सबसे छोटे संभव शब्दों में सरल बनाने का प्रयास करती है।

• जब कोई भिन्न अपने सरलतम रूप में होता है, तो अंश और हर में सबसे छोटा संभव मान होता है। दोनों को छोटा मान प्राप्त करने के लिए किसी भी पूर्णांक से विभाजित नहीं किया जा सकता है। एक भिन्न जो अपने सरलतम रूप में नहीं है, को उसके सरलतम समतुल्य रूप में बदलने के लिए, हम अंश और हर को उनके सबसे बड़े सामान्य गुणनखंड से विभाजित करते हैं।

• अंश और हर का सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड (GCF) वह सबसे बड़ी संख्या है जो उन्हें पूर्णांक परिणाम देने के लिए विभाजित करती है। तो, हमारे 4/8 उदाहरण में, क्योंकि

  चरण 4। सबसे बड़ी संख्या है जो 4 और 8 से विभाज्य है, हम सबसे सरल शब्द प्राप्त करने के लिए अपने अंश के अंश और हर को 4 से विभाजित करेंगे। (४ ४)/(८ ४) = 1/2. हमारे अन्य उदाहरण के लिए, 8/16, GCF 8 है, जो एक भिन्न के सरलतम व्यंजक के रूप में मान 1/2 भी लौटाता है।

विधि 4 का 5: चर खोजने के लिए क्रॉस उत्पादों का उपयोग करना

चरण 1. दो भिन्नों को इस प्रकार व्यवस्थित कीजिए कि वे एक दूसरे के बराबर हों।

हम गणित की समस्याओं के लिए क्रॉस गुणन का उपयोग करते हैं जहां हम जानते हैं कि भिन्न समतुल्य हैं, लेकिन संख्याओं में से एक को एक चर (आमतौर पर x) से बदल दिया गया है जिसे हमें हल करना है। इस तरह के मामलों में, हम जानते हैं कि ये भिन्न समतुल्य हैं क्योंकि वे समान चिह्न के दूसरी तरफ एकमात्र शब्द हैं, लेकिन अक्सर चर को खोजने का तरीका स्पष्ट नहीं होता है। सौभाग्य से, क्रॉस गुणा के साथ, इस प्रकार की समस्याओं को हल करना आसान है।

चरण 2. दो समान भिन्न लें और उन्हें "X" आकार से गुणा करें।

दूसरे शब्दों में, आप एक भिन्न के अंश को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करते हैं और इसके विपरीत, फिर दो उत्तरों को एक दूसरे से मिलाने और हल करने के लिए व्यवस्थित करते हैं।

हमारे दो उदाहरण लें, 4/8 और 8/16। न तो कोई चर है, लेकिन हम अवधारणा को साबित कर सकते हैं क्योंकि हम पहले से ही जानते हैं कि वे समकक्ष हैं। क्रॉस गुणा करने पर, हमें 4/16 = 8 x 8, या 64 = 64 प्राप्त होता है, जो कि सत्य है। यदि ये दो संख्याएँ समान नहीं हैं, तो भिन्न समतुल्य नहीं हैं।

चरण 3. चर जोड़ें।

चूँकि क्रॉस गुणन समतुल्य भिन्नों को निर्धारित करने का सबसे आसान तरीका है, जब आपको चरों को खोजना होता है, तो चलिए चर जोड़ते हैं।

• उदाहरण के लिए, आइए समीकरण 2/x = 10/13 का उपयोग करें। क्रॉस गुणा करने के लिए, हम 2 को 13 से और 10 को x से गुणा करते हैं, फिर अपने उत्तरों को एक दूसरे के बराबर सेट करते हैं:

  • 2 × 13 = 26
  • 10 × x = 10x
  • 10x = 26. यहाँ से, हमारे चर का उत्तर खोजना एक साधारण बीजगणित समस्या है। एक्स = 26/10 = 2, 6, प्रारंभिक समतुल्य भिन्न को 2/2, 6 = 10/13 बनाते हुए।

चरण 4. बहु-चर भिन्नों या चर व्यंजकों के लिए क्रॉस गुणन का उपयोग करें।

क्रॉस गुणा के बारे में सबसे अच्छी चीजों में से एक यह है कि यह वास्तव में उसी तरह काम करता है, चाहे आप दो साधारण अंशों (ऊपर के रूप में) या अधिक जटिल अंशों के साथ काम कर रहे हों। उदाहरण के लिए, यदि दोनों भिन्नों में चर हैं, तो आपको हल करने की प्रक्रिया में केवल इन चरों को समाप्त करने की आवश्यकता है। इसी तरह, यदि आपके अंश के अंश या हर में एक चर व्यंजक (जैसे x + 1) है, तो बस इसे वितरण गुण का उपयोग करके "गुणा" करें और हमेशा की तरह हल करें।

• उदाहरण के लिए, आइए समीकरण ((x + 3)/2) = ((x + 1)/4) का उपयोग करें। इस मामले में, ऊपर के रूप में, हम इसे क्रॉस उत्पाद द्वारा हल करेंगे:

  • (एक्स + 3) × 4 = 4x + 12
  • (एक्स + 1) × 2 = 2x + 2
  • 2x + 2 = 4x + 12, तो हम दोनों पक्षों से 2x घटाकर भिन्न को सरल बना सकते हैं
  • 2 = 2x + 12, फिर हम दोनों पक्षों से 12 घटाकर चर को अलग करते हैं
  • -10 = 2x, और x. खोजने के लिए 2 से विभाजित करें
  • - 5 = एक्स

विधि 5 का 5: चर ज्ञात करने के लिए द्विघात सूत्रों का उपयोग करना

चरण 1. दो भिन्नों को पार करें।

समानता की समस्याओं के लिए जिन्हें द्विघात सूत्र की आवश्यकता होती है, हम अभी भी क्रॉस उत्पाद का उपयोग करके शुरू करते हैं। हालांकि, कोई भी क्रॉस उत्पाद जिसमें एक चर की शर्तों को दूसरे चर की शर्तों से गुणा करना शामिल है, के परिणामस्वरूप एक अभिव्यक्ति होने की संभावना है जिसे बीजगणित का उपयोग करके आसानी से हल नहीं किया जा सकता है। ऐसे मामलों में, आपको फ़ैक्टरिंग और/या द्विघात फ़ार्मुलों जैसी तकनीकों का उपयोग करने की आवश्यकता हो सकती है।

• उदाहरण के लिए, आइए समीकरण ((x +1)/3) = (4/(2x - 2)) को देखें। सबसे पहले, आइए क्रॉस गुणा करें:

  • (एक्स + 1) × (2x - 2) = 2x² + 2x -2x - 2 = 2x² - 2
  • 4 × 3 = 12
  • 2x² - 2 = 12.

चरण 2. समीकरण को द्विघात समीकरण के रूप में लिखिए।

इस भाग में, हम इस समीकरण को द्विघात रूप में लिखना चाहते हैं² + bx + c = ०), जो हम समीकरण को शून्य के बराबर सेट करके करते हैं। इस स्थिति में, हम 2x. प्राप्त करने के लिए दोनों पक्षों में से 12 घटाते हैं² - 14 = 0.

कुछ मान 0 के बराबर हो सकते हैं। भले ही 2x² - 14 = 0 हमारे समीकरण का सबसे सरल रूप है, वास्तविक द्विघात समीकरण 2x. है² + 0x + (-14) = 0। शुरुआत में द्विघात समीकरण के रूप को लिखने में मदद मिल सकती है, भले ही कुछ मान 0 के बराबर हों।

चरण 3. अपने द्विघात समीकरण से संख्याओं को द्विघात सूत्र में जोड़कर हल करें।

द्विघात सूत्र (x = (-b +/- (b.)² - 4ac))/2a) इस खंड में हमारे x मान को खोजने में हमारी मदद करेगा। सूत्र की लंबाई से डरो मत। आप बस चरण दो में अपने द्विघात समीकरण से मान लें और उन्हें हल करने से पहले उन्हें सही स्थानों पर रखें।

• एक्स = (-बी +/- (बी.)² - 4एसी))/2ए। हमारे समीकरण में, 2x² - 14 = 0, ए = 2, बी = 0, और सी = -14।
• एक्स = (-0 +/- (0.)² - 4(2)(-14)))/2(2)
• एक्स = (+/- (0 - -112))/2(2)
• एक्स = (+/- (112))/2(2)
• एक्स = (+/- 10.58/4)
• एक्स = +/- 2, 64

चरण 4. अपने द्विघात समीकरण में x का मान फिर से दर्ज करके अपने उत्तर की जाँच करें।

परिकलित x मान को चरण दो से अपने द्विघात समीकरण में वापस प्लग करके, आप आसानी से यह निर्धारित कर सकते हैं कि आपको उत्तर सही मिला है या नहीं। इस उदाहरण में, आप 2, 64 और -2, 64 को मूल द्विघात समीकरण में जोड़ेंगे।

टिप्स

• एक भिन्न को उसके समतुल्य में बदलना वास्तव में एक भिन्न को 1 से गुणा करने का एक रूप है। 1/2 से 2/4 में परिवर्तित करने में, अंश और हर को 2 से गुणा करना 1/2 को 2/2 से गुणा करने के समान है, जो 1 के बराबर होता है।.

• यदि वांछित है, तो रूपांतरण को आसान बनाने के लिए मिश्रित संख्या को एक सामान्य अंश में परिवर्तित करें। बेशक, आपके सामने आने वाली सभी भिन्न हमारे ऊपर दिए गए 4/8 उदाहरण को बदलने जितना आसान नहीं होगा। उदाहरण के लिए, मिश्रित संख्याएं (जैसे 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3, आदि) रूपांतरण प्रक्रिया को थोड़ा और जटिल बना सकती हैं। यदि आपको एक मिश्रित संख्या को एक सामान्य भिन्न में बदलना है, तो आप इसे दो तरीकों से कर सकते हैं: मिश्रित संख्या को एक सामान्य अंश में परिवर्तित करके, फिर इसे हमेशा की तरह परिवर्तित करके, या मिश्रित संख्याओं के रूप को बनाए रखने और मिश्रित संख्याओं के रूप में उत्तर प्राप्त करने से।

  • एक सामान्य भिन्न में बदलने के लिए, मिश्रित संख्या के पूर्णांक घटक को भिन्नात्मक घटक के हर से गुणा करें और फिर अंश में जोड़ें। उदाहरण के लिए, 1 2/3 = ((1 × 3) + 2)/3 = 5/3। फिर, यदि वांछित है, तो आप इसे आवश्यकतानुसार बदल सकते हैं। उदाहरण के लिए, 5/3 × 2/2 = 10/6, जो 1 2/3 के बराबर रहता है।
  • हालाँकि, हमें इसे ऊपर दिए गए सामान्य अंश में बदलने की आवश्यकता नहीं है। अन्यथा, हम पूर्णांक घटक को अकेला छोड़ देते हैं, केवल भिन्नात्मक घटक को बदलते हैं, और पूर्णांक घटक को अपरिवर्तित जोड़ते हैं। उदाहरण के लिए, ३ ४/१६ के लिए, हम केवल ४/१६ देखते हैं। 4/16 4/4 = 1/4। इसलिए, हमारे पूर्णांक घटकों को वापस जोड़ने पर, हमें एक नई मिश्रित संख्या प्राप्त होती है, 3 1/4.

चेतावनी

• गुणन और भाग का उपयोग समतुल्य भिन्नों को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है क्योंकि संख्या 1 (2/2, 3/3, आदि) के भिन्नात्मक रूप से गुणा और भाग परिभाषा के अनुसार मूल भिन्न के बराबर उत्तर देता है। जोड़ और घटाव का उपयोग नहीं किया जा सकता है।

• भले ही आप भिन्नों को गुणा करते समय अंशों और हरों को गुणा करते हैं, लेकिन जब आप भिन्नों को जोड़ते या घटाते हैं तो आप हर को नहीं जोड़ते या घटाते हैं।

  उदाहरण के लिए, ऊपर, हम जानते हैं कि 4/8 4/4 = 1/2। यदि हम 4/4 से जोड़ते हैं, तो हमें एक पूरी तरह से अलग उत्तर मिलता है। 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 या 3/2, वे 4/8 के बराबर नहीं हैं।